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Sur l’indiscernabilité des corpuscules IIIe partie
Paulette Février
To cite this version:
IIIe PARTIE
Sommaire. 2014 L’indiscernabilité des corpuscules de même espèce entraînant l’indéterminisme, on en étudie les répercussions sur les lois générales de prévisions. Une condition générale est obtenue.
En adjoignant le principe des interférences et le principe de linéarité de l’opérateur hamiltonien, on est
conduit à diviser les corpuscules en deux classes : ceux pour lesquels les fonctions d’onde sont symétriques et
ceux pour lesquels les fonctions d’onde sont antisymétriques. On retrouve ainsi un résultat de la mécanique ondulatoire sans avoir fait intervenir de conditions quantiques.
Puis le passage à la mécanique macroscopique est examiné ; celui-ci ne se présente pas de la même façon
qu’en mécanique quantique, car la constante de Planck n’intervient pas. On montre qu’à l’échelle
macrosco-pique les localisations sont telles que l’indiscernabilité n’a plus lieu.
VII. L’indiscernabilité et les lois de
prévision.
-
-21. Prévisions. - Dans la
partie
II,
nous avonssupposé qu’une
théoriephysique
contenait :10 Des résultats de mesures ; un résultat de mesure r sur un
système
est considéré comme une fonction dusystème
physique
observé S et del’appareil
de mesure utilisé A. r =f (S, A).
20 Des
prévisions ;
uneprévision
faite pour unecertaine
grandeur physique
concernant unsystème S,
àpartir
d’un certain résultat de mesure, est considéréecomme une fonction de la
grandeur
G pourlaquelle
on fait laprévision
9:,
de l’instantt pour
lequel
on lafait,
dusystème
observéS,
du résultat r de la mesureeffectuée
à to :
:30 Des lois
physiques ;
les loisphysiques
s’expriment
au moyen des conditions
imposées
aux fonctions F etf.
Nous allons étudier maintenant lesconséquence
del’hypothèse
de l’indiscernabilité descorpuscules
de mêmeespèce
sur lesprévisions.
M. J. L. Destouches(1)
a démontré
qu’on
pouvait,
dans tous les cas, associeraux résultats de mesures r des éléments abstraits
Xa
et aux
prévisions S
des éléments abstraits X dontl’ensemble constitue un espace
(ae)
tels que :Cette dernière relation
exprime
que lesprévisions
’?s’obtiennent pour
l’instant t,
àpartir
de l’élémentX(t)
par des lois
indépendantes
dutemps.
Il a démontré en
outre,
d’unepart,
que les élé-ments X obéissaient à uneéquation,
diteéquation
d’évolution,
de la forme, ,>
1) L. J. DESTOUCHES. Bull. de l’Acad. roy. de Belgiqu.e, 1936,
22, No 4, p. 524 ; février 1937, 23, N- ?, p. 159 ; Journal de
Phy-tique, juillet 1936, 7, N° 7; p. 305.
ae étant un
opérateur
del’espace
(a) ;
d’autrepart
que, si l’on considère un
système
constitué decorpus-cules
indépendants, l’opérateur
Jeo
dusystème
est la somme des~~i
des différentscorpuscules i
dusys-tème :
Et si les éléments du
système
sont eninteraction,
l’opérateur
ae est :- - .
-où Jl est
appelé
opérateur
d’interaction.22. Lois de
prévisions
pour unsystème
conte-nant descorpuscules
indiscernables. -- Sile sys-tème contient des
corpuscules
indiscernables,
comme unepermutation
de deuxcorpuscules
indiscernables est sanssignification physique,
elle nepeut
en aucune manière altérer lesprévisions.
Ceci a pourconséquence
que, si deuxcorpuscules
numérotésprimitivement i et j
sont
indiscernables,
on doit avoir :Jti
lie
Ceci est
vérifié,
car une théorieplus complète
mon-trerait que la forme desopérateurs
a nedépend
que del’espèce
descorpuscules
considérés.Désignons
par[1]
et[j]
les variables attachées auxcorpuscules i
et j supposés
indiscernables.L’indiscer-nabilité
exige
que l’on ait :En faisant intervenir les éléments le on devra avoir :
Cette
équation
(4)
exprime
les conditionsexigées
par l’indiscernabilité dans le cas de deuxcorpuscules.
Si l’on a p
corpuscules
indiscernablesparmi
les n dusystème,
la relationprécédente
devra être satisfaitepour toute
paire
decorpuscules
indiscernables.‘
23. Lesconséquences
duprincipe
desinterfé-.
rences. -
Complétons
la théoriedéveloppée jusqu’ici
320
par le
principe
desinterférences,
que nous énoncerons ainsi :PRINCIPE DES INTERFÉRENCES
(~).
