Soit az 2 + bz + c un trinôme du second degré avec a, b, c réels et a ≠ 0 Justifier que l'équation az 2 + bz + c = 0 a, dans C I , deux solutions (éventuellement confondues).

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http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice n°7 1 / 1

EXERCICE 7

On considère le polynôme P (z) = z ⁴ + 17 z ² - 28 z + 260, où z est un nombre complexe.

1°) Démonstration de cours :

Soit az ² + bz + c un trinôme du second degré avec a, b, c réels et a ≠ 0 Justifier que l'équation az ² + bz + c = 0 a, dans C I , deux solutions (éventuellement confondues).

2°) Déterminer deux nombres réels α et β tels que : P (z) = (z ² + αz + β)(z ² + 4 z + 20 )

3°) Résoudre dans C I l'équation P(z) = 0.

4°) Placer, dans un repère orthonormal direct (O; ^→ u , ^→ v ), les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs m = - 2 + 4i , n = - 2 - 4i , p = 2 + 3i et q = 2 - 3 i .

5°) a) Déterminer le nombre complexe w vérifiant p - w m - w = i.

Placer son image W.

b) Quelle est la nature du triangle MPW.

6°) a) Déterminer par le calcul l'affixe du point L, quatrième sommet du carré MWPL.

b) Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (WL) et de l'axe des abscisses.

c) Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

Soit az 2 + bz + c un trinôme du second degré avec a, b, c réels et a ≠ 0 Justifier que l'équation az 2 + bz + c = 0 a, dans C I , deux solutions (éventuellement confondues).

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EXERCICE 7

On considère le polynôme P (z) = z 4 + 17 z 2 - 28 z + 260, où z est un nombre complexe.

1°) Démonstration de cours :

Soit az 2 + bz + c un trinôme du second degré avec a, b, c réels et a ≠ 0 Justifier que l'équation az 2 + bz + c = 0 a, dans C I , deux solutions (éventuellement confondues).

2°) Déterminer deux nombres réels α et β tels que : P (z) = (z 2 + αz + β)(z 2 + 4 z + 20 )

3°) Résoudre dans C I l'équation P(z) = 0.

4°) Placer, dans un repère orthonormal direct (O; → u , → v ), les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs m = - 2 + 4i , n = - 2 - 4i , p = 2 + 3i et q = 2 - 3 i .

5°) a) Déterminer le nombre complexe w vérifiant p - w m - w = i.

Placer son image W.

b) Quelle est la nature du triangle MPW.

6°) a) Déterminer par le calcul l'affixe du point L, quatrième sommet du carré MWPL.

b) Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (WL) et de l'axe des abscisses.

c) Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

On considère le polynôme P (z) = z ⁴ + 17 z ² - 28 z + 260, où z est un nombre complexe.

Soit az ² + bz + c un trinôme du second degré avec a, b, c réels et a ≠ 0 Justifier que l'équation az ² + bz + c = 0 a, dans C I , deux solutions (éventuellement confondues).

2°) Déterminer deux nombres réels α et β tels que : P (z) = (z ² + αz + β)(z ² + 4 z + 20 )

4°) Placer, dans un repère orthonormal direct (O; ^→ u , ^→ v ), les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs m = - 2 + 4i , n = - 2 - 4i , p = 2 + 3i et q = 2 - 3 i .