1.3 Manipuler le langage mathématique

Feuille de TD n ^◦ 1

1 Vocabulaire des ensembles

1.1 Exercices de révision : intersection, réunion, appartenance, inclusion

Exercice 1. Déterminer les ensembles suivants :

a. {2,3,7,9,12} ∩ {1,2,7,8,11,12,15}=. . . . b. {1,2,7} ∪ {2,3,5,8,9}=. . . . c. N∩ {x∈R|0≤x≤10}=. . . . d. [−√

5,√

5]∩Z=. . . . Exercice 2. Compléter avec les symboles∈, ∈,/ ⊂ou6⊂.

a. 0. . . [0,1]

b. N. . . Z c. {0,1}. . . [0,1]

d. 3. . . Z∩[−√ 2,√

2]

e. {2,4,6}. . . {x∈R|x²≥10}

f. [0,¹₂[ . . . [0,1]∪[3,4]

g. 3. . . [0,1]∪ {3}

h. ¹₂ . . . {0,1} ∪[3,4]

i. Z. . . {t∈Q|t+ 3≤0}

1.2 Langage des ensembles

Exercice 3. On considère le diagramme suivant, avecA,B,C trois parties d’un ensembleE, eta,b,c, d,e,f, g,hdes éléments deE.

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses^(∗):

a. {a, f, d} ⊂A∪C Vrai Faux

b. {e} ⊂A∩B∩C Vrai Faux

c. c∈A∩B^c Vrai Faux

d. g∈A^c∩B^c Vrai Faux

e. g∈A^c∪B^c Vrai Faux

f. {h, b} ⊂A^c∩B^c Vrai Faux g. {a, b, c, d, e, f, g, h} ⊂C∪C^c Vrai Faux

Exercice 4. Dans cet exerciceA, B, C désignent des parties d’un ensemble E. Reformuler les énoncés suivants par des propriétés de leurs éléments. Par exemple, pourA=B, on écrirait :

A=B ⇐⇒ ∀x∈E (x∈A ⇐⇒ x∈B)

Exercice 5.

a. SoitA={1,2,3},B={1,3} etC={1,4}. Expliciter les produits cartésiens A×B et C×A.

b. Dessiner les sous-ensembles deR²suivants :

(a) A= [0,2]×[0,2],B= [1,4]×[1,3],A∩B,C={1} ×[1,2],D= [1,2]× {1}

(b) {M(x, y)|2x+ 3y−5 = 0}

(c) {M(x, y)|2x+y≤1et −2≤x≤3et −1≤y ≤3}

(d) {M(x, y)|(x−1)²+ (y+ 3)²= 4}

(e) {M(x, y)|x²+y²= 5et y≥0}

Exercice 6. SoitE={a, b, c, d}un ensemble.

a. En utilisant les symboles∈,⊂que peut-on écrire entre : 1)aetE, 2)∅ etE, 3) {a}et E, 4){a, b} etE? b. DonnerP(E)l’ensemble des parties deE.

c. Donner {a} ×E,E× {a} etE×E.

Exercice 7. Identifier les ensembles suivants et démontrer les égalités d’ensembles proposées :

[

i∈N

]−i; +i[, \

i∈N

]−1 i; +1

i[

1.3 Manipuler le langage mathématique

Exercice 8. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : a. Pour toutx∈N,x≥0

b. Pour toutx∈N,x >0

c. Pour toutx∈R, x≥0 d. Il existe x∈Ntel que x >0

Exercice 9. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : a. Pour tout réelx >0,x≥1 OU 1

x ≥1.

b. Il existe un entierntel que 6 divisenET 3 ne divise pasn.

c. Pour tout réel xnon nul, six≤ 1

x alorsx²≤x.

d. Pour tout réelxstrictement positif, si x≤ 1

x alorsx²≤x.

Exercice 10. On se place dans le carréC= [0,1]×[0,1]deR².

Indiquer si les énoncés (a), (b), (c) ou (d) sont vrais ou faux - l’ensemble A étant le sous-ensemble de C suggéré par le dessin.

a. ∀x ∃y (x, y)∈A.

b. ∀y ∃x (x, y)∈A.

c. ∃y ∀x (x, y)∈A.

d. ∃x ∀y (x, y)∈A.

1.4 Rédiger une preuve

Exercice 11. Soitaun nombre réel. On cherche à démontrer l’équivalence suivante : (∀ε >0 |a|< ε)⇔a= 0

a. Expliquer pourquoi l’implicationa= 0⇒(∀ε >0 |a|< ε)est vraie.

b. 1. Parmi les implications suivantes, laquelle est la contraposée de l’implication(∀ε >0 |a|< ε)⇒a= 0: A. a6= 0⇒(∀ε >0 |a| ≥ε)

B. a6= 0⇒(∃ε >0 |a| ≥ε) C. a6= 0⇒(∃ε≤0 |a| ≥ε) D. a6= 0⇒(∃ε >0 |a|< ε)

2. Démontrer cette implication en passant par cette contraposée.

Exercice 12. Étant donnéesA etB deux parties deE, montrer que : A=B ⇐⇒ A∩B=A∪B

2 Premières propriétés des fonctions

2.1 Exercices de révision : domaine de définition et image des fonctions usuelles

Exercice 13. Compléter le tableau suivant :

