Sur l'indiscernabilité des corpuscules IIe partie

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Sur l’indiscernabilité des corpuscules IIe partie

Paulette Février

To cite this version:

IIe PARTIE

Sommaire. 2014 L’indiscernabilité des corpuscules de mème _espèce étant adoptée comme principe fonda-mental _{indépendamment} de toute considération _quantique, on en étudie les _{conséquences.} On définit d’une manière _précise déterminisme et indéterminisme pour les positions et _{pour les quantités} de mouvement.

On étudie ensuite les _{possibilités} de mesures simultanées des _positions et des _quantités de mouvement;

on établit alors que la mesure simultanée des _quantités de mouvement et des _positions des _corpuscules indiscer-nables appartenant à un _système S est impossible, ce _qui entraîne l’indéterminisme _{mécanique pour} un sys-tème contenant des _corpuscules indiscernables.

Puis on _{démontre que} ce résultat s’étend au cas d’un corpuscule unique et d’un système quelconque. Ainsi l’indiscernabilité entraîne l’indéterminisme.

On montre ensuite que l’impossibilité de mesures simultanées nécessite une modification des _propriétés du _{produit logique} et par conséquent l’utilisation d’une nouvelle _logique.

L’indéterminisme qui résulte de l’hypothèse d’indiscernabilité permet d’écrire des relations d’incertitude. Celles-ci ne _{contiennent pas la} constante h _puisqu’on n’a pas fait appel à des considérations quantiques ; les relations obtenues sont plus faibles que celles de Heisenberg. La constante de Planck ne _peut être introduite que par un _postulat.

Enfin, on _indique les grandes lignes d’une _{géométrie cinématique} en accord avec _{l’indéterminisme, qui}

s’appuie sur la nouvelle logique envisagée auparavant. IV.

_{Conséquences}

de

_{l’hypothèse}

d’indiscernabilité.

12. lndiscernabilité et indéterminisme.

-D’après

le théorème

_5,

si l’on a

_supposé

l’indiscernabi-lité des

_corpuscules

de même

_espèce

d’un

_système

physique

observé,

les

_corpuscules

n’obéissent _{pas à}

une

_{Mécanique ponctuelle.}

En

effet,

s’il _y a

méca-nique ponctuelle,

il y a une ordination

_ayant

un sens

physique,

et s’il _y a indiscernabilité il

_n’y

a _pas

d’ordi-nation

_ayant

un sens

_physique.

Nous dirons

_qu’il

_y a déterminisme des

_positions

si

l’on

_peut,

à

_partir

de mesures initiales

convenables,

fixer à

_chaque

instant la

_position

des

_corpuscules

du

système,

c’est-à-dire si les

_corpuscules

obéissent à une

mécanique ponctuelle

(au

sens

_indiqué

au

para-graphe

III, 10).

Dans le cas contraire nous dirons

qu’il

y a indéterminisme des

_positions.

Le corollaire du théorème 5

_peut

s’énoncer alors :

COROLLAIRE 2. - Si un

_système

contient des

cor-puscules

indiscernables,

il y a indéterminisme des

posi-tions de ces

_corpuscules.

Nous _pouvons chercher le minimum d’altération au

déterminisme des

_{positions exigé}

_par l’indiscernabilité. Celui-ci

_apparaît

immédiatement : s’il y a un sous-ensemble

_{de p}

_corpuscules

indiscernables

_parmi

les n du

_système,

le maximum de ce _que l’on

_peut

déter-miner est à

_chaque

instant un ensemble

_{de p points,}

soit

_{.E~; chaque point}

de

_{Ep figure}

un

corpuscule,

mais aucun ordre

_ayant

une

_{signification physique}

ne

_peut

être fixé dans un ensemble

_E~.

Donc,

au

_mieux,

on connaîtra l’ensemble

_{E p}

à

chaque

instant :

_E~

=

ro,

to).

Dans ce _cas, au lieu d’un

_point,

c’est un ensemble de

_{points qui}

est déterminé en fonction du

_temps,

les

points

de l’ensem~ble n’étant déterminés

_qu’à

une

per-mutation

_près.

On a ainsi un certain indéterminisme

qui

est voisin du semi-déterminisme de M.

Bouli-gand (1).

Ce schéma est

_compatible

avec l’indiscernabilité

des

_corpuscules

de même

_espèce,

mais d’autres raisons (1) G. BouLiGAND, Sur la _cinématique de la _diffusion Atti dei Lincei, décembre 1933; e/o eyz e/z

Lincei, décembre 1933; Relations

d’incertitude en Géométrie et en

Physique, Actualités _{scientifiques,} Hermann, fase. 143 (1934).

vont montrer

_qu’il

ne constitue _pas une modification suffisante du schéma du déterminisme des

_positions

(mécanique ponctuelle).