- ’.L~ Dans le cas d’uncorpuscule unique,
laprobabilité
deprésence
ducorpuscule
dans un volume dr entourant unpoint
M est donnée par1 X 2dr,
X étant l’élément deprévision
auquel
nous pouvons donner dans ce cas le nom de fonction d’onde car ceprincipe
nous fournit le raccordavec la
mécanique
ondulatoire ;
20 Dans le cas d’un
système
de ncorpuscules,
les npoints figuratifs
descorpuscules
dusystème
peuvent
êtrereprésentés
par unpoint
del’espace
deconfigura-tion. La
probabilité
deprésence
dupoint figuratif
dusystème
dans un élément de volume der autour d’unpoint
M est donnéepar ~
X 2
d ’t"3 n,
X étant l’élément deprévision
dusystème
que nous pouvonsappeler
fonc-tion d’onde car ce
principe
constitue le raccord avecla
mécanique
ondulatoire dessystèmes.
30 Cet énoncé
peut
être étendu à lamécanique
ondu-latoire relativiste dessystèmes
en utilisantl’espace
deconfiguration-temps
deM.
J.-L. Destouches et engéné-ralisant le résultat de M. Louis de
Broglie
pour lapro-babilité de
présence
duphoton.
On
peut,
semble-t-il,
admettre ceprincipe
desinter-férences
généralisé :
laprobabilité
deprésence
dupoint
figuratif
dusystème
dans un élément de volume autour d’unpoint
1~T est donnée par :.X étant l’élément de
prévision
dusystème,
A un cer-tainopérateur.
L’tlément Xpeut
être considéré commeun vecteur à p
composantes,
l’espace
(1)
étant dansce cas le
produit
cartésien de p sous-espaces etl’opéra-teur A est tel que,
Xz
étant une des pcomposantes
et Sisignifiant
+ 1
ou -1 ou 0 suivant la valeur de1,
l’expression
de laprobabilité
deprésence
prend
la forme :Uonsiaerons alors un système contenant aes
cor-puscules
indiscernables. En utilisant les notationsdu
paragraphe précédent,
nous devonsavoir,
en vertu de la relation(4) :
Au lieu d’utiliser les carrés des modules
[ X 2
nouspouvons
adopter
l’écritureéquivalente
X*X,
endésignant
par X*l’imaginaire conjuguée
de X. La relationprécédente
peut
s’écrire,
ensupprimant
leséléments de volumes :
Cette
équation
sedécompose
en leséquations
sui-vantes :B1) Louis DE BROGLIE. Introd. à la Jlécanique ondul. (Her-mann, 1930, Paris), p. 93. Théorie de la quantification dans la nouvelle mécanique (Hermann, 1932, Paris), p. 20 et 84.
«
et
étant des nombres arbitraires.Comme en
mécanique
ondulatoire on atoujours
detels facteurs arbitraires ei r nous pouvons faire OE - p
= 0
puisqu’il
restetoujours
un facteur arbitraire ei v.Les deux solutions de
l’équation
(5)
sont donc :24. La condition de linéarité. - Si nous admet-tons encore un nouveau
principe
suivantlequel
l’opé-rateur hamiltonien ae d’unsystème
decorpuscules
estlinéaire,
nous allonspouvoir
tirer desconséquences
des solutions 10 et 2~ ci-dessus de
l’équation
(5).
Admettons donc :PRINCIPE DE LINÉARITÉ. -
L’opérateur
hamilto-nien le del’équation
d’évolution d’unsystème
de ncor-puscules
est linéaire :Considérons en
particulier
unsystème
formé decorpuscules indépendants. L’opérateur
DC étant lasomme des
Ici,
un élément deprévision
X est le pro-duit d’éléments deprévisions
des différentescor-puscules
ou une combinaison linéaire de telsélé-ments X :
Supposons
que lescorpuscules i et j
soientindiscer-nables,
les élémentsayant
unesignification physique,
c’est-à-dire les
prévisions,
ne devront pas être altérées par unepermutation
de i enj. D’après
la condition(5),
X devra satisfaire soit à la condition 1~ soit à la
condi-tion 2~. Ceci ne pourra avoir lieu que si tous les termes
de la somme
figurant
dans(6)
satisfont aussi à la même condition.Nous en concluons que les
corpllscllles
doivent étierangés
en deuxcatégories :
Ceux pour
lesquels
lesfonctions
d’onde sonttriques
(condition
1 °) ;
’Ceux pour
lesquels
lesfonctions
d’onde sontmétriques (condition 2°).
