CC 3 -CORRIG´ E

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Universit´e Joseph Fourier - L3 - Topologie 2016-2017

CC 3 -CORRIG´ E

28 septembre 2016 - 2 heures

Exercice 1. Soit

A={exp(in−expn), n∈Z} ⊂C∼R².

1. Montrer que {exp(in), n ∈ Z} est dense dans C le cercle unité. On pourra reproduire la démonstration faite en cours ou bien admettre le résultat suivant : pour tout−1≤a < b≤1, il existen∈N, tel quea <cosn < b.

2. D´eterminer ¯A⊂(R², us).

R´eponse. e^iθ∈A. Soit¯

1. Soit θ ∈R et >0. On a sinθ =φ(cosθ), o`u φ(X) =±√

1−X² (suivant le signe de sinθ) qui est continue en X sur [−1,1], donc uniform´ement continue par Heine.

Donc ∃δ > 0, qu’on peut choisir plus petit que , tel que |X −X⁰| ≤ δ implique

2. Comme A est discret, A¯\A est formé par les valeurs d’adhérence A₋ de (u_−n)_n∈N (resp.A⁺ de(un)_n∈N). On a |un|=e^−eⁿ doncun→_n→+∞0, donc{0}=A⁺. Montrons queA⁻=C. On ae⁻êxpⁿ →n→−∞1(par valeurs négatives), donc d’une partA⁻⊂C, d’autre part il existeN∈Z,tel que∀n≤N,|e⁻êxpⁿ−1| ≤.Soitun = exp(in−expn) = eⁱⁿe⁻êxpⁿ.Par la question 1. , il existem∈N, tel que|eîm−eîθ| ≤.Sip=−m−2πN, alorsp < N, donc

|up−eîθ| ≤ |up−e^−eⁿeîθ|+|e^−eⁿeîθ−eîθ| ≤e^−eⁿ+≤2.

On a montr´e C(0,1)⊂A. Au total,¯ A¯=A∪ {0} ∪S¹.

Exercice 2. Soitf : (X,T)→(Y,T⁰), une application continue entre deux espaces topologiques non vides. On suppose queY est s´epar´e.

1. Montrer que les singletons deY sont des ferm´es.

2. SiT est la topologie grossière, que peut-on dire def? 3. Sif est injective, montrer queX est séparé.

4. Sif est surjective, avec card(Y)≥2,X est-il toujours séparé ? Réponse :

1. Soit z∈Y. Alors V ={z}^c est ouvert. En effet, siz⁰6=z, il existe un voisinageU de z ne rencontrant pas un ouvert de z, donc inclus dansV. Donc V est ouvert.

2. Soit x∈X. Par la question précédente, f⁻¹({f(x)}) est un fermé de X et contient x, donc est non vide, donc est tout X, donc f est constante.

3. Soient x6=y dans X. Alors puisquef(x)6=f(y)carf est injective, il existeU 3f(x) et V 3f(y) deux ouverts disjoints de Y, car Y est séparé. Comme f est continue, f⁽⁻¹⁾(U)etf⁻¹(V)sont deux ouverts deX, qui sont disjoints et contiennent chacun xet y respectivement. DoncX est séparé.

4. Non. Soit X ={a, b, c},Y ={0,1} muni de la topologie discète (doncY est séparé), et f(a) = f(b) = 0, f(c) = 1. Choisissons comme topologie de X T = {f⁻¹(0) = {a, b}, f⁻¹(1) = {c},∅, X}. X n’est pas séparé car a et b ne le sont pas, mais f est automatiquement continue par construction. Etf est bien surjective.

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Exercice 3. Soitf :X→Y continue. SiX est connexe par arc, a-t-onf(X) connexe par arc ? Réponse. Oui. Soientz, z⁰∈f(X). Alors il existe x, x⁰ dans X,f(x) =z etf(x⁰) =z⁰. Il existeg: [0,1]→X continue telle queg(0) =xetg(1) =x⁰, donc f◦g: [0,1]→Y est d’une part en fait à valeurs dansf(X), d’autre part continue, et enfin relie z à z⁰, doncf(X) est connexe par arc.

Exercice 4. Soit cercle unit´eC dans R², X ⊂C un ensemble non vide et fini de points deC, et C⁰ =C\X.