Il y a un cas

_particulier

_pourtant

où l’indétermi-nisme

_peut

_{disparaître,}

celui où les

_corpuscules

seraient

et demeureraient

_agglomérés

au cours du

_{temps ;}

dans

ce cas l’ensemble

E p

se réduit à un seul

point,

les per- .

mutations se réduisent à l’identité. Comme cet ensemble

est déterminé en fonction du

_temps,

_lorsqu’il

se réduit à un

_point,

ce

_point

est déterminé en fonction du

temps,

donc :

THÉORÈME 6. ~ Si tous les

corpuscules

indiscer-nables les uns des autres d’un

_système

_physique

sont en un même

_point,

il _{peut y avoir} déterminisme des

posi-tions et c’est le seul cas où ce déterminisme est

_possible.

Dans les autres cas il _y a un indétrrminisme essentiel. Par « indéterminisme essentiel » nous voulons

en-tendre un indéterminisme

_incompatible

avec un

déter-minisme

_sous-jacent

_caché,

si bien

_qu’il

ne

_peut

être attribué à notre

_ignorance.

Un déterminisme

sous-jacent

nous ramènerait au cas d’une

_mécanique

ponc-tuelle,

ce

_qui

est

_incompatible

avec l’indiscernabilité. 13. Indiscernabilité et

_quantités

de

mouve-ment. - Nous dirons

_qu’il

_{y a} déterminisme des vitesses si les vitesses des différents

_corpuscules

du

_système

peuvent,

à

_partir

de certaines mesures

_initiales,

être

données en fonction du

_{temps :}

De

_même,

nous dirons

_qu’il

_y a déterminisme des

quantités

de mouvement si les

_quantités

de mouvement

des différents

_corpuscules

du

_système

_peuvent,

à

partir

de certaines mesures

initiales,

être données en

fonction du

_{temps :}

Comme nous avons admis

_plus

_haut,

lors de la défi-nition d’une

_mécanique

_ponctuelle,

_{que les}

_quantités

de mouvement étaient des fonctions

_biunivoques

et

bicontinues des

_vitesses,

le déterminisme des vitesses entraîne le déterminisme des

_quantités

de mouvement

et

_{réciproquement.}

314

Les formules

_{précédentes exprimant}

le détermi-nisme soit des vitesses soit des

_quantités

de

mouve-ment

_exigent

la discernabilité des

_corpuscules

du

système étudié,

puisqu’il

faut numéroter les différents

corpuscules,

le

_numérotage

se conservant au cours du

temps,

excepté

si tous les

_corpuscules

indiscernables les uns des autres ont même

_quantité

de mouvement.

Dans ce cas

_particulier

on n’a

_plus

_besoin,

en

_effet,

de numéroter les vecteurs

_quantité

de mouvement ou les

vecteurs vitesses des différents

_corpuscules,

d’où : LEMME. - Si un

_systérne

contierzt des

_corpusetiles

indiscernables,

ou bien il

_n’y

a _pas déterminisme des

quantités

de _mouvement, ou bien les

_quantités

de mou-vement des

di f f Érents

corpuscules

indiscernables scn

toutes

_égales.

Cet énoncé est encore valable en

rempla-çant

«

_quantités

de mouvement » _par « vitesses ».

Plaçons-nous

maintenant dans le cas où il

_peut

_y avoir déterminisme des

_quantités

de mouvement et

par suite des vitesses

(cas

où les

quantités

de mouve-ment de tous les

_corpuscules

sont

_égales).

_Si,

à

l’ins-tant _to où l’on a fait la mesure

initiale,

on a _pu

effec-tuer une mesure de

_position

des

_corpuscules,

_{il y} aura

déterminisme des

_{positions ;}

_{or, ceci} est en contra-diction avec l’indiscernabilité

_excepté

si l’on trouve tous les

_corpuscules

indiscernables au même

_{point ;}

d’où ce résultat :

THÉORÈME 6. - Si l’on étudie _un

système

contenant des

_{corpuscules indiscernables,}

s’il _y a déterminisme des

quantités

de mouvement ou des vitesses

_(cas

où les

quan-tités de mouvement de tous les

_corpuscules

sont

_égales),

on ne _peut

_effectuer

simultanément à l’instant initial la mesure donnant les conditions initiales

_pour

les

quantités

de mouvement ou les vitesses et la mesure des

_positions

à cet

_{instant, excepté}

si l’on trouve tous les

_corpuscules

indiscernables an même

_{point (cas}

d’un

_corpuscule

Il _y a au moins un cas où il _{doit y avoir} détermi-nisme des

_quantités

de mouvement et des vitesses : c’est celui des mouvements

_inertiaux;

en

_effet,

s’il

_n’y

av aat en aucun cas déterminisme des

_vitesses,

la notion de mouvement d’inertie

_perdrait

toute

_{signification}

et

par suite celle de

champ

de

force,

or on sait _que ce

n’est _{pas le cas, si bien que} les conditions

_supposées

dans le théorème

_précédent

sont

_parfois

_{remplies :}

_{il y}

a donc effectivement des cas où la mesure simultanée des

_quantités

de mouvement et des

_positions

est

impossible.