Nous retrouvons ainsi les résultats connus de la
mécanique
ondulatoire(1)
commeconséquence
unique-ment du
principe
des interférences et duprincipe
delinéarité,
indépendamment
de l’interventionexplicite
de conditionsquantiques
(non
intervention deh).
Ce~ résultats s’étendent à lamécanique
relativiste dessystèmes
en utilisant leprincipe
des interférencesgéné-ralisé. Mais il ne nous est pas
possible
ainsi de déciderquels
sont lescorpuscules
à fonction d’ondeComme dans la théorie
quantique
habituelle,
il faut unpostulat
pourpréciser quels
sont lescorpuscules
dechaque catégorie.
25.
Passage
à lamécanique
macroscopique.
-A
partir
de lamécanique
ondulatoire on retrouve lamécanique classique
quand
on considère des corpus-cules degrande
masse, ou encorelorsqu’on
fait tendrela constante de Planck h vers 0. Nlais nos considéra-tions sur l’indiscernabilité sont vraies
indépendam-ment de la masse des
corpuscules
et de la constante de Planck. Elles devraient donc être encore valables à notre échelle. Il y a donc apparence deparadoxe
puis-qu’il
ne semble pas y avoir raccord avec lamécanique
classique.
On
pourrait
chercher à lever leparadoxe
en disant que les corpsmacroscopiques
contenant un trèsgrand
nombre de
corpuscules,
iln’y en
a pas deuxqui
sont constitués exactement du même nombre decorpus-cules et on pourra les discerner.
Mais c’est là une mauvaise raison. Le
paradoxe
s’explique
de lafaçon
suivante :lorsque
nousexami-nons un corps
macroscopique,
les conditions initiales sont telles quependant
untemps
trèslong
nous sommes certains que lescorpuscules
constituants deux corpsmacroscopiques
distincts n’auront pas unerégion
deprésence
commune. Tout se passe comme s’il y avait entre eux des barrièresinfranchissables ;
la discernabilité se trouve alors établie etplus
rienn’empêche
le raccord avec lamécanique classique.
Examinons sur un
exemple particulier
le passage àla
mécanique macroscopique, d’après
un raisonnementque nous a
communiqué
NI. Lou~s deBroglie.
Soient deux
corpuscules susceptibles
de se mouvoir lelong
d’un axe ox. A un instant = 0 on mesure laposition
des deuxcorpJscules
et leurs vitesses. Pour lepremier,
on trouve que l’abscisse estcomprise
entre x, et xi-~-
ÕX,
pour le secondqu’elle
estcomprise
entrex, et x2 - ÕX.
Quant
auxvitesses,
on trouve que celle dupremier
corpuscule
estcomprise
entre 0 et ô vxet celle du second entre 0 et A l’instant
t, la
position
dupremier corpuscule
peut
se trouver entre xiet x, -- ô x + et celle du second entre x, et
Si 2 1 x + c’est-à-dire
il y a
empiètement
derégions
deprésence
et indiscer-nabilité. Onpeut
supposer ôxnégligeable
devantX2 -
x,. On a alors sensiblement pour condition
d’indis-cernabilité :
Avec la relation de
Heisenberg :
et en
prenant
lesigne
d’égalité
pour seplacer
dans lecas le
plus
favorable,
on a :Pour et ~x
donnés,
tiiiin est d’autantplus
grand
que m estplus grand,
cequi explique
la discer-nabilitépratique
des corpsmacroscopiques.
Si l’on admet seulement la relation d’incertitude
(plus
faible) :
on aura dans le cas le
plus
favorable :ou Ir ieux :
car ici ô x
peut
être nul.tmin ne
dépendrait plus
de m, cequi
est moins satis-faisant pour le raccord avec lemacroscopique.
Mais on
peut
écrire,
au lieu de :l’inégalité :
soit : à cause de = et par suite : ou mieux : en faisant ÕX =0;
étantsupposé
être une constantepUL
universelle et x, -ri étant
donné,
tnlin est d’autantplus grand
que m estplus
geand,
cequi
est satisfaisant.Ce raisonnement montre que la forme la
plus
commode des
inégalités
du§
18 est :constante
universelle de dimension201320132013.
u. masse
Conclusion.
