Interférences lumineuses et corpuscules

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Interférences lumineuses et corpuscules

M. Risco

To cite this version:

INTERFÉRENCES

LUMINEUSES ET CORPUSCULES

Par M. RISCO.

Maître de Recherches au C. N. R. S.

Sommaire. -

Interprétation corpusculaire d’une _expérience de diffraction, imaginée par Abbe, dans

laquelle un réseau est illuminé simultanément par deux faisceaux _d’égale intensité et où l’on amène à la coïncidence deux des maxima transmis. L’ « _{indice de l’espace pour les} ondes associées » _joue dans

ce cas _pratique un rôle essentiel.

La théorie _{développée garde} une connexion étroite avec les interférences entre ondes _planes d’une même _amplitude. L’étude _{corpusculaire} de ce _type de _phénomènes conduit à des résultats assez satis-faisants. Nous l’abordons ici par les méthodes propres à la _{Cinématique relativiste,} et étendons cette

étude au cas des _pulsations lumineuses dues à l’interférence entre ondes de fréquences différentes

se _propageant en des sens contraires.

12,

1951,

1.

_Rappelons

d’abord une ancienne

_expérience

d’optique

réalisée par Winkelmann suivant les indications d’Abbe. Nous verrons

_qu’en

utilisant des connaissances

_plus

récentes on

_peut

lui attribuer

actuellement une

_{signification}

_théorique

_plus

concrète que celle

qui

était

_possible

à

_l’époque.

Considérons deux

_systèmes

d’ondes

_planes

et

Fig. 1.

cohérentes

_d’égale

_amplitude

_A,

d’une même

fré-quence v et

qui

s’entrecroisent dans le vide sous un

angle

2 cp. Nous

prendrons

comme

_plan

de la

_figure

i celui

_qui

est défini _{par les} directions de propaga-tion AO et BO des deux

_{systèmes’d’.ondes}

et nous

emploierons

comme axes de coordonnées les

bissec-trices de ces droites.

-

On obtient donc dans

_l’espace,

_par addition des variables

lumineuses,

un état interférentiel

_qui

répond

à la formule

où

et

_qui

est caractérisé _par une distribution d’intensités

selon des

_plans

de maxima et

_minima,

perpendicu-laires au

_plan

du dessin et

_parallèles

à la

bissec-trice

OX des vecteurs de

_propagation.

Deux

_plans

interférentiels d’une même nature

_{(représentés}

en

pointillé

sur la

_{figures )}

sont

_séparés

_par une

_période

spatiale

2 sin

et,

en

_{conséquence,}

les

_franges

recti-2 _{sin qJ}

lignes que

l’on recueille sur un écran

S,

dont la normale N forme un

_angle

i avec

_OX,

ont _pour

équidistance

Dans

_{l’expérience}

_qui

nous _occupe

_(fig.

_2),

on a

employé

comme écran la surface

_plane

d’un réseau

par

transmission,

avec ses fentes orientées selon OZ. En faisant tourner le réseau autour de cet axe,

si l’on maintient invariable

_l’angle

2(p des faisceaux

Fig. 2.

z

illuminants,

on arrive à

_produire

la coïncidence des

deux maxima

_principaux

de I er

_ordre,

situés à droite et à

_gauche

des directions lumineuses

primi-rives, quand l’angle

i

_qui

définit les incidences a la

valeur

_qui

_exprime

la formule

où s

désigne

la distance entre

deux

fentes

consécu-tives du réseau. ’

Des

_équations

₍₄₎

et

₍₅₎

on tire

c’est-à-dire _que, dans

les

conditions

de

travail

773

imposées,

l’intervalle des

_franges

_produites

sur la surface du réseau est

_égale

à la

moitié

de sa constante.