14. Mesures simultanées. - La

_possibilité

ou

l’impossibilité

d’effectuer des mesures simultanées de

deux

_{grandeurs A}

et B ne

_peut

_{dépendre : ni}

résul-tat des deux rnes lIres , car si l’on a des résultats c’est

qu’on

a _{pu effectuer les}

_{mesures ; ni}

du résultat de l’une

des mesures, car si l’on a

_déjà

un

résultat,

on ne

_peut

effectuer l’autre mesure au même instant. La connais-sance d’un résultat de mesure _{suppose la} mesure

_déjà

effectuée ;

sa

_possibilité

ne

_peut

en

_{dépendre ;}

donc : THÉORÈME 7. - La

possibilité

ou

_{l’impossibidité}

de

la mesure simultanée de deux

_grandeurs

A et _{B pour} un certain

_système

_physique

S ne

_dépend

_pas du résultat

des mesures.

Il s’ensuit que

si,

dans un cas

_particulier

de résultats

de _{mesures, il y} a

_{impossibilité}

de mesurer

simulta-nément les

_grandeurs

A et

_B,

cette

_{impossibilité}

a lieu

dans tous les cas. Le théorème 7 entraîne donc le corollaire suivant :

COROLLAIRE 1. - Si dans

un cas la mesure simul-tanée de deux

_grandeurs

A et _{B pour} un

_système

S est

impossible,

elle l’est dans tous les cas.

Si nous nous

_reportons

au théorème

_6,

nous _voyons

qu’il

y a au moins un cas dans

_lequel

la mesure simul-tanée de la

_position

et des

_grandeurs

faisant connaître

la

_quantité

de mouvement où la vitesse est

impos-sible : c’est celui où la

_quantité

de mouvement des

corpuscules

indiscernables serait la même avec déter-minisme et leurs

_positions

différentes.

_D’après

le corol-laire

_précédent

on en tire le théorème :

THÉORÈME 8. - La _mesure simultanée : 1° de

gran-deurs servant de conditions initiales aux

_quantités

de

mouvement ou aux vitesses de

_corpuscules

indiscernables

d’un

_système;

2° de la

_position

des

_corpuscules

_du sys-tème est

_impossible.

Comme

grandeurs

servant de conditions initiales

aux vitesses il _y a en

_particulier

les vitesses elles-mêmes et les

_quantités

de mouvement

_(la

masse étant

supposée

connue),

d’où les corollaires :

COROLLAIRE 1. - La _mesure simultanée des vitesses

et des

positions

des

_corpuscules

indiscernables apparte-nant à un

_système

S est

_impossible.

COROLLAIRE 2. - La

mesure simultanée des

quan-tités de mouvement et des

_positions

des

_corpuscules

indiscernables _appartenant à un

_système

S est

impos-sible.

On

_peut

_encore, en utilisant les définitions données

plus

haut du

_{déterminisme,}

énoncer : COROLLAIRE 3. - Il

ne _{peut y}

avoir,

_pour un sys-tème

_physique

contenant des

_corpuscules

_{indiscernables,}

à la

_{f ozs}

déterminisme des

_positions

et détermznLSme des

quantités

de mouvement ou des vitesses.

Appelons

déterminisme

_mécanique

le cas où il y a à la fois détérminisme des

_positions

et déterminisme des

quantités

de mouvement ou des

_vitesses,

car alors toutes les

_{grandeurs mécaniques}

_peuvent

être cal-culées

_{cxactement ;}

l’énoncé

_précédent

devient :

COROLLAIRE 3. - Il

ne _{peut y avoir} déterminisme

mécanique

pour un

_système

_physique

contenant des

cor-PllS( uies

indiscernables.

°

Dans ce

_{qui précède,}

nous avons

_parlé

de

_quantités

de mouvement ou de

_vitesses,

de

_positions,

mais les mêmes raisonnements subsistent si l’on considère une direction et les

_projections

des

_quantités

de mouvement

315

COROLLAIRE 4. -- La

mesure simultanée des

projec-tions des

_quantités

de mouvement ou des vitesses sur un

axe, et des

_projections

des

_positions

sur cet axe est

impos-si ble.

15. Indéterminisme du mouvement d’un

cor-puscule unique.

-- Le caractère indéterministe du

mouvement

des

_corpuscules

indiscernables d’un sys-tème S est

_indépendant

des interactions

_qui

_peuvent

s’exercer entre les

_corpuscules,

car les interactions n’interviennent _{pas dans} le

raisonnement ;

les conclu-sions subsistent donc encore même s’il

_n’y

a _pas

d’in-teractions. Dans ce cas le mouvement du

_système

doit être _{le même que} celui de n

_corpuscules

indépen-dants.

