Interférences lumineuses

H. EL RHALEB

Université Mohammed V, Rabat, Faculté des Sciences,

Département de Physique,

Laboratoire de Physique Théorique [email protected]

Interférences lumineuses

P T L

Chapitre III

Quand deux ou plusieurs ondes lumineuses se superposent, leurs amplitudes s ʼ ajoutent, pour donner une nouvelle onde dont l ʼ amplitude dépend du déphasage entre ces ondes.

Il ne peut y avoir d ʼ interférences observables entre ondes lumineuses que si les conditions suivantes sont respectées :

1.  elles sont issues d ʼ un même point de la source ;

2.  elles ont même fréquence ;

3.  lorsque la lumière est polarisée, les directions

de vibration du champs sont proches.

I.1 – Superposition de deux ondes

I.1.1 – Position du problème

S o i e n t d e u x s o u rc e s p o n c t u e l l e s S₁ e t S₂, monochromatiques de pulsations respectives ω₁ et ω₂. Un point M reçoit les deux ondes :

1 1 1 1M

U (M,t) = A cos(ω t - φ )

2 2 2 2M

U (M,t) = A cos(ω t - φ )

Les amplitudes instantanés émises par plusieurs sources sont additives, donc lʼamplitude instantanée reçue en M vaut :

1 2

U(M,t) = U (M,t) + U (M,t)

I – Généralités

1 12

I = 2 < U > ₂

2 2

I = 2 < U > I_1-2 = 4 < U₁U₂ >

Le terme I_1-2 mesures les corrélations entre les deux ondes U₁ et U₂. Lorsqu’il nʼest pas nul, les deux ondes sont corrélées (cohérentes) et donnent lieu à des interférences. Dans le cas contraire, les deux ondes sont incohérentes.

Lʼéclairement sʼécrit alors : I = 2 < U (M,t) >2

1 2 1-2

= I + I + I

2 2

1 2 1 2

= 2 < U + U + 2U U >

I – Généralités

« Deux sources cohérentes ont nécessairement la même pulsation ».

La valeur moyenne de <cos(Ωt-φ)> est non nulle sauf pour Ω = 0, et dans ce cas la fonction est constante. Le premier terme est donc toujours nul, est le second nʼest pas nul que si les pulsations des deux ondes sont égales.

[ ]

1 2 2 1 2M 1M

+2A A < cos (ω - ω )t - (φ - φ ) >

[ ]

1 2 1 2 1M 2M

= 2A A < cos (ω + ω )t - (φ +φ ) >

I.1.2 – Premier critère de cohérence Calculons I_1-2 :

1-2 1 2 1 1M 2 2M

I = 4A A < cos(ω t - φ )cos(ω t - φ ) >

I – Généralités

Il en existe de nombreux modèles, quʼil est commode de répartir en deux grandes familles : les diviseurs dʼamplitude et les diviseurs de front dʼonde.

Pratiquement, pour réaliser des interférences, nous partons dʼune source unique, dont nous divisons lʼonde émergente à lʼaide dʼun dispositif optique convenable appelé séparateur de faisceau.

I – Généralités

Σ_o Σ₁

Σ₂

Double fentes

Σ_o Σ₁

Σ₂

Lame semi-transparente

les diviseurs de front dʼonde les diviseurs dʼamplitude

I.1.3 – Différence de marche

Pour deux ondes cohérentes, lʼintensité sʼécrit : I(M) = I₁ + I₂ + 2 I₁ I₂ < cos!_M >

Le déphasage φ_M est défini par :

2 1

M 2M 1M 2S 1S S M S M

o

φ = φ - φ = φ - φ + 2π (L - L ) λ

différence de marche δ_M

!_M = c("_S

2M - "_S

1M)

δ_M mesure en unité de longueur lʼécart entre les temps de propagation de S₁ à M et de S₂ à M.

δ_M dépend du point M : on sʼattend à observer un éclairement non uniforme.

I – Généralités

V est maximum lorsque les ondes qui interfèrent sont cohérentes et ont même amplitude. Il est nul lorsque les ondes sont non cohérentes.

Le contraste entre un maximum et un minimum dʼintensité est évalué par le facteur de visibilité :

Expérimentalement, pour caractériser les interférences, on définit les franges dʼinterférences comme les surfaces où lʼintensité I(M) est constante.

