 xfxF  CxFx  CxFx xfxfxF  0' 0  xfxFx F  01            

(1)

ov 1 / 1

Primitives (TSTI2D)

Définition

Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I

On dit que F est une primitive de f sur I lorsque pour tout xI on a F

 

x  f

 

x Remarque :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I ; mais la réciproque est fausse.

Propriétés

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I [1] Si F et  sont deux primitives de f sur I,

alors il existe une constante C telle que pour tout xI, 

 

x F

 

x C

[2] Réciproquement, si F est une primitive de f sur I et si pour tout xI, 

 

x F

 

x C alors  est aussi une primitive de f sur I

Démonstrations non détaillées :

[1]



F

  

' x  f

   

x  f x 0 donc la fonction F est constante sur I [2] 

 

x F

 

x 0 f

 

x

Remarque :

Pour x₀I et y₀IR fixés, il existe une unique primitive  de f sur I qui vérifie la condition initiale

 

x₀  y₀



Calculs des primitives

La plupart du temps, on détermine les primitives en reconnaissant la dérivée d’une fonction.

Toutefois, il existe de nombreuses fonctions admettant des primitives qu’on ne peut pas écrire à l’aide des fonctions usuelles.

La formule



uv



 uv permet de décomposer la recherche d’une primitive d’une somme en cherchant une primitive de chaque terme (mais ce n’est pas toujours la meilleure idée)

La formule

 

ku  ku facilite souvent la recherche d’une primitive en introduisant une constante multiplicative bien choisie pour aider à reconnaître une dérivée.

Exemples :

 détermination de la primitive F de ^f

 

^x ^⁵^x⁴ ^^x³^⁹^x² ^⁸^x^¹⁷ sur IR telle que F

 

1 0

 détermination de la primitive G de

 





 



 

5cos 3 4 x x

g sur IR telle que 1

4



 



 G

 détermination des primitives sur IR de ^h

 

^x ^



^x²²^^x^x^^¹¹



⁴