’

Supposons

que le mouvement d’un

_corpuscule

isolé soit

_régi

_par une

_{mécanique ponctuelle,}

c’est-à-dire

qu’il

y

ait,

pour un

_{corpuscule unique,}

déterminisme

mécanique ;

le mouvement de n

_corpuscules

indépen-dants s’obtiendra par

juxtaposition

de n mouvements

d’un

_corpuscule

_isolé,

et le mouvement aura _{par suite} un caractère déterministe.

Or,

ceci est en contradiction avec les conclusions

antérieures,

donc il y a indéterminisme d’au moins un des mouvements des n

corpuscules.

Mais il

s’agit

de

corpuscules

de même

_{espèce (indiscernables).}

Puis-qu’ils

sont indiscernables ils ont tous les mêmes lois de _niouvement, et comme il y a indéterminisme _pour au moins un, il y a indéterminisme _pour tous. Ceci doit avoir lieu

_quel

_que soit le

_système

considéré

contenant des

_corpuscules

_{indiscernables,}

donc _pour les

_corpuscules

de toutes les

_espèces.

Le mouvement d’un

_corpuscule,

même

_complexe,

est _par

_conséquent

indéterministe. D’où :

THÉORÈME 9. -- Le mouvement d’un

corpnscule

unique

n’obéit _pas ait déterminisme

_mécanique.

On ne

peut mesurer sirrcultanément la

_quantité

de mouvement ou la vitesse et la

_position,

ni une _composante de la

quantité

de nioiiveinent ou de

la

vitesse et la coordonnée

correspondante.

S’il

_n’y

a _pas déterminisme

_mécanique

_pour le

mou-vement d’un

_corpuscule,

il

_n’y

aura _pas non

_plus

déterminisme pour le mouvement de n

_corpuscules

indépendants, qu’ils

soient de même

_espèce

ou

d’es-pèces différentes,

c’est-à-dire

_qu’ils

soient discernables

ou

_{indiscernables,}

et on ne _{pourra pas} mesurer simul-tanément la

_quantité

de mouvement et la

_position

d’un

_corpuscule

du

_système.

Comme l’existence d’in-teractions _{n’intervient pas pour} décider du

déter-minisme,

ce résultat est valable pour tout

_système

de

corpuscules.

Donc pour aucun

_système

de

_corpuscules

il

_n’y

a déterminisme

_mécanique.

On

_peut

encore établir ce résultat de la manière suivante : à un

_système

de

_{corpuscules quelconques,}

adjoignons

des

_corpuscules

de

_façon

_qu’il

contienne

au moins deux

_corpuscules

de chacune des

_espèces

_qui

y

figurent,

c’est-à-dire que si le

système

contient

_k1

corpuscules

de

_{l’espèce 1, k., de}

_l’espèce

_2,

_...,

_A,

_de

l’espèce

j, ~;~

de

_l’espèce

_p, nous

_adjoignons

au moins un

_corpuscule

de chacune des

espèces

_pour

lesquelles

le nombre k est

_égal

à l’unité. Le

_système

ainsi obtenu contient _{alors pour chacune} des

_espèces

_des corpus-cules

_{indiscernables ;}

_d’après

le théorème 8 et en par-ticulier son corollaire

_3’,

_pour ce

_système,

il ne

_peut

_y avoir déterminisme

_mécanique.

Supposons

alors

_{qu’il n’y}

_{ait pas} d’interactions

entre les

_corpuscules

du

_système

considéré

primitive-ment et les

_corpuscules

adjoints.

Le mouvement du

système

complété

est la

_{juxtaposition}

du mouvement

du

_système

_primitif

et du mouvement du

_système

des

corpuscules

adjoints.

Le mouvement

_global

étant

indéterministe,

il faut

_qu’au

moins un des deux

mou-vements le soit. Comme

_{corpuscules adjoints}

nous pouvons en

_particulier

en choisir un nombre _{tel que}

nous _ayons un

_système

de même

_composition

_que le

système

primitif

donné. Dans ce _cas, les deux mouv

e-ments seront

_régis

_par des lois

_identiques.

L’un des deux au moins devant être

_{indéterministe,}

ils le seront tous les

_deux,

donc le mouvernent du

_système

pri-mitif,

quel

que soit le nombre de

corpuscules

des diverses

_espèces

_qu’il

contienne,

est indéterministe. D’où ce théorème :

THÉORÈME 10. - Le mOllvernent d’un

système

de

corpuscules

n’obéit en aucun cas au déterminisme

nzéc,,,z-nique ;

on ne _peut mesurer szmultanément la

quantité

de mouvement

_(ou

la

_vitesse)

et la

_position

d’un corps-cule du

_système,

ni une

_composante

de la

_quantité

de

mouvement

_(oit

de la

_vitesse),

et la coordonnée

corres-pondante

d’un

_corpuscule

dit

_sys°tème.