I.1.4 – Contraste des franges

max 1 2 1 2

I = I + I + 2 I I I_min = I + I - 2 I I_{1 2 1 2}

= 2 I₁ I₂ I₁ + I₂ V = I_max - I_min

I_max + I_min

avec et

I – Généralités

Les trains dʼonde émis, ayant une longueur de cohérence finie _c = cτ, ne donnent des interférences que si le train dʼonde provenant dʼune source secondaire se superpose à celui provenant de lʼautre source secondaire.

La lumière émise par un point lumineux peut être décrite comme une succession de trains dʼ_ondes électromagnétiques identiques de durée τ (10^-6 à 10^-10 s), émis à des instants aléatoires par le point source.

τ

I – Généralités

I.1.5 – Cohérence temporelle

La condition de cohérence temporelle se traduit par :

Avec δ la différence de chemin optique entre les deux ondes au point dʼobservation.

Si les trains dʼonde ne peuvent se superposer dans la zone dʼobservée, les interférences lumineuses ne peuvent se créer.

! " !_c

I – Généralités

Ecran S¹

S2

!_c M

I – Généralités

Interférences destructives Interférences

constructives +

=

II.1 – Réalisation de l ʼ expérience

La première expérience historique qui a permis de mettre en évidence les interférences est lʼexpérience dʼYoung (pour des raisons de luminosité).

Condenseur

Fente source

Fentes dʼYoung

Ecran

Source S₁

S₂

S zone

dʼinterférence

S₁ et S₂ jouent le rôle de sources secondaires.

Lignes parallèles lumineuses, fines,

équidistantes, alternativement sombres et

claires.

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

D i

b

x y

z

Fentes dʼYoung Ecran

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

i

Interférences destructives

Interférences constructives

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

Fentes d’ Young

Onde plane

1M 1 ω ϕ1

U = A exp(i( t - )

[ ]

M 1M 2M 1 1 2 2

U = U + U = exp(iωt) A exp(-iφ ) + A exp(-iφ )

I_M = U_MU^*_M

II.2 – Calcul d ʼ intensité

Les récepteurs utilisés en optique ne sont sensibles quʼà lʼintensité lumineuse I, valeur moyenne dans le temps du produit de lʼamplitude U par la quantité complexe conjuguée U^* :

Les conditions de cohérences étant remplies, déterminons la répartition de lʼéclairement I de lʼécran.

2M 2 ω ϕ2

U = A exp(i( t - )

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

(

)(

)

M 1 1 2 2 1 1 2 2

I = A exp(-i ) + A exp(-i ) A exp(i ) + A exp(i )

(

)

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

= A + A + A A exp(-i( - )) + exp(i( - ))

2 2

M 1 2 1 2

I = A + A + 2A A cos(φ)

avec φ = φ₁ – φ₂ le déphasage entre les deux ondes en M.

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

Lʼintensité est maximale pour cos (φ) = 1 : φ = 2mπ et

Lʼintensité est minimale pour cos(φ) = -1 :

φ = (2m + 1)π et

Lʼintensité I dépend des amplitudes des deux ondes et le déphasage entre elles à leur arrivée au point M.

I_max = A₁² + A₂² + 2A₁A₂

I_min = A₁² + A₂² - 2A₁A₂

La répartition de lʼintensité en fonction du déphasage se représente comme suit :

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

φ I_max

I_min

2π 4π π

0 I

II.4 – Calcul du déphasage

Il faut relier lʼintensité au point M de lʼécran où se forment les franges.

Ecran

S1

S2

M

b

D

x

z

Supposons que les amplitudes des vibrations des sources sont identiques.

H1

H2

O

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

La différence de marche δ est :

2 1

S M S M 2 1

δ = L - L = n(S M - S M) (S₁M)² = D² + x - b

2

!

"#

$

%&

2

(S₂M)² = D² + x + b 2

!

"#

$

%&

2

(S₂M)² - (S₁M)² = x + b 2

!

"#

$

%&

2

- x - b 2

!