On

_peut

le

constater,

comme

_Winkelmann,

au _moyen d’une observation

_{microscopique.}

Quant

à la direction des maxima

superposés

de

I er

ordre,

l’angle

r

_qui

forme avec la normale au

réseau est

calculable,

en fonction de

_i,

_{par la relation}

facile à démontrer

L’attention d’Abbe avait été attirée par ce fait que le

quotient

des sinus

Sin L

peut s’écrire,

pour

sin r .

les directions en

_question,

comme

un

_rapport

entre

deux

_longueurs

d’onde attribuables à l’une et l’autre des

_régions

où

_l’espace

est _{divisé par le}

_plan

du

réseau. En

effet,

selon les

_{équations (7)}

et

₍₃₎

1B,

qui

a été

_appelée

«

_longueur

d’onde fictive _»,

joue

un rôle

fondamental,

défini par la formule

(1),

dans le

_phénomène

interférentiel

_qui

a son

_siège

dans la

_{région spaciale}

antérieure au réseau et

_qui

est

caractérisé,

dans le

_plan

dru

dessin,

par des

franges

orientées selon la biasectrice.

X,

longueur

d’onde de la lumière

_employée,

se

retrouve dans les rayons diffractés et

_{particulièrement}

dans la direction OM des maxima en coïncidence.

En somme, la relation

(8)

montre _{que la} direction

de la bissectrice des faisceaux illuminants et la direction des maxima

_superposés

_âe

I er ordre sont

liées l’une à l’autre ,comme s’il

_s’agissait

d’une

réfraction,

étant

_pris

le

_plan

_{du réseau pour} surface

de

_séparation

de deux milieux de différent indice. En étudiant cette

_analogie

_{trouvée par Abbe} et

spécialement,

du double

_.point

de vue ondulatoire

et

_{corpusculaire,}

la

_{propagation qui}

s’effectue le

long

de la bissectrice des faisceau

_incidents,

on arrive à des nouveaux résultats se référant

principa-lement à la

_{possibilité d’envisager}

la

_production

de

_{paires corpusculaires}

dans les

_champs

d’interfé-rence entre ondes lumineuses d’une même

_amplitude.

2.

_{L’équation}

₍₂₎

montre _que u _> c. Il faut donc considérer cette vitesse u comme une vitesse de

phase,

et l’on

_peut

affirmer en

_conséquence

_{que la} «

_longueur

d’onde fictive »

_/B,

_équation

_(3),

n’est autre

_qu’une

_longueur

d’onde associée. L’état

inter-férentiel

_{(1) implique}

réellement la formation d’un essaim de

_corpuscules

_qui

se

_déplacent

selon la

direction IOX avec une vitesse

et dont la masse individuelle au _{repos, calculable}

par la relation de M. L. de

Broglie

a _{pour valeur}

En

_{conséquence,}

la masse

_{maupertuisienne}

d’un de ces

_corpuscules

est,

pour

l’expérimentateur,

exactement

_égale

à

_la

masse d’un

_photon

illumi-nant

’

A

_chaque

_rayon

_{corpusculaire}

incident

_parallèle

à

IOX,

on doit faire

correspondre, après

la

diffraction,

un _{rayon lumineux}

_ayant

la direc-tion OM des maxima de I er ordre. "

Sans

_qu’il

faille

dépasser l’aspect plutôt

formel

attribué par les auteurs mêmes à leur

expérience,

il convient de

_signaler

que si l’on établit pour le rayon

incident

et _{le rayon} transmis

_{l’égalité}

relativiste des

_projections

des

_quantités

de mouvement sur le

plan

du réseau

’

-on

_retrouve,

_{équation (8),}

soit,

selon

₍₉₎

On arrive en somme, pour

l’angle

d’incidence

utilisé,

à un résultat

_qui

concorde avec celui de la théorie °

newtonienne de la réfraction : les sinus

de

i et de r

sont,

en

_effet,

en

_rapport

inverse des vitesses corpus-culaires

_(v

et

_c)

existantes devant et derrière la surface de

_séparation.