Alors

_{qu’en mécanique}

ondulatoire on

_part

de l’indé-terrninisme d’un

_corpuscule

_pour établir ensuite l’indé-terminisrne pour un

_système

_quelconque

de corpus-cules et

l’indiscernabilité

des

_corpuscules

de même

espèce,

par notre méthode on

_part

de l’indiscernabilité des

_corpuscules

de même

_{espèce ;}

à

_partir

de cette indiscernabilité on établit l’indéterminisme _pour les

systèmes

de

_corpuscules

_{indiscernables,}

c’est-à-dire pour les

systèmes

qui

contiennent au moins deux

cor-puscules

de

chacune des

_{espèces qui}

_y

_{figurent ;}

_puis

on établit l’indéterminisme pour un

_{corpuscule unique}

et _pour un

_système

_quelconque

de

_corpuscules.

Alors

_{qu’habituellement}

on considère

l’indéter-minisme comme une

_conséquence

_purement

_quantique,

les théorèmes 9 et 10 nous montrent _que l’indéter-minisme

_peut

être considéré comme

_{complètement}

indépendant

de la constante de Planck et

_envisagé

comme une

_conséquence

_uniquement

de l’indiscerna-bilité des

_corpuscules

de même

_espèce.

V.

_Logique

et

_description

du mouvement

des

_corpuscules.

16. Mesures simultanées et

_produit

_logique.

--Du fait

_qu’on

ne

_peut

mesurer simultanément une

316

sur la valeur de la

_quantité

de mouvement et de la vitesse et une sur la

_position.

On ne

_peut

donc faire le

_{produit logique}

de deux telles

_{propositions.}

Au

_contraire,

la

_logique

habituelle des raisonnements

mathématiques,

telle

_qu’elle

a été formalisée par Russel et

_Whitehead,

ou _{par Hilbert} et

_Ackermann,

et _que nous

_désignerons

_par

_Lü,

est _{telle que le}

_produit

logique

de deux

_propositions

est

_toujours

_possible.

Si donc nous

_appliquons

cette

_logique

dans notre cas nous allons avoir le droit de faire le

_{produit logique}

d’un énoncé sur la

position

et d’un énoncé sur la quan-tité de mouvement et ce

_produit

sera vrai si nous

supposons que les deux

propositions

composantes

sont vraies.

Or,

d’après

le théorème 9 un tel

_produit

ne

_{peut jamais}

être vrai. La

_{logique classique}

forma-lisée

_I,Q

est donc

_inadéquate

_pour constituer les

_règles

de raisonnement des théories décrivant le mouvement des

_corpuscules.

Il est nécessaire de construire une

logique

telle que les

_règles

du

_{produit logique}

soient en

harmonie avec les conditions

_imposées

_par le théo-rème 9.

17. Construction d’une

_{logique adaptée}

aux raisonnements concernant les

_corpuscules.

--En

_premier

lieu, nous devons diviser les

_couples

de

propositions

en deux classes :

1~ Les

_couples

de

_{propositions auxquels}

nous

pou-vons

_appliquer

les

_règles

habituelles du

_produit

logique :

le

_produit

sera vrai si les deux

_propositions

sont

_vraies,

faux si l’une au moins des deux est fausse. Nous

_appellerons

ces

_couples

de

_{propositions : couples}

de

_{propositions composables;}

20 Les

_couples

de

_propositions

_pour

_lesquels

nous ne _{pouvons pas}

_appliquer

les

_règles

habituelles du

produit logique.

Ce sont les

_couples

d’énoncés de

résul-tats de mesures simultanées

_{correspondant}

à des

couples

de mesures de

_{grandeurs qui}

ne

_peuvent

_pas être effectuées simultanément en vertu du théorème

_{9 ;}

nous les

_{appellerons : couples}

de

_proposLtLOns

dosables.

L’existence de ces

_couples

de

_propositions

n’est pas due à la méthode de _{construction que} nous avons suivie

pour les théories

atomiques,

ces

_couples

_{incomposables}

existent

_également

_lorsque

l’on

_adopte

la

construc-tion

_quantique

_{habituelle ;}

ils se trouvent alors liés aux relations de

_{Heisenberg. L’avantage}

de notre

méthode de construction est de montrer _que l’exis-tence de ces

_couples

_peut

être considérée non comme une

_conséquence

des relations de

_Heisenberg

mais

comme une

_conséquence

de

l’indiscernabilité,

et se

trouve

_{indépendante}

de la constante h.

Le

_{produit logique}

d’une

_paire

de

_propositions

cons-tituant un

_{couple incomposable}

ne

_peut

_jamais

être

vrai ;

nous _pouvons soit considérer ce

_{produit logique}

comme

_toujours

_faux,

soit lui donner une troisième

valeur

_logique.