"#

$

%&

2

(S²M - S₁M)(S₂M + S₁M) = 2xb

En pratique, D > b et D > x, on peut alors écrire : S₂M + S₁M = 2D

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

! = nxb La différence de marche s’écrit alors : D

Le déphasage est alors : ! = 2"

# $ = 2"nxb

#D

Connaissant le déphasage, lʼintensité sʼexprime en fonction de la position du point M par :

I_M = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos 2n!xb

"D

#

$%

&

'(

φ étant proportionnel à x, lʼintensité en fonction de x aura la même forme la variation de I en fonction de φ.

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

II.5 – Franges d ʼ interférence

I(M) est maximale quand : n!x_mb

"D = m! (m est un entier)

x I_max

I_min 0

I

i 2i

i = !D nb

est lʼinterfrange, constante indépendante de x, les interfranges sont équidistantes.

! = nx_mb

D = m" x_m = m !D

nb = m i et

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

!

Lʼexpression de lʼinterfrange montre que lʼaspect de lʼécran change si :

ü  les franges nʼétant pas localisées, lorsqu'on éloigne lʼécran des sources (augmente D), i augmente ;

ü  si d augmente, i diminue;

ü  i augmente avec λ.

Les franges dʼinterférences sont rectilignes, parallèles à lʼaxe des y (même orientation que les fentes) et équidistantes.

Dans le plan x = 0, la constante m = 0 et δ = 0.

La frange centrale est lumineuse.

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

!

Lʼordre dʼinterférence p est défini comme le rapport de la différence de marche δ sur la longueur dʼonde λ :

ü  Pour des interférences constructives, p donne le numéro de la frange à partir de la frange centrale.

ü  Pour des interférences destructives, p est demi entier.

p = !

"

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

!₁

!₃

!₄

!₅

!₂

Autour de la frange blanche, on observe un dégradé de couleurs formant l’échelle des teintes de Newton.

II.6 – Interférences en lumière blanche

b

Fentes dʼYoung

Faisceau lumineux

polychromatique

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

D

x y

z

Ecran

II – Théorie de l ʼ expérience d ʼ Young

Lorsque la lumière incidente est naturelle ou polarisée rectilignement :

ü  Si P₁ et P₂ sont parallèles, on observe des interférences,

ü  Si l’on fait tourner P₂ dans son plan, le contraste des franges diminue, pour s’annuler quand P₁ et P₂ sont perpendiculaires.

Fentes dʼYoung

Ecran S₁

S₂ S

P₁

P₂

II.6 – Interférences en lumière polarisée

M

Disposons lʼécran perpendiculairement à S₁S₂. Le dispositif présente alors une symétrie axiale autour de la droite S₁S₂.

Ecran S1

S2

D

O M

!

r

b C

III – Ecran perpendiculaire aux sources

Le chemin optique séparant S₂ de M sʼécrit alors : L_S

2M =S₂M = S^!!!!!₂C^"+CM^!!!!!!"

Pour un écran placé loin des sources (D >> b) : L_S

2M = D

cos(!) 1+ b.cos(!) 2D

"

#

$$

%

&

''

2

+b.cos²(!) D

L_S

2M = D

cos(!)

"

#

$$

%

&

'' 2

+ b 2

"

#

$$

%

&

''

2

+bD

! D

cos(")+ b.cos(") 2

III – Ecran perpendiculaire aux sources

De la même manière, on calcule : L_S

1M ! D

cos(") -b.cos(") 2

On obtient donc pour la différence de chemin optique :

La différence de chemin optique ne dépendant de lʼéclairement. On en déduit que les franges sont des anneaux centrés en O.

Remarque : De par la symétrie axiale autour de S₁S₂, la forme des franges était prévisible sans même que le calcul de δ soit nécessaire.

!(M) =L_SS

2M -L_SS

1M "L_SS

2 -L_SS

1 -b.cos(#)

III – Ecran perpendiculaire aux sources

Cercles

S1

S2

p=0

Les courbes qui vérifient δ = cte sont des hyperboloïdes de foyer S₁ et S₂.

III – Ecran perpendiculaire aux sources

Les franges observées sur un écran sont la coupe de cette famille de surfaces par le plan d’observation.

IV.1 – Biprisme de Fresnel

Il est formé de 2 prismes de même petit angle A, accolés par leur base. Une source fente lumineuse S monochromatique envoie un faisceau divergent sur le biprisme.