Mais,

évidemment,

en

renon-çant

à

_l’emploi

de vitesses

matérielles,

le

_quotient

des sinus

_peut

s’écrire aussi comme un

_rapport

direct entre les vitesses de

_phase.

Soulignons

maintenant le résultat suivant : la

région

de

_l’espace

_qui

_précède

le réseau de

diffrac-tison

_{(région qui}

est le

_siège

des formations corpus-culaires dues aux chocs des

_{photons illuminants)}

a _par

_rapport

au

_vide,

c’est-à-dire _par

rapport

à l’autre

_région

_spatiale,

un (f

indice’ »

_qui

vaut,

selon les

_égalités

₍₁₂₎

et

_{(12 bis)}

On.

_parvient

donc à

_{l’expression}

bien connue de l’ « indice de

_l’espace

_{pour les ondes associées à} un mobile de vitesse

_03B2c

».

Nous avons

_parfois

laissé un _{peu de côté cette} circonstance que les rayons diffractés de direc-tion OM sont _{des rayons}

doubles,

formés par la

superposition

des maxima dé jar ordre. On devrait

cor-puscules

en

_mouvement,

et non un

_seulement,

_pour

chaque

trajectoire

10 d’incidence. Cette

question

sera dûment éclaircie par la suite

(§ 4).

3.

_L’exposé

fait dans les

_{paragraphes précédents}

confirme la

_possibilité

de concevoir la formation de

certains

_corpuscules

en

éhaque

point

d’un

champ

d’interférences entre ondes lumineuses d’une même

amplitude,

et cette

idée,

comme nous le verrons,

peut

être. étendue aux

_franges

mobiles

produites

par deux ondes

planes

de

fréquences inégales.

Il

nous semble que la

_question

mérite d’être étudiée

de

_{plus près,}

même en devant laisser à

part

le cas

d’interférences entre ondes

_{d’amplitudes}

différentes,

qui

offre des difficultés’ sérieuses

_(1).

Limitons-nous,

pour le

moment,

au cas

jusqu’ici

considéré où les deux ondes lumineuses

_planes

ont

une même

_fréquence.

Nous continuerons de

repré-senter ces

ondes,

en utilisant le

_système

d’axes

Fig. 3 a et 3 b.

coordonnés de la

_figure

3 a,

au _{moyen des}

expres-sions

L’addition de ces variables lumineuses

_produit

évidemment dans

_l’espace

une distribution

pério-dique

d’intensités tout à fait

_pareille

_(laissant

à

part

le

_changement

de

_phase

_par

_réflexion)

à celle

que

l’on

obtient en faisant interférer un faisceau

incident avec le faisceau

réfléchi

sous incidence

oblique

par un miroir

plan,

parfaitement réflecteur,

qui

serait

en coïncidence avec XOZ.

Les

_franges,

telles

_qu’elles

existent dans _le sys-tème

_XY,

sont des

_franges

ordinaires

d’interfé-rence, mais si l’on soumet le

phénomène

à une transformation de

_Lorentz,

_{on peut}

_trouver,

comme

nous allons

voir,

un certain référentiel dans

_lequel

l’état interférentiel

devient

stationnaire.

Considérons deux

_systèmes

coordonnés

_XY,

X’ Y’

en mouvement

_relatif,

_qui

soient

_également

orientés

et dont les axes

d’abscisses

_glissent

l’un sur l’autre avec une vitesse v. Dans ces conditions les

for-(1)

DE BROGLIE L. - Introduction à l’étude de la

mécanique ondulatoire, ig3o,

chap.