Il nous

_paraît

_préférable

de lui donner une troisième valeur que nous _pouvons

_appeler

« faux

renforcé », ou « faux

absolu »,

ou « absurde ». La valeui

de ce

_{produit logique}

_{n’est pas la même que celle des}

propositions

considérées comme fausses en

_logique

classique,

et aussi considérées comme fausses dans une

théorie

_physique.

Par

_exemple,

un énoncé sur un résultat de mesure est vrai s’il

_correspond

au résultat

effectivement

_{trouvé ;}

faux s’il ne

_correspond

_pas au résultat trouvé mais _{aurait pu}

_correspondre

à un

résul-tat _{de mesure ; si certaines valeurs pour les résultats}

de mesures sont exclues

_(cas

de la

_{quantification),}

il

est naturel d’attribuer à un énoncé concernant un

résultat de mesure et donnant une valeur exclue pour ce

_résultat,

la troisième valeur introduite pour les

produits logiques

de

_{couples incomposables.}

On _a, en

effet,

une

_proposition

dont la valeur est distincte de celle que nous avons

_appelée

fausse.

L’essentiel,

dans

cette

_logique

_que nous

_{construisons,}

n’est pas de

prendre

trois valeurs

_logiques

au lieu de

_deux,

mais

la

_distinction,

_pour les

_couples

de

_{propositions,}

entre

couples

composables

et

_couples

_{incomposables ;}

la troisième valeur n’est introduite _{que pour} des raisons de cohérence et de commodité.

Nous

_appellerons

« _{genre »} d’une

logique

le nombre

de classes entre

_lesquelles

nous

_partagerons

les

_couples

de

_propositions

pour ce

_qui

est du

_{produit logique.}

La

_logique

_Lo

est _{de genre}

_{1 ;}

la

_logique

_que nous

construisons est de _genre 2. Comme nous _supposons que nous avons une

_logique

à trois valeurs de _{genre 2}

nous _{pouvons décrire}

l’opération

du

produit logique

au _moyen de deux

matrices,

l’une concernant les

couples composables,

l’autre les

_couples

incompo-sables.

Pour les

_{propositions composables,}

nous devons

suivre la

_règle

_{classique :}

le

_produit

n’est vrai _{que si} les deux

_propositions

sont

_vraies,

faux si l’une des deux

est fausse. Si l’une des

_propositions

a la valeur « faux

renforcé »

_(que

nous

_désignerons

_par

_A),

le

_produit

ne

peut

être

_{vrai ;}

il est naturel de considérer la valeur A

comme

_{prépondérante.}

Dans le cas de

_{propositions incomposables,}

si les

deux sont vraies

_(V),

le

_produit

est

_{A ;}

si l’une des deux

est vraie ou fausse

_(V

ou

_F),

c’est _{que l’on} a effectué

une _mesure, et en

_{conséquence,}

il n’est pas

_possible

de connaître simultanément le résultat de l’autre mesure, ce

_qui

conduit à attribuer la valeur A au

produit ;

enfin,

si l’une des

_propositions

a la valeur

_A,

comme dans l’autre cas, l’on doit considérer _{que le}

produit

a aussi cette valeur. Ceci nous détermine les deux matrices de

_{l’opération produit}

_{logique :}

Propositions composables. Propositions incomposables.

::;

(A prépondérant sur F (A absolument _{prépondérant}

r _qui est

j _{prépondérant} sur _V.)

r

rapport

aux

_règles

de la

_{logique classique L,,}

les autres

opérations

de la

_logique

se trouvent aussi modifiées. Nous

_{n’exposerons}

_pas tout le détail de la

construc-tion.de cette

_logique,

ce

_qui

nous entraînerait hors du domaine de la

_physique,

car nous _{n’aurons pas à les}

faire intervenir ici

_(1).

VI. Relations d’incertitude.

18. Relations d’incertitude non

_quantiques.

-Nous avons établi

qu’il

ne

pouvait

_y avoir détermi-nisme

_mécanique

s’il y a indiscernabilité _des

corpus-cules de même

_espèce.

On ne

_peut

donc

_prévoir

exacte-ment les coordonnées et les vitesses ou les

_quantités

de mouvement. Ce _que nous _pouvons faire de

mieux,

c’est calculer des

_{probabilités}

_{pour les} valeurs des coordonnées et des vitesses ou des

_quantités

de

mou-vement. Il est

_possible

_que soit une

_coordonnée,

soit la

_composante

de la vitesse d’un

_corpuscule,

ou celle de sa

_quantité

de mouvement suivant le même axe

soient

_prévues

avec

_exactitude,

mais _pas les deux en même

_temps.

Si nous avons une

prévision

avec des

probabilités,

nous _pouvons calculer une valeur moyenne, par

exemple,

u, p~ et des écarts

types

6x, 6v,7,, Ces écarts sont

positifs

ou

_nuls,

et l’on a,

d’après

ce _que nous avons dit de

_{l’impossibilité}

de

prévisions

exactes,

au moins l’un des écarts et _crV.r

ou _ÜP.r non

_nul,

d’où :

,-sans

_{qu’on puisse}

avoir

_{l’égalité}

à 0 les lettres a

_{et ;3}

désignant

des

longueurs

et les lettres r

_{et p}

_désignant

des constantes

_ayant

_{respectivement}

les dimensions d’un

_tempâ

et _{d’une masse, de}

_façon

à obtenir des rela-tions

_homogènes.