On peut obtenir des franges dʼinterférences analogues à celles du dispositif dʼYoung à lʼaide dʼautres types de dispositifs expérimentaux : il consiste à obtenir à partir dʼune source S deux sources S₁ et S₂ voisines dont les rayons peuvent interférer.

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

A

D

!

A

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

La distance b = S₁S₂ sʼexprime en fonction de A, n et : b = S₁S₂ = 2!_o! = 2(n -1)A!

!_o = (n -1)A

!

S₁

S₂

!_o

!_o

zone

dʼinterférences

!_o

!_o b S

Les interférences apparaissent dans tout lʼespace où les 2 faisceaux se superposent.

Les franges ont les mêmes propriétés que les franges obtenues avec les fentes dʼYoung : ce sont des lignes parallèles à la fente source, et équidistances.

Dans le plan médian, les 2 faisceaux parcourent la même distance. La différence de marche optique est nulle : ce plan est lumineux.

Les relations mathématiques obtenues dans le cas des fentes dʼYoung sont encore valables.

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

S₂

IV.2 – Bilentille de Billet

D

On utilise 1 lentille mince convergente sciée en deux parties légèrement décalées lʼune par rapport à lʼautre. Chaque demi-lentille donne une image réelle de la source S. Ces 2 images sont les 2 sources cohérentes.

Les mêmes relations que précédemment sont encore valables.

zone

dʼinterférences

S₁ b

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

S

IV.3 – Bilentilles de Meslin

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

z x

S₂ S₁

S

L₁

L₂

Une source ponctuelle éclairant 2 demi-lentilles identiques L₁ et L₂ décalées le long de l’axe.

Les franges sont mieux des demi cercles dans l’espace de la demi lentille la plus éloignée de la source S.

M₁

M₂

b

!

zone

dʼinterférences

D

IV.4 – Miroirs de Fresnel

Il sʼagit de deux miroirs plans M₁ et M₂ qui font un petit angle α (quelques minutes) entre eux. La source ponctuelle S éclaire les miroirs sous incidence rasante.

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

S

S₁ S₂

Le faisceau issu de S se réfléchit sur chacun des miroirs : on obtient deux images S₁ et S₂ de la source, lʼune à travers le miroir M₁, lʼautre à travers le miroir M₂. (S₁ est le symétrique de S par rapport au miroir M₁ et S₂ est le symétrique de S par rapport au miroir M₂). Lʼangle S₁AS₂ vaut 2a.

Les interférences se forment dans la zone où les faisceaux se superposent. Ce sont des franges parallèles à lʼarrête A commune aux deux miroirs.

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

IV.5 – Miroir de Lloyd

Un miroir plan M donne d'une source ponctuelle S une image (virtuelle) S₁. Le faisceau réfléchi semble provenir de S₁ et il interfère directement avec une partie du faisceau issu de S.

S1

S2 D

Le champ dʼinterférence est lʼespace limité par le miroir et les rayons qui se réfléchissent sur ses bords.

S

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

b

zone

dʼinterférences Miroir

Tout rayon issu de S et qui se réfléchi sur le miroir semble provenir de S₂. S₂ est le symétrique de S par rapport au miroir plan.

IV – Interféromètre à diviseurs de front d ʼ onde

V.1 – Lame à face parallèle

Une lame à faces parallèles dʼépaisseur e est dʼindice n permet de dédoubler un rayon lumineux réfléchi ou transmis.

Une partie de lʼamplitude incidente est réfléchie, alors que lʼautre est transmise.

Observateur

Réflexion

directe Transmission après un aller retour

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Les 2 faisceaux qui interférent sont parallèles entre eux.

La zone de recouvrement est envoyé à lʼinfini.

On parle dʼinterférences localisées à lʼ_infini.

V.1.1 – Calcul dʼintensité

On suppose que lʼonde incidente, dʼintensité I_o, a une incidence faible sur le premier dioptre.

S

−ρ

ρ

τ ² τρ⁴ τ

ρ τ ³ ρ

τ I

i

r

no

no

n

!_ij = n_i - n_j n_i + n_j

!_ji = -!_ij = !

t_ij = 2n_i n_i + n_j

ij ji

τ = t t

T₁ T₂ T₃ R₁ R₂ R₃

•

Soit une lame dʼindice n = 1,5 placée dans lʼair.