1. A la base de l’atomisme se trouvent deux
prin-cipes :
unprincipe
finitiste et leprincipe
de Dalton. Ces322
ponctuelle qu’avec
unemécanique
ondulatoire,
aussibien avec la discernabilité des
corpuscules
de mêmeespèce
qu’avec
leur indiscernabilité. Ces deux ques-tions : choix de lamécanique,
choix de la discernabi-lité ou del’indiscernabilité,
dominent la construction des théoriesatomiques,
pourlaquelle
deux ordrespeuvent
être suivis :10 On fait choix de la
mécanique,
en l’occurence lamécanique
ondulatoire,
et laquestion
de la discerna-bilité ou de l’indiscernabilité se trouve résolue par le théorème 2 : si lescorpuscules
obéissent aux lois d’unemécanique
ondulatoire leprincipe
de Dalton a pourconséquence
que lescorpuscules
de mêmeespèce
sontindiscernables. C’est l’ordre suivi habituellement dans
les théories
quantiques ;
20 On
peut,
aucontraire,
examiner enpremier
lieusi l’on doit admettre la discernabilité ou
l’indiscerna-bilité des
corpuscules.
Ceciexige
avant tout une défi-nitionprécise
des notions de discernabilité etd’indis-cernabilité,
et l’étude d’un certain nombre de leurspropriétés.
Il convient de renforcer leprincipe
de Dal-ton et d’admettre l’indiscernabilité descorpuscules
de même
espèce.
Partir ainsi du renoncement à l’indiscernabilité des
corpuscules
pour édifier les théoriesatomiques,
c’estsuivre la voie
préconisée
par M.Langevin, qui
espé-rait
qu’on pourrait
par là rétablir le déterminisme.Mais nous avons vu que cette
espérance
n’est pas réa-lisable. Eneffet,
le choix fait de l’indiscernabilité influesur le choix de la
mécanique :
suivant le théorème5,
unemécanique ponctuelle exige
la discernabilité descorpuscules ;
parsuite,
si lescorpuscules
de mêmeespèce
d’unsystème
sontindiscernables,
aucun sys-tème contenantplusieurs corpuscules
de mêmeespèce
ne
peut
êtrerégi
par unemécanique ponctuelle.
Enoutre,
nous avons établi que l’indiscernabilité entraînel’indéterminisme
mécanique,
enpremier
lieu pour toutsystème
contenant descorpuscules
de mêmeespèce,
puis
pour uncorpuscule unique,
enfin pour un sys-tèmequelconque
decorpuscules.
On obtient cescon-clusions en
s’appuyant uniquement
surl’hypothèse
del’indiscernabilité
indépendamment
de toute considé-rationquantique.
L’indéterminismepeut
donc êtreconsidéré,
non comme uneconséquence
deshypothèses
quantiques,
mais comme uneconséquence
del’indis-cernabilité.
2. Résumons la manière dont on obtient ce résultat.
D’abord la discernabilité et l’indiscernabilité sont
définies en liaison avec des résultats
d’expériences
(définitions
1 et2).
Leprincipe
de Dalton montrealors que les seuls caractères distinctifs
possibles
pourdes
corpuscules
de mêmeespèce
sont liés aumouve-ment,
parexemple
à la localisation ou à laquantité
demouvement. D’autre
part,
une étude sur lapossibilité
d’ordination descorpuscules
d’unsystème
montre que cettepossibilité
estéquivalente
à ladiscernabilité,
et nous avons fait usage de cetteéquivalence
au cours des démonstrations.Pour
que,le
choix entre la discernabilité etl’indis-cernabilité se pose
nécessairement,
ilfaut,
enprelnier
lieu,
prouver l’irréductibilité d’une théoriesupposant
la discernabilité à une théorie
supposant
l’indiscrer-nabilité ;
ceci amène àpréciser
les élémentsqui
sontà la base d’une théorie
physique
et à définir leschange-ments de
théories,
les théoriesisomorphes,
les théoriesphysiquement
identiques.
Il estpossible
alors de prou-ver le caractèreobjectif
del’indiscernabilité,
c’est-à-dire l’irréductibilité de l’indiscernabilité à la discer-nabilité.