X. ’

mules de Lorentz

_peuvent

s’écrire sous la forme

a et b étant

Il est

_évident,

_{par raison de}

_{symétrie, qu’en}

vertu

de cette transformation

rejativiste

les ondes

₍₁₅₎

et

₍₁₆₎

se ;

présenteront

dans le référentiel X’ Y’

comme ondes

_ayant

une

_nouvelle,

mais commune

fréquence

1J’. Les

_amplitudes

A’ seront aussi

_égales

pour les deux

systèmes

d’ondes et leurs vecteurs de

propagation

continueront d’être

_disposés

symétri-quement

par

rapport

à l’axe des abscisses. Les

plans

interférentiels

glissent

sur _{eux-mêmes par} effet du

_changement

de

référentiel,

et l’on ne

_peut

les différencier

_{théoriquement}

_{que par leurs}

pro-priétés ondulatoires lorsqu’on

passe

de

XY à X’Y’.

Désignons

maintenant _par

(X,/1’

03B21

et

_a’.,,

_fj’2

les cosinus directeurs ’des rayons dans le référentiel X’Y’. Les nouvelles variables lumineuses s’écrivent alors

et l’on obtient

De ces deux dernières formules il ressort

_que

la

valeur

_{particulière}

de la vitesse

sert à définir un référentiel dans

lequel

les deux

faisceaux

de rayons

parallèles

ont une même

direc-tion

_(celle

de l’axe

_0’Y’)

et se

_propagent

en des

sens inverses

_(fig.

3

_b).

Comme d’autre

_part

les

fréquences

et les

_amplitudes

sont

_toujours

communes

pour les deux

faisceaux,

il est _{évident que} le réfé-rentiel trouvé

_jouit

du’

_privilège

de

_présenter

le

phénomène

interférentiel avec les

_propriétés

ondu-latoires d’un état stationnaire

caractérisé,

selon

₍₁₇₎

et

_(20),

_{par la}

_fréquence

_propre,

A cet ensemble de

_plans

interférentiels station-naires nous _pouvons associer des

_corpuscules

_qui

soient au _repos en X’ Y’ et

_qui

auront

775

et

_qui

vaut

_pourtant

On

_arrive,

en somme, pour mo et v aux valeurs

₍₁₁₎

et

₍₉₎

_{précédemment}

trouvées.

Dans le cas concret où l’on

_emploie

_pour

_produire

les

_franges

un faisceau

_parallèle,

et son faisceau réfléchi par un miroir

_plan,

réflecteur

_intégral,

_que

nous _supposerons

_placé

normalement à

OY,

l’obser-vateur

_{qui appartient}

au référentiel

XY,

opérant

sous incidence

_{oblique (fin.}

3

_a),

obtiendra un état interférentiel de

_type

_ordinaire,

_{tandis que}

l’obser-vateur situé en X’ Y’

_interprète

cette

_expérience

comme une

_expérience

de

Wiener;

c’est-à-dire

_qu’en

vertu de la transformation

_relativiste,

_l’angle

d’inci-dence

s’annule

pour ce deuxième observateur

(fige

3

_b)

et _{l’état interférentiel devient pour lui}

stationnaire.

4. Laissant _{pour le} moment à l’écart la méthode

ondulatoire que nous avons suivie

_jusqu’ici,

_essayons

d’obtenir les mêmes résultats _par

_application

des

lois du choc

_élastique

à deux

_photons

h v

corres-pondant

aux ondes

_qui

interfèrent et

_qui

sont

inclinées,

l’une - sur

_l’autre,

d’un

_angle

_que nous continuerons

_d’appeler

_2p.

Soit _Fo la masse _propre

_provenant

du choc et v la vitesse

_{corpusculaire, dirigée}

évidemment selon la bissectrice des _rayons

_(fig.

_4).

Les

_principes

de

’

Fig.4.

conservation de

_l’énergie

et de la

_quantité

de

mouve-ment nous

_permettent

alors d’écrire le

_système

d’équations

,

qui

a _pour solution

Nous trouvons donc la _{même vitesse}

corpuscu-laire

_{qu’auparavant,}

mais on _{arrive pour la} masse

propre à une

_valeur

_qui

est

_{précisément}

le double de celle antérieurement

obtenue,

(22)

et

_(11).