Lʼamplitude du troisième rayon (réfléchi ou transmis) est négligeable devant celle des deux premiers. On ne conserve en réflexion que R₁, R₂ et en transmission T₁, T₂.

Les amplitudes des R₁, R₂, R₃ et T₁, T₂, T₃ sont :

On parle dʼinterférence à deux ondes, ce qui correspond au cas de lames à faces naturelles qui ont un coefficient de réflexion très petit.

R2 1

R R₃ T₁

ρ τ ρ ! "³

0,2 0,192 0,0077 0,96 τ

0,04 0,0015 τρ2 τρ⁴

T₂ T₃

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

H

R₁ R₂

r

i

K

J

e

S

n_o

n

V.1.2 – Différence de marche optique

Soit une lame on fait arriver un rayon incident de faible inclinaison i (lʼangle r est également petit).

La différence de chemin optique entre les deux ondes qui interfèrent provient de la différence entre le chemin parcouru dans le verre par le faisceau 2 (IJK) et la distance (IH) dans lʼair parcourue par le faisceau 1.

I

•

•

• •

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

n_o

La différence de marche sʼécrit : ! = n(IJ + JK) - IH + "

2ne 2 n(IJ + JK) = 2nIJ =

cos(r)

En appliquant la relation de Snell-Descartes en I :

2ne.sin (r)2

IH = IKsin(i) = IK(nsin(r)) = 2e.tg(r)(nsin(r)) =

cos(r)

! = 2ne

cos(r) - 2nesin²(r)

cos(r) + "

2 = 2ne(1 - sin²(r))

cos(r) + ! 2

! = 2ne.cos(r) + "

2

Par réflexion sur le deuxième dioptre, une différence de marche supplémentaire sʼajoute.

Or

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

V.1.3 – Déphasage entre les deux faisceaux

La réflexion dʼune onde sur la surface séparation de deux milieux transparents dʼindice n₁ et n₂ se fait :

ü  sans changement de phase, si n₁ > n₂,

ü  en introduisant un déphasage de π , si n₁ < n₂.

Le déphasage provenant de la différence de marche sʼécrit :

! = 2

" #

Le déphasage total est alors :

! = 4"ne.cos(r)

# + "

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Réflexion sur un conducteur parfait : origine au point z = 0.

Pour connaître il faut déterminer E! _r0 et lʼangle i΄.

E_r

Données : champ incident Inconnu : champ réfléchi

J E!_i

k!_r vide i

•y E!_r k!_i

i'

x z

•

•

•

E! _r =E_r0 exp j(!t " !

k_rr)!

( )

E! _i =E_i0 exp j(!t " ! k_ir)!

( )

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Origine de la différence de marche supplémentaire δs

A la surface de séparation (z = 0) continuité des composantes tangentielle de

Dans un conducteur parfait on a :

Donc le champ réfléchi sʼécrit : E.! E_T1 = E_T2

! E! _cond = !

0

E! _r = -E_i0exp j(!t " ! k_r.!

#$ r)%& !

e_y = E_i0exp j(!t " ! k_r.!

r ± ')

#$ %& !

e_y

! E_T2 = 0

! E_T1 = 0 = E_T

incident + E_T

réfléchi

! E_i0 = "E_r0

i = i'

#

$%%

&

%%

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

J E!_i

k!_r vide i

•y E!_r k!_i

i'

x z

•

•

•

V.1.4 – Figures dʼinterférences

Pour obtenir des franges brillantes, le déphasage entre deux rayons qui interférent doit être un multiple de 2π. On en déduit :

Chaque nouvelle valeur de m impose une inclinaison r différente (dʼoù un angle dʼincidence i différent).

cos(r) = (2m +1) ! 4ne

Tous les rayons émergents qui interférent au niveau dʼun même anneau correspondent à des rayons incidents ayant le même angle d'incidence. Ces franges d'interférences sont appelées anneaux dʼ_égale inclinaison.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

V.1.5 – Rayons des anneaux

La figure dʼinterférences est formée dʼanneaux concentriques. Au centre arrivent les rayons dont lʼincidence i est nulle.

Lʼordre interférence donne le numéro de lʼanneau : p = !

" = 2ne.cos(r)

" + 1

2

Quand r augmente, cos(r) diminue, p est alors maximal au centre (le centre est brillant).

p_o = 2ne

! + 1 2

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Soit i_m le rayon angulaire du m^ième anneau.

