Sous-groupes du cercle unité (fgn analyse 1 page 29
Pierre Lissy April 29, 2010
Lemme 1. Les sous-groupes deRsont soit de la forme aZsoit denses.
Proof. Considéronsa=inf{x∈G∩R+∗}. De deux choses l'une
1. a > 0. Alors a ∈ G. En eet, si a 6∈ G, alors comme 2a > a, par dénition de la borne inférieure, il existe un x∈Gtel que a < x <2a. De plus, il existe a < y < xavec y ∈A encore une fois par dénition de la borne inférieure. Dans ce cas, on ax−y ∈G∩R+∗ et x−y < 2a−y < 2a−a < a, ce qui n'est pas possible compte tenu de la déniton dea. Ainsi, o na a∈G. Donc on a déjàaZ⊂G. Supposons qu'il existe un élément x∈G avec x6∈aZ. Alors commea >0 il existe un certain entier n tel que na < x <(n+ 1)a. Mais x∈Get na∈Gdoncx−na∈G, de plus, on a0< x−na < a, ce qui n'est pas possible par hypothèse. On a donc bienG=aZ.
2. a=0. Montrons alors queGest dense. Il sut par exemple de montrer qu'il rencontre tout intervalle ouvert de la forme(a, b). mais(b−a)>0donc il existeg∈Gtel que0< g < b−a. Mais on sait quegZ⊂G, et comem i lexiste nécessairement unk tel quekg ∈(a, b)(sinon on auraitg > b−a), on a bien l'intersecion non vide que l'on souhaitait.
Lemme 2. Le sous-groupeaZ+bZ est dense ssi a/birrationnel.
Proof. Supposons aZ+bZ = cZ. Alors notamment, a =cu et b =cv avec u et v entiers donc a/b=u/v est rationnel. Inversément, supposonsa/b=u/v avecuetventiers premiers entre eux.
AlorsaZ+bZ=b(u/vZ+Z) =bv(uZ+vZ) =bvZ caruetvsont premiers entre eux (théorème de Bézout). Donc on a bienAZ+bZdela formecZ.
On peut maintenant conclure. SoitGun sous-groupe de U. On considère l'ensemble suivant:
G0 =
t∈R|eit∈G . C'est un sous-groupe additif deRcar il contient trivialement0et que sitet t0 sont tels queeit eteit0 ∈Galorsei(t+t0)=eiteit0 ∈G. De plus, l'application t∈G07→eitinG0 est surjective, car on sait que tout élément deG s'écrit sous la forme eiθ, et alors par dénition θ∈G0. On disjoncte alors les cas.
1. G0 est dense dansR. Alors par continuïté de l'application t 7→eit on a queeiG0 est dense danseiR=U, mais la remarque précédente a montré queeiG0=GdoncGest dense dansU. 2. G0 est de la forme aZ, avec a>0. Sia= 0 on obtient le groupe trivial. Sinon choisissons
a >0et disjonctons encore les cas.
(a) a/(2π)n'est pas rationnel. On remarque alors queeiG0 =eaZ+2iπZ et par la remarque faite précédemment, aZ+ 2iπZ est dense dans R, donc son image par le morphisme continu précédent est dense dansU, ieGest dense dansU.
(b) a/(2π)est rationnel. On aa= 2πp/qavecpetqpremiers entre eux. On remarque alors que sin∈Z, en eectuant la division euclidienne denparq, on an=qb+ravecr < q et eian =e2iπp/q(qb+r)=e2πr. Ainsi, on a une surjection deeiG0 =Gdans l'ensemble des entiers compris entre0etq−1, qui est ni. Ceci implique queGest ni,de cardinal inférieur àq. De plus, il n'est pas dicile de voir que G=Uq. En eet, comme pet q sont premiers entre eux, on a existence deuetvtels quepu+qv= 1, iepu/q+v= 1/q. Donceiua=e2iπ/q ∈G, or le groupe engendré par cet élément est de cardinalq. Donc Gest de cardinalqest est égal àUq.
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