Considérons les

_produits

et _{a,,. ap,,; ils} ont

une borne inférieure

_positive

ou nulle

_(les

facteurs étant

_positifs

et l’un

_pouvant

_{s’annuler).}

_Désignons

par a et b ces bornes. On a :

Les constantes a et a sont liées ainsi

_{que b}

_{et §5 :}

si l’on

_impose

une des

_relations,

la seconde

quantité

est

minimum

_lorsque

les termes sont

_égaux,

ce

_qui

nous

donne :

T

comme oc

_{et ~}

sont non

_nuls,

il s’encuit que a et b sont

positifs, l’égalité

à zéro étant

_exclue;

_{par suite} si l’un des facteurs tend vers

_zéro,

l’autre

_augmente

indéfi-nim ent : si la

_précision

sur la

_position

_augmente,

l’imprécision

sur la vitesse

_augmente

et inversement.

a et b ne

_peuvent

_dépendre

des résultats de mesures

(1~ Voir notes aux _Comptes rendus. 1937, 204, pp. 481 et 958. Les Relations d’Incertitude de _Heisenberg et la _Logique, Commu-nication au IX Congrès International de _{Philosophie (Congrès} Descartes), fa,c. -B11, p. 88 _(fasc. 541 des Actualités _{scientifiques).}

car ce sont les bornes inférieures

_prises

sur l’ensemble de toutes les mesures

_possibles.

En vertu de

_{l’isotropie}

de

_l’espace

elles sont

_{indépendantes}

de l’axe OX choisi. Ne

_dépendant

ni de

_l’espace

_{ni des mesures,} elles ne

_peuvent

_dépendre

_que des constantes

carac-térisant

_l’espèce

du

_corpuscule

considéré

(masse

nz,

charge

électrique

e,

etc.)

et de constantes

indépen-dantes des

_espèces

des

_corpuscules,

soit

_{k, l,}

...

19. Intervention de la constante de Planck Les considérations

_qui

nous ont conduit à l’indéter-minisme sont fondées

_uniquement

sur

_{l’hypothèse}

de l’indiscernabilité des

_corpuscules

de même

_espèce,

et

ces considérations laissent de côté tout caractère

quantique.

La constante de Planck ne

_peut

donc inter-venir et nous ne _{pouvons pas}

_parvenir

aux relations de

_Heisenberg,

nos relations d’incertitude

_exprimées

par les formules

(2)

et

₍₃₎

sont évidemment moins

précises.

Pour faire intervenir la constante de Planck il nous

faut un

_{postulat :}

POSTULAT. - La borne

in/prieure

b est

indépen-dante des constantes caractérisant les

_corpuscules.

La

_quantité

b se trouve être alors une constante

universelle

_{indépendante}

des

_corpuscules.

En

_{posant :}

-.

qu’on

peut

considérer comme une définition de la

constante de

_Planck,

les relations d’incertitude

₍₁₎

deviennent les relations de

_Heisenberg.

- En

mécanique

non

relativiste,

on a : p = niv, d’oil :

. On

peut

multiplier

par 1

la relation de

_Heisenberg,

On

_peut

_multiplier

par - la relation de

Heisenberg

;JL

ce

_qui

donne :

B

Cette relation étant

_satisfaite,

la somme

T - ,,,,

(L 1 est minimum si les deux termes du

_produit

_précédent

sont

_égaux

à la racine carrée de la borne inférieure. D’où cette relation :

-

i-relation

_qui

est

_plus

_précise

_{que celle obtenue}

précé-demment sans l’intervention de h.

L’indiscernabilité entraîne un certain

318

la

_mécanique

ondulatoire du fait que la valeur de la constante b de

_{l’inégalité}

₍₂₎

ne

_peut

_pas être

_précisée

sans

_{hypothèse quantique. Comparons}

les résultats obtenus par les deux méthodes :

10

_{L’hypothèse}

de

_{l’indiscernabilité,}

comme les

hypo-thèses

_quantiques,

entraîne _{que si la}

_quantité

de

mou-vement est déterminée d’une

_{façon précise,}

la

_position

est

_{complètement}

_{indéterminée;}

si la

_position

est déter-minée d’une

façon

précise,

la

_quantité

de mouvement est indéterminée.