Lʼincidence est faible, on peut faire lʼapproximation : r2

cos(r) = 1 -

2 (r en radian)

Lʼordre interférence du m^ième anneau vaut : p_m = 2ne.(1 - r² / 2)

! + 1

2

Le rayon angulaire du m^ième anneau : i_m = n!

e p_o - p_m

En linéarisant la relation de Snell-Descartes (i = nr) on

déduit : _o

2 o m

i = nλ (p - p ) e

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Les interférences ayant lieu à lʼinfini, lʼimage est projetée sur un écran à lʼaide dʼune lentille convergente de distance focale f'.

Le déphasage est le même pour une incidence donnée, dʼoù la p o s s i b i l i t é dʼutiliser une source étendue.

n

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

I

R1

S

S^'

F^'

R2

R1

' R

2 '

I^'

M

Lʼimage des anneaux se forme au foyer secondaire image de la lentille.

Soit x = F΄M le rayon de lʼanneau.

x = f ^'i = f ^'nr Par suite x_m = f ^'i_m = f ^' n!

e p_o - p_m

On sʼintéresse aux deux rayons principaux transmis T₁ et T₂.

Par raisonnement analogue au cas précèdent, la différence de marche est identique. En revanche φ ne comporte pas le terme supplémentaire π.

V.1.6 – Visualisation en transmission

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Lentille

Ecran n

i

H T1

T2

r i

I K

e

S

•

n_o n

J L

n_o ^•

•

•

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

•

F' M

T1

T2

Le principe de lʼantireflet est de minimiser l’intensité I réfléchie en déposant sur le verre un matériau aux

propriétés adéquates. ^N

V.1.7 – Application : Traitement Antireflet

I(M) = 2I_o

(

)

! = 2"

# 2Ne_m = (2m +1)"

e

cos! = -1 e_m = (2m +1) !

4N

n

Un calcul théorique montre que pour satisfaire cette condition lʼindice de l'antireflet N doit être :

Pour minimiser I on agit sur deux paramètres:

N = n

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

! !

R₁ R₂

On minimise dʼautant mieux I lorsque R₁ = R₂.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

V.2 – Lame coin

La lame prismatique dʼindice n est éclairée sous incidence presque normale par une source S.

S

!

Les interférences obtenus sont localisées au voisinage de la lame.

La lame de coin est une lame de verre ou dʼair dont les deux dioptres forment un angle α.

V.2.1 – Lame prismatique

O

Franges virtuelles Surface de

localisation des franges

Franges réelles

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

I

J H

!_géo = L_IJK - L_IH

i

L_IJK = n e(x)

cos(r) + n e(x)

cos(r + 2!)

L^IH = ne(x) tg(r) + tg(r + 2

(

)

S

Q

JQ = e(x) = !x

x

S₂ O

R1

R2

i

r+2!

!

P S1

K r

Dans lʼexpression de la différence de marche optique totale, on a ajouté une différence de marche supplémentaire λ/2 (voir diapo 46).

! = !_géo + "

2 = 2ne(x)cos(r) + "

2 Lorsque lʼangle α est faible :

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

! = 2n"xcos(r) + # 2

Le système de frange est appelé franges d'égales épaisseur.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

x +i

Franges Sombres

Franges Brillantes x_m = m - 1 2

!

"#

$

%&

'

2n(.cos(r)

! = m"

! = m + 1

( )

i = !

2n".cos(r)

x

x +2i x +3i x +4i x +5i

!

!

!

Les lames qui délimitent le coin dʼair ne seront pas représentées. Seules les deux surfaces en regard , F₁ et F₂, ou se produisent les réflexions sont indiquées.

Le coin dʼair est réalisé par deux lames de verre ayant un arrête commune et faisant entre elles un très petit angle α.

!

R2

R1

O

S

•

•

M

F₁ F₂

! I

J i

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

V.2.2 – Coin d’air

O

! = 2"x cos(r) + # 2

Au voisinage de l'incidence normale lorsque r → 0 le point M → I. La surface de localisation des franges se confond alors avec celle de la lame de verre.

La différence de marche se déduit de celle d’une lame de verre prismatique (n = 1):

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

!

