1) Montrer que si P n≥0d(xn, xn+1)&lt

Pr´epa-agreg 2017-2018 Universit´e de Bordeaux Espaces complets.

Exercice 1. (La compl´etude est une propri´et´e m´etrique). Donner une distance sur R d´efinissant la topologie usuelle de R mais pour laquelle R n’est pas complet.

Exercice 2. Soit (X, d) un espace m´etrique et (x_n)_nune suite de Cauchy.

Montrer que (xn)nest convergente si et seulement (xn)nadmet une sous- suite convergente.

Exercice 3. Soit (X, d) un espace m´etrique complet et (xn)n≥0 une suite de X.

1) Montrer que si P

n≥0d(x_n, x_n+1)<+∞, alors (x_n)_n est de Cauchy.

2) La r´eciproque est-elle vraie?

3) Montrer que si (x_n)_n est de Cauchy, on peut extraire une sous-suite (x_nk)k≥0 telle que P

n≥0d(x_nk, x_nk+1)<+∞.

Exercice 4. 1) Montrer que C([0,1],R) muni de la norme k · k₁ n’est pas complet.

Exercice 5. 1) Montrer que C¹([0,1],R) muni de la norme k · k_∞ n’est pas complet.

2) Montrer queC¹([0,1],R) muni de la normeN(f) =kfk∞+kf⁰k∞est complet.

Exercice 6. SoitE un espace vectoriel norm´e etF un espace de Banach.

On consid`ereL_c(E, F) muni de la norme kuk= sup_kxkE≤1ku(x)k_F. Montrer que L_c(E, F) est un espace de Banach.

Exercice 7. SoitE un espace de Banach etu un endomorphisme continu de E .

1) On suppose queuest de norme<1. Montrer queId−uest inversible (et donner son inverse son la forme d’une s´erie).

2) Montrer que la s´erie P

k≥1 u^k

k! d´efinit un endomorphisme deE appel´e exp(u).

Exercice 8. (Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz) Soit H un espace de Hilbert, montrer que pour toute forme lin´eaire conitnuelsur H, il existe un vecteury (unique) tel quel=hy,·i; i.e.

∀x∈H, l(x) =hy, xi.

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Indication: On pourra consid´erer la fonctionφd´efinie surH par

φ(x) = 1

2kxk²−l(x).

On montrera queφest continue minor´ee, puis qu’elle atteint son minimum.

Pour cela, on consid´erera une suite minimisante (xn) (telle que φ(xn) d´ecroit) et en utilisant l’in´egalit´e du parall´elogramme, on montrera qu’elle est de Cauchy.

Exercice 9. (point fixe) SoitK un compact convexe d’un espace vectoriel norm´e et f une application de K dansK telle que

kf(x)−f(y)k ≤ kx−yk

Montrer que f admet un point fixe (pas forc´ement unique).

emphIndication: On fixeraa∈K et on consid´erera f_n(x) =f

1 na+

1− 1

n

x

.

Exercice 10. (th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es) Soit (X, d) un espace m´etrique complet et soit (Fn)nune suite d´ecroissante de ferm´es, born´es don le diam`etre tend vers 0.

Montrer que ∩_nF_n est non vide (et constitu´e d’un seul point).

Exercice 11. (Baire) Soit (X, d) un espace m´etrique complet. Montrer qu’une intersection d´enombrable d’ouverts dense est dense.

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