Pour tourner cette

difficulté,

il suffit d’admettre

qu’en

un

_{point quelconque}

du

_champ

_{d’interférences,}

le choc de deux

_photons

donne naissance à deux

cor-puscules qui

ont une masse

_égale

et

_qui

se

_déplacent

avec une commune

vitesse,

parallèlement

aux

franges

existantes dans le

_plan

XY. L’onde de

phase,

équation (1),

irait associée à l’essaim des

corpuscules

qui,

formant des « _{nappes »}

proba-bilistes coulent à travèrs le

_champ.

5.

_Quoique

nous _ayons raisonnés

jusqu’ici

_pour des faisceaux

_parallèles,

les _{résultats que} nous venons de résumer

_peuvent

être facilement

_adaptés

au cas où les sources

_synchrones

se trouvent à

Fig. 5.

une, distance finie. Nous supposerons que l’une des

sources

_Si

est située à

_l’origine

de coordonnées d’un

système

XY

_(fig.

_5),

et que l’autre

S2

est

_placée

sur l’axe des

_X,

en un

_point

d’abscisse 1.

Prenons dans la

_région

d’interférences un

_point

P que nous allons entourer d’une surface fermée de dimensions très

_petites

_par

_rapport

aux

dis-tances

_S,P

et

_{S2P, appelées}

_par

la

suite r,

et _r2.

Nous _{admettrons que} 1 est aussi

_{petite comparée}

à ces distances. >

.

Dans le volume élémentaire

considéré,

les ondes

provenant

des deux sources se

_présentent

comme

deux séries de

_plans

_ayant

_pour inclinaison relative

le même

_angle

_{2 Cf des rayons}

_{qui parviennent}

à P.

Les. formules

₍₂₀₎

et

₍₂₂₎

_pourront

en somme être

appliquées

au

_petit

domaine où ce

_point

est

enfermé-Soulignons

ici _que dans la théorie

_classique

des

phénomènes produits

par ,les fentes de

Young

et

les

_{dispositifs analogues,}

le

_problème

de _la

propa-gation

dans le

_champ

d’interférence se trouve tout

à fait écarté. En

_effet,

_pour une telle étude il ne suffit pas de considérer les _{deux rayons}

qui

interfèrent en

_P,

car la

_{propagation dépend}

de

la coexistence en

_chaque

volume élémentaire des

deux séries d’ondes

_déjà

mentionnées.

Écrivons

les

_équations

des

_plans

d’onde sous

la forme

.

où

_03C81

et

_03C82

_désignent

_{respectivement}

les

_angles

d’inclinaison des _{rayons lumineux}

_SlP

et

_S2P

_par

que dans la somme

_{s = SI + 82}

figure

comme facteur

où q;

_{(’L2 - 1)}

est, le

_demi-angle

_{formé par les}

deux rayons lumineux.

Bref,

nous sommes en

pré-sence d’une

_{propagation qui}

s’effectue localement

suivant la bissectrice des _rayons avec la vitesse

de

_{phase c}

Celle-ci

_correspond

effectivement à la

COS g

vitesse

_{corpusculaire}

_{(20), dirigée}

en P selon la

tangente

à

_{l’hyperbole}

_qui

a _pour

_foyers

_Si

et

_S2.

On retrouve sans difficulté les résultats .restants.

En

_particulier,

la masse _propre

₍₂₂₎

des

_corpuscules

qui composent

la

_paire

_peut

être _{déduite par}

appli-cation

de

la formules de M. Louis de

_Broglie,

comme

nous l’avons fait dans le

_paragraphe

2. " Il convient de _{remarquer que} les conclusions antérieures semblent être en connexion avec une idée que R. W. Wood à soutenue instamment

_(2),

l’illustrant

_{par des}

_expériences

faites au _moyen de

rides

_provoquées

_par deux

_diapasons

sur la surface

libre d’une cuve de mercure

_{(3). D’après}

Wood la

propagation

de

_l’énergie

dans un

_sytème

de

_franges

’

d’interférence obéit à un mécanisme assez

_compliqué,

et il se

_produit

un flux

_{prédominant qui}

_parcourt

les

_hyperboles,

ou

_{plutôt l’espace}

limité par

_chaque

deux

_{hyperboloïdes}

de minima.