Enfin,
après
une définition d’unemécanique
ponctuelle,
lesexigences
d’une tellemécanique
sontexaminées par
rapport
à la discernabilité.3. A la suite de ces
préliminaires
nous étudions lesconséquences
del’hypothèse
d’indiscernabilité. Ledéterminisme des
positions
étant défini comme lapossibilité
de fixer laposition
descorpuscules
d’un ’système
en fonction dutemps,
l’on constate que si unsystème
contient descorpuscules
indiscernables,
il y a indéterminisme despositions;
iln’y
apossibilité
de déterminisme que si tous lescorpuscules
sont en un mêmepoint. ,Le
déterminisme desquantités
de mou-vement étant défini comme lapossibilité
de les donneren fonction du
temps,
on établit que si unsystème
contient des
corpuscules
indiscernables,
ou bien iln’y
a pas déterminisme des
quantités
de mouvement, ou bien lesquantités
de mouvement des différentscor-puscules
indiscernables sont touteségales.
Mais alors si l’on est dans le cas où ilpeut
y avoirdéterminisme,
et s’il y a effectivement déterminisme des
quantités
de mouvement on nepeut
effectuer simultanément lamesure des
quantités
de mouvement et la mesure despositions
(car
il y aurait déterminisme desposi-tions), excepté
si tous lescorpuscules
indiscernables sont au mêmepoint
(cas
d’uncorpuscule
complexe).
Nous examinons alors les conditions pour effectuerdes mesures simultanées. Ces mesures simultanées ne
peuvent
dépendre
des résultats de mesures, cequi
entraîne que
si,
dans un cas, la mesure simultanée des deuxgrandeurs
A et B pour unsystème
S estimpos-sible,
elle l’est dans tous les cas.D’après
cequi
pré-cède,
il est alorsimpossible
de mesurer simultanémentposition
etquantité
demouvement ;
ceci entrainequ’il
nepeut
y avoir déterminismemécanique
pourun
système
physique
contenant descorpuscules
indis-cernables.Il faut étendre maintenant ce résultat au cas d’un
corpuscule
unique
et au cas d’unsystème quelconque.
Ces conclusions étant valablesquelles
que soient les interactions entre lescorpuscules,
elles le sont enparticulier
pour unsystème
decorpuscules
indépen-dants ou pour un
système
constitué par la réunion de deuxsystèmes
identiques.
Cecipermet
de conclure àl’indéterminisme dans tous les cas.
L’impossibilité
d’énoncer simultanément des résul-tats de mesures pour lespositions
et lesquantités
de mouvement nousoblige
à modifier les lois duproduit
4.
Puisqu’il
y aindéterminisme,
nous pouvons au mieux calculer desprobabilités,
d’où des valeurs moy ennes et des écartstypes.
Leproduit
de l’écarttype
de
laposition
et de l’écarttype
de laquantité
demouvement nous fournit des relations d’incertitude
qui
sontplus
faibles que celles deHeisenberg, puisque
toutes nos considérations sont en dehors du domainedes
quanta,
et que parconséquent
la constante dePlanck, ne
peut
intervenir.Pour introduire cette constante et obtenir les rela-tions de
Heisenberg
il faut recourir à unpostulat.
Nous
indiquons
ensuite les bases d’unegéométrie
cinématique
en accord avec les relations d’incertitudes’appuyant
sur notrelogique
L f.
5. Puis nous examinons les
conséquences
del’indis-cernabilité sur les lois formelles
générales
deprévi-sions. Si l’on admet le
principe
des interférences(prin-cipe généralisé,
dans le casrelativiste),
et leprincipe
de linéarité del’équation
d’évolution,
l’indiscernabilité conduit à diviser lescorpuscules
en deuxcatégories,
de même
qu’en mécanique
ondulatoire : ceux pourlesquels
les fonctions d’onde sontsymétriques,
ceux pourlesquels
les fonctions d’onde sontantisymé-triques.
Enfin,
nous examinons le passage à lamécanique
macroscopique. Puisque
l’indéterminisme a pu être établiindépendamment
de la constante dePlanck,
lepassage à la
mécanique
macroscopique
nepeut
pass’effectuer de la même manière
qu’en
mécanique
ondulatoire. L’indiscernabilité n’a
plus
lieu pour dessystèmes
macroscopiques,
car leurs localisations sonttelles
qu’il
n’y
a pas derégion
depossibilité
depré-sence commune à
plusieurs systèmes
et tout se passe comme s’ils étaientséparés
par des barrièresinfran-chissables. S’il
n’y
aplus
indiscernabilité,
rien nes’oppose
au déterminisme.Cette étude nous
permet
de bienséparer
les consé-quences de l’indiscernabilité desconséquences
quan-tiques.
L’indiscernabilité entraînel’indéterminisme,
et l’on
retrouve,
qualitativement
dumoins,
lescarac-tères essentiels des théories
quantiques
commeconsé-quences de l’indiscernabilité. La constante de Planck ne fait que