Exemple : Un coin d'air de ce t y p e é c l a i r é e n l u m i è r e monochromatique produit des franges bien rectilignes. Pour λ = 589 nm et un angle de 1’ , on observe un interfrange de 1 mm.

Il est constitué de 2 miroirs plans et dʼune lame semi- réfléchissante placée à 45°. Le faisceau initial est séparé par la lame séparatrice en deux faisceaux. Chacun se dirige vers un miroir. Les faisceaux réfléchis reviennent vers la séparatrice et se retrouvent sur le même axe de sortie.

Si les conditions de cohérence sont respectés, il se forme des interférences lumineuses observables à la sortie de lʼinterféromètre.

V.3 – Interféromètre de Michelson

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

M1

M2

Lame

séparatrice

Ecran S

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

M1

M2

Lame

compensatrice Lame

séparatrice

Ecran

Nécessité dʼune lame compensatrice qui permet de rétablir une symétrie entre les 2 trajets.

S

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

L M1

M2

L'

G

Ecran

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

La source S est placée au foyer dʼune lentille convergente L. Un faisceau cylindrique en émerge.

Lʼensemble forme un collimateur.

La lame séparatrice est une lame semi-réfléchissante.

Le miroir plan M₁ est mobile.

Le miroir plan M₂ est fixe.

La lentille L΄ permet de projeter les interférences sur un écran.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

On va voir dans les deux paragraphes suivants que lʼinterféromètre de Michelson peut être réglé en lame dʼ_{air ou en coin d}ʼair suivant les positions relatives des deux miroirs.

IV.3.1 – Réglage en lame à faces parallèles ou lame dʼair

Le miroir M₁ est déplacé le long de lʼaxe de la source de sorte que lʼimage M₁΄ reste parallèle à M₂.

Il se forment des anneaux localisés à lʼinfini.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

On peut montrer que ce montage est équivalent à deux miroirs M₂ et M₁ parallèles entre eux et distants de e, le miroir M₁ étant lʼimage du miroir M₁ donné par la séparatrice.

Lʼensemble M₁, M₂ constitue une lame dʼair à faces parallèles dʼépaisseur e, dʼindice n = 1.

΄

΄

΄

! = 2e.cos(r)

Les réflexions sur les deux miroirs étant du même type la différence de marche est égale à :

Les deux sources cohérentes S₁ et S₂ sont les images de S΄ données respectivement par les miroirs M₁ et M₂.

΄ ΄

S΄ est lʼimage de la source S donnée par la lame séparatrice.

΄

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

M₁ M₂

G

S' S^'2

S'1

M^'₁ e

2e

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

M₂

Sp

S

M₁

O O1

O2

x

F'

L

Sp

S

M'₁

O O1

O2

F'

L S'

S2

M2

M1

M^'₁

S1

M₂

Sp

S

M₁

O O1

O2

F'

L M^'₁

Si, à partir de la position précédente, on fait subir au miroir M₁ une petite rotation dʼun angle α , lʼimage S₁ tourne dʼun angle 2α.

On cherche lʼimage de la source S à travers la séparatrice et M₁. Lʼensemble M₁, M₂ constitue un coin dʼ_{air d}ʼindice n = 1.

Les réflexions sur les deux miroirs étant du même type la différence de marche est égale à :

δ = 2e

Les franges dʼinterférences sont des franges dʼ_égale épaisseur.

V.3.2 – Réglage en coin dʼair

΄

΄ ΄

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

M1

M2

G

S' S^'2

S^'1

M^'1

2!

α

Les franges sont rectilignes et équidistantes. Lʼinterfrange dépend de lʼinclinaison α de M₁.

Lʼinterféromètre de Mach-Zender est le plus simple des interféromètres. A lʼaide dʼun système séparateur, le faisceau initial est séparé en deux faisceaux cohérent le long de deux bras.

Les miroirs et les lames semi-réfléchissantes permettent de superposer les deux faisceaux sortants.

Pour des longueurs égales des deux bras, on obtient des interférences constructives (zone de superposition des faisceaux lumineuse).

V.4 – Interféromètre de Mach-Zender

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

Toute modification de lʼun ou lʼautre des trajets est détecté par des variations de luminosité dans les interférences.

V – Interféromètre à diviseurs d ʼ amplitude

S

M₁

M₂

L1

L2