Nom de la fonction Notation La fonction Valeurs prises

est définie sur : par la fonction :

Carré x7→x² R R+= [0,+∞[

Racine carrée

Fonction affine de coefficient directeur 2 et d’ordonnée à l’origine -7

Inverse

Exponentielle

Logarithme néperien

Sinus

Cosinus

Exercice 14. Déterminer, s’ils existent, les antécédents de1parf :R→Rdans les cas suivants : a. f(x) =x²−3x+ 4

b. f(x) =e^x−4e^−x+ 4

c. f(x) = cos²(x) d. f(x) = x+ 2

2x−5

2.2 Domaines de définition et images de fonctions composées

Exercice 15. Écrire chacune des fonctions ci-dessous comme composée de fonctions usuelles et donner son ensemble de définition. Préciser les fonctions qui sont paires, impaires, périodiques.

a. p ln(x)

b. 1

q

sin²(x) + 1

c. e^3x2−2x+5

d. 1

1−cos(x)

Exercice 16. Déterminer l’imagef(R)deRparf dans les cas suivants : a. f(x) = cos(x) + 2

b. f(x) =√ x²+ 1

c. f(x) = 4x²+ 3x+ 2 d. f(x) =e^(x2−1)

2.3 Composées de fonctions

Exercice 17. Calculerf ◦g etg◦f dans les cas suivants et vérifier que f◦g6=g◦f. Préciser les fonctions qui sont paires, impaires, périodiques.

a. f(x) =x²+ 1,g(x) =x³−3x²+ 2 b. f(x) =e^x,g(x) =x²+ 4

c. f(x) = cos(x),g(x) =e^x d. f(x) =|x|,g(x) =x+ 1

2.4 Image directe, image réciproque d’un ensemble

Exercice 18.

a. Notonsf la fonction carré.

Déterminerf([1,1]), f(R), f(R+), f(R−), f([0,3[), f⁻¹({1}).

Puis comparerf([−2,0]∩[0,2])et f([−2,0])∩f([0,2]).

b. Notonsgla fonction sinus.

Déterminerg([0,2π]), g(R), g([0,10]), g([0,^π₂[), g⁻¹([0,1]).

2.5 Injectivité, surjectivité, bijectivité

Exercice 19. SoitA={0,1,2} etB ={0,1}. Donner toutes les applications deAdansB puis deB dansAen précisant celles qui sont injectives ou surjectives.

Exercice 20. Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? a. f :R→Rdéfinie parf(x) =x³

b. g:R²→Rdéfinie parg(x, y) =y−x²

Exercice 21. Soientf etg les fonctions deR+ dansR+ définies par :

— Pour toutx∈R+ f(x) =x+ 1

— Pour toutx∈[0,1] g(x) = 0et pour toutx∈]1,+∞[ g(x) =x−1

a. Montrer quef est injective mais non surjective.

b. Etudier l’injectivité et la surjectivité deg.

c. Calculer g◦f et f◦g

Exercice 22. Dire parmi les fonctions suivantes celles qui sont bijectives.

a. [−1,1]→[−1,0],x7→x²−1

2.6 Manipuler le langage mathématique

Exercice 23. Reformuler les propositions ci-dessous en exhibant les quantificateurs et les connecteurs : a. La fonctionf s’annule au moins une fois sur l’intervalleI.

b. La fonctionf est nulle sur l’intervalleI.

c. Les fonctionsf etg sont égales sur l’intervalleI.

d. Les fonctionsf etg ne sont pas égales surI.

e. 2 est un maximum de la fonctionf sur l’intervalleI.

f. Sur l’intervalleI, la fonctionf admet un maximum en 2.

Exercice 24. Reformuler les propositions ci-dessous sans les quantificateurs et sans les connecteurs : a. ∀x∈I f(x)>0.

b. ∀a∈I,∀b∈I (a≤b⇒f(a)≤f(b)).

c. ∀M ∈R,∃x∈R f(x)> M.

d. Il existe un réelatel que il existe un réelt∈I tel quea=f(t) et tel que pour tout réelx∈I f(x)≤a.

e. ∃x1∈R,∃x2∈R (x16=x2)ETf(x1) =f(x2) = 2

2.7 Rédiger une preuve

Exercice 25.

a. Montrer que la somme de deux fonctions paires est paire.

b. Quelle est la parité du produit de deux fonctions paires ? De deux fonctions impaires ? D’une fonction paire et d’une fonction impaire ?

Exercice 26. Soit k ∈ R. Si f est définie sur R et périodique de période T , que peut-on dire de la fonction x7→f(kx)?

Exercice 27. Soientf :E→F etg :F →Gdeux fonctions.

a. Montrer que sig◦f est injective, alorsf est injective.

b. Montrer que sig◦f est surjective, alors gest surjective.