2° Si la

_quantité

de mouvement est déterminée avec une

_{incertitude 3 p}

et la

_position

avec une incertitude

3x,

l’hyp3thè3e

de l’indiscernabilité nous donne les

relations :

Les

_{hypothèses quantiques}

nous donnent les relations

plus

précises :

-L’indéterminisme fondé sur

_{l’hypothèse}

de l’indis-cernabilité est donc moins délimité que l’indétermi-nisme

_{quantique, puisque}

les bornes

_{inférieures p}

et b des incertitudes ne sont _pas

_fixées;

on sait seulement

qu’elles

sont non nulles.

20. Géométrie

_cinématique

et indéterminisme.

- Le maximum du

langage cinématique

que nous

pouvons conserver

_malgré

l’indéterminisme

s’expri-mera au _moyen d’une

géométrie

_cinématique

s’ap-puyant

sur la

_logique

_que nous venons de définir. Nous

ne donnerons pas ici

_{l’axiomatique}

de cette

_géométrie,

nous bornant à

_indiquer

l’essentiel de la méthode. Nous

_opérerons

ainsi : à une

_géométrie

_donnée,

_par

exemple

à la

_{géométrie euclidienne,}

nous

_adjoindrons

un

système

de vecteurs dits vecteurs

_{cinétiques qui}

sera consi ~ déré comme distinct du

_système

des vecteurs

géomé-triques.

Les

_quantités

de mouvement des

_corpuscules

seront

_figurées

_par des vecteurs

_cinétiques.

Un

_couple

de

_propositions

_{constitué par} un énoncé sur les

vec-teurs

_cinétiques

et un énoncé

_{géométrique}

ne

satis-faisant pas aux relations d’incertitude

₍₁₎

sera un

couple

incomposable ;

par

suite,

le

produit logique

des

_propositions

d’un tel

_couple

ne _{pourra être vrai} et

prendra

la valeur

_logique

A.

Par

_exemple,

la donnée d’un vecteur

_cinétique

est

incomposable

avec tout énoncé

_{géométrique}

sauf un énoncé sur la définition des

_plans

_orthogonaux

à ce

vecteur

_cinétique.

La donnée d’un

_point

est

incompo-sable avec tout énoncé sur les vecteurs

_cinétiques.

Ceci constitue les deux cas

_{extrêmes ;}

ainsi un énoncé sur un vecteur

_{cinétique assujetti}

à être dans un certain

plan

avec une

_composante

fixée dans une

_direction,

est

_composable

avec un énoncé

géométrique

sur la

droite

_{perpendiculaire}

à cette direction et contenue

dans le

_plan.

A tout vecteur

_{cinétique (défini}

à une translation

près)

on

_peut

associer le

_{plan orthogonal}

_(défini

à une

translation

_près).

A tout énoncés sur les vecteurs

géo-métriques

on

_peut

faire

correspondre biunivoquement

un énoncé sur les vecteurs

_{cinétiques ;}

de

_même,

à tout énoncé sur les

_{points correspond}

un énoncé sur

les

_plans

associés aux vecteurs

_{cinétiques qui}

sont liés par corrélation. On a donc un

_principe

de dualité entre

les éléments de

_{couples incomposables,}

du fait

_qu’ils

sont

_{incomposables,}

le mouvement du

_corpuscule

ne

peut

être décrit en utilisant cette dualité.

(Celle-ci

n’a rien de commun avec la corrélation

qui

intervient dans la théorie des formes

_linéaires.)

Le cas où la

_position,

ou au contraire la

_quantité

de

mouvement d’un

_corpuscule

est fixée exactement est

un cas

_{limite ;}

en

_général,

la

_position

est fixée avec une certaine

_incertitude,

_par

_exemple,

la coordonnée x

est fixée à Ax

_près,

_{p x est} aussi fixé

_{à àp,,}

_près,

les énoncés sur ces déterminations sont

_cornposables

si est

_supérieur

_{à b,}

_{incomposables}

dans le cas contraire. Tout énoncé sur une

_partie

de la

_région

d’incertitude de l’extrémité du vecteur

_quantité

de mouvement est

_incomposable

avec tout énoncé sur une

_partie

de la

_région

d’incertitude de la

_position,

il y a une relation entre les deux domaines

_qui

_peuvent

être

_échangés

dans une dualité

_qui

n’est pas une

corré-lation,

faisant passer des éléments

_{géométriques}

aux

éléments

_cinétiques.

Si l’on fait intervenir les moments de rotation on

doit,

suivant cette

_méthode,

considérer un troisième

système

de vecteurs distincts des vecteurs

géomé-triques

et

_{cinétiques :}

le

_système

des vecteurs moments

cinétiques.

Tout

_couple

d’énoncés

_comprenant

un énoncé sur les moments de rotation et un énoncé sur les vecteurs

_{géométriques}

ou

_cinétiques

est un

_couple

composable

s’il

_s’agit

d’éléments mesurables

sirnul-tanément,

incomposable

dans le cas contraire. Si un moment de rotation J!t est défini

entièrement,

un

énoncé sur ce moment est

_incomposable

avec tout énoncé sur les vecteurs

_{géométriques}

ou

cinétiques,