 xfxF  CxFx  CxFx xfxfxF  0' 0  xfxFx F  01 G  80            

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Primitives (TES) Définition

Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I

On dit que F est une primitive de f sur I lorsque pour tout xI on a F

 

x  f

 

x

Théorème

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.

La continuité est une condition suffisante pour garantir l’existence de primitives, mais ce n’est pas une condition nécessaire.

Propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I [1] Si F et  sont deux primitives de f sur I,

alors il existe une constante C telle que pour tout xI, 

 

x F

 

x C

[2] Réciproquement, si F est une primitive de f sur I et si pour tout xI, 

 

x F

 

x C alors  est aussi une primitive de f sur I

Idées de démonstrations :

[1]



F

  

' x  f

   

x  f x 0 donc la fonction F est constante sur I [2] 

 

x F

 

x 0 f

 

x

Remarque :

Pourx₀I et y₀IR connus, une condition initiale de la forme 

 

x₀  y₀ permet de déterminer la valeur de la constante C, la primitive  de f sur I qui vérifie cette condition est donc unique

Calculs des primitives

La plupart du temps, on détermine les primitives en reconnaissant la dérivée d’une fonction.

Toutefois, il existe de nombreuses fonctions admettant des primitives qu’on ne peut pas écrire à l’aide des fonctions usuelles.

La formule



uv



 uv permet de décomposer la recherche d’une primitive d’une somme en cherchant une primitive de chaque terme (mais ce n’est pas toujours la meilleure idée)

La formule

 

ku  ku facilite souvent la recherche d’une primitive en introduisant une constante multiplicative bien choisie pour aider à reconnaître une dérivée.

Exemples :

 détermination de la primitive F de f

 

x 5x⁴ x³9x² 8x17 sur IR telle que F

 

1 0

 détermination de la primitive G de g

 

x 5xe^x2 sur IR telle que G

 

0 8