6. Nous pouvons

faire,

en

_synthèse,

les affir-mations suivantes :

a. Deux ondes lumineuses

planes

et

d’ampli-tudes

_égales,

_{lorsqu’elles}

interfèrent sous un

_angle

d’inclinaison différent de

zéro,

donnent naissance à une onde

associée;

,

b. Le choc de deux

_photons

_{prenant part}

au

phénomène

des

_{interférences}

_produirait

une

_paire

de

_corpuscules

associées à l’onde résultante.

Ces conclusions ont été obtenues en

_partant

de

deux ondes lumineuses de la même

_fréquence.

Nous n’avions donc en vue _{que les}

_phénomènes

d’obser-vation

courante,

c’est-à-dire des

_phénomènes

carac-térisés par des

franges

au

_repos..

Nonobstant,

tel que nous venons de les

_exprimer,

ce sont des résultats

_parfaitement

utilisables pour les cas où les ondes

interférentes,

n’ayant

pas la même

_fréquence,

donnent lieu à des

_franges

mobiles par

rapport

à l’observateur.

(1) WooD R. W. - On the Flow of Energy in a _System

of Interference Fringes (Phil. Mag., gog, 18, 25o) et Phy-sical _Optics, 3e éd., 1934, p. i?o.

(3) Voir spécialement VINCENT J. H. - On the Photo-graphy of _Ripples, 8 mémoire _{(PM. Mag.,} 1897, 43, 411-417 et Proc. _Phys. Soc., juillet 1897); On the _Photography of _Ripples, 3e .mémoire (Phil. Mag., 1898, 46, 290-296).

7. Comme

_exemple

le

_{plus simple,}

considérons

deux ondes

_planes,

de

_{fréquences’v,}

et v2,

qui

se

propagent

le

_long

de l’axe des

X,

mais en des sens contraires.

_Supposons

_que

’jl>.*"2-En

_ajoutant

leurs variables

_lumineuses,

l’on obtient

où

sont _{liées par la formule}

et

_désignent

_{respectivement}

les vitesses de

l’ampli-tude et de la

_phase

_{pour l’onde résultante.}

La vitesse

_{corpusculaire v}

c

_peut

être considérée

comme étant celle de l’ensemble des

_franges

sta-tionnaires

_{qui voyagent}

avec les

_corpuscules.

Il serait facile de constater

_que

la

_période

_spatiale

de

ces

_{franges, perpendiculaires}

à’ l’axe des

abscisses,

se

_présente

à l’observateur XY comme une

_longueur

,

ayant

éprouvé

la contraction de Lorentz.

D’autre

_part,

selon

_{l’expression (25),}

la

_longueur

d’onde associée est

On obtient finalement pour la masse _{propre du}

corpuscule,

calculée en fonction de v et

1,r,,

la valeur suivante

_{(4) :}

8.

_Appliquons

enfin les lois du choc

_élastique

aux deux

_{photons hVl’ h)2 qui}

parcourent

une même droite en des sens

_opposés.

Le

_système

_{d’équations}

conduit pour la vitesse v à un résultat satisfaisant .

[formules (26)]

mais l’on

_arrive,

comme

_auparavant,

à une valeur double

_pour

la masse au _{repos :}

f1-0 =

2mo. Ce

qui,

une fois de

plus,

semble

indiquer

la formation de deux

_corpuscules

_lors,

du choc de

deux

_photons

dans le

_champ

d’interférences

consi-déré.

. (4) La masse au repos de chaque corpuscule est donc égale,

dans ce _cas, à la moyenne géométrique des masses des _photons

’interférents. Quant à la masse _{maupertuisienne,} elle est

égale

à la moyenne arithmétique des masses des deux _photons.