1. C⁰ est-il compact ? 2. Est-il connexe ? R´eponse.

1. SoitX ={x1,· · · , xp} ⊂C cet ensemble etC⁰=C\X. Montrons que pour >0assez petit, B(x1, )∩C⁰ 6=∅, ce qui montre que R²−C⁰ n’est pas ouvert, donc C⁰ non fermé donc non compact. Soit δ= inf_i6=j{d(xi, xj)}, et fixons < δ. On peut écrire pour tout 1≤i≤p, xi=eîθⁱ avec θ1 < θ2 <· · ·< θp< θ1+ 2π. On a lim_θ→θ₁eîθ →x1

par continuité de l’applicationθ7→eîθ donc pourθ6=θ1 assez petit,x=eîθ est dans B(x1, ) et différent des autres points de X car < δ. On a montré que C⁰ n’est jamais fermé donc jamais compact.

2. Si p= 1,C⁰ est connexe. En effet, l’application φ: exp(i·) :θ∈I=]θ1, θ1+ 2π[→C est continue, définie sur un intervalle I connexe, et f(I) =C⁰, doncC⁰ est connexe. Si p≥2, Notons d’abord qu’une droite coupeC en au plus deux points. En effet, on peut remplacerxpar une fonction affine de y (ou l’inverse) dansx²+y²= 1, ce qui donne une équation de degré deux en x. Soitk(x, y) = 0 une équation d’une droite D passant par x1 et x2. Comme C⁰∩D={x1, x2}, C⁰ = ({k >0} ∩C⁰)∪({k <0} ∩C⁰) qui est une réunion de deux ouverts de C⁰, car k est affine donc continue et R⁺∗

(resp.R⁻∗) un ouvert, donc C⁰ est non connexe.

Exercice 6. SoitA={M ∈M(n,R), |detM| ≤1}, etM(n,R) muni de la topologie usuelle.

1. Aest-il connexe ? 2. Aest-il un ferm´e deE? 3. Aest-il un ouvert deE? 4. Aest-il compact ? R´eponse.

1. A est connexe par arc (en fait étoilé). En effet, pour tout t ∈ [0,1] et M ∈A, |det(tM)| = tⁿ|detM| ≤1, donc [0, M]⊂A. De plus l’applicationt7→tM est continue car linéaire.

2. L’applicationφ:M 7→ |detM|est continue carx7→ |x|l’est etM 7→detM aussi car fonction polynomiale en les coefficients de M. De plus, [1,+∞[ est un ferm´e de R, donc A=φ⁻¹(I) est ferm´e.

3. De plusAn’est pas ouvert, carM_k=I_n(1 + 1/k) tend versI_n mais|detM_k|= (1 + 1/k)ⁿ>1, donc toute boule centr´ee surI_n rencontreA^c.

4. Pourn= 1,A= [−1,1] qui est compact dansR. Pourn≥2, etk≥1, soitM_k = (k,0,· · · ,0) est de d´eterminant nul donc M_k ∈ A, mais kMkk∞ = max(|mij|)→k→∞ +∞ donc A n’est pas born´ee donc non compact.

Exercice 7. Soit E = C⁰([0,1],[−1,1]) ´equip´e de la topologie induite par la norme k · k∞, et A={f ∈E,∃a∈[0,1], f(a) = 0}.

1. Aest-il un ferm´e pour la topologie induite ? 2. D´eterminer B={f ∈E,∃(fn)n ∈A^N, fn→n f}.

3. Aest-il un compact deE?

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4. Aest-il connexe ? R´eponse.

1. A^c ={f ∈E,∀a∈[0,1], f(a)6= 0}. Soit f ∈A. f est continue sur un intervalle, donc par le TVI,f >0 ou f <0. Supposons f >0. f est continue sur un compact, donc atteint son inf ena0∈[0,1], soitf ≥f(a0)>0. La boule B=B(f, f(a0)/2) est dansA carg∈B implique∀x∈[0,1], g(x) =f(x)+(g(x)−f(x))≥f(a0)−kg−fk_∞≥f(a0)/2>0.

Donc A^c est ouvert etA ferm´e.

2. Dans un espace métrique (donc en particulier dans un espace vectoriel normé), l’adhérence de A est exactement l’ensemble des limites de suites de A, en l’occu- rence B. Donc B⊂A¯=A car A est fermé.

3. Soit pour toutn≥1,f_n(x) =xⁿ.∀n≥1,f_n ∈Acar f_n(0) = 0. Mais si une sous-suite f_φ(n) converge vers f, c’est vers f = 0 sur [0,1[ et f(1) = 1 qui n’est pas continue, donc A n’est pas compact.

4. Pour toutf ∈A,[0, f]⊂A, doncA est connexe par arc.

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