D.M. n°15 SERIES

D.M. n°15 SERIES

CORRECTION

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

] ]

0, ;1

n x

∀ > ∀ ∈ −∞ , on définit :

( ) ( )

1

, ( )

n n

n n k

k

u x x S x u x

n ₌

= =

∑

1. Etude de (Sn(1))

Pour n > 0 , on pose γ =n Sn

( )

¹ −^ln

( )

n .

a) Etudier la série de terme général Dn = γn₊₁− γn n > 0.

( ) ( )

_{2 2}

1 1 1 1 1 1 1 1

ln 1 ln ln ln 1

1 1 1 1 2

+∞

 +     

  

= + − + + = + −  = × + −  + = − +  

n

D n n n o

n n n n n n n

n

On en déduit (par comparaison avec une série de Riemann) que la série

∑

D_n^converge.

b) En déduire que (γ_n) converge. On note γ sa limite (appelée constante d’Euler).

(

1

)

1 1

1 1

0,

n n

k k k n

k k

n D _{+ +}

= =

∀ >

∑

=

∑

γ − γ = γ − γ (somme télescopique).

La série

∑

D_nconverge donc la suite

1 0

n k

k n

D

= >

 

 

 

 



∑

 converge, de même que la suite

( )

γ_{n n>0}. 2. Etude de la série

≥1

 

 

 

 

∑

^{1cos 2}₃

n

nπ n

Pour n > 0, on pose

1

1 2

cos 3

n n

k

C k

= k

 π

=

∑

 ^. a) Déterminer les réels a, b et c tels que :

1 1

3

1 0 0

1 1 1

0 : 3 3 1 3 2

n n n

n

p p p

n C a b c

p p p

− −

= = =

∀ > = + +

+ +

∑ ∑ ∑

^.

( ) ( )

1 1

3

1 0 0

2 3 1 2 3 2

1 2 3 1 1

0 : cos cos cos

3 3 3 1 3 3 2 3

n n n

n

p p p

p p

n C p

p p p

− −

= = =

   

 × π  × + π  × + π

  

∀ > =

∑

 +

∑

+  +

∑

+  

1 1

1 0 0

1 1 1 1 1

3 2 3 1 2 3 2

n n n

p p p p p p

− −

= = =

= − −

+ +

∑ ∑ ∑

b) En déduire que : 3

( )

3

( )

1 1

0 : 1 1

2 2

∀ >n C_n= S_n − S _n .

( ) ( )

1 1 3

3 3

1 0 0 1 1 1

1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1

0 : 1 1

2 3 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2

n n n n n n

n n n

p p p p k p

n C S S

p p p p k p

− −

= = = = = =

 

−   − −

∀ > = 

∑

+

∑

+ +

∑

+ +

∑

=

∑

+

∑

= +

c) Déterminer la convergence de la suite (Cn), ainsi que sa limite.

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )

3 3 3 3

1 1 1 1

0, 1 1 ln ln 3 ln 3

2 2 2 2

n n n n n n n

n C S S n n

∀ > = − + = γ + −γ − = γ −γ − .

On a montré précédemment que la suite

( )

^γ_{n n>0} converge, donc lim

(

_n 3_n

)

0

n→+∞ γ −γ = ;

on en déduit que la suite (C3n) converge vers ^{ln 3}

( )

2

− .

De plus, _{3 1 3} 1 1

0, ^{n n} 3 1 2

n C C

+ n

∀ > = + ×−

+ ^{et 3 2 3}

1 1 1

2 3 1 3 2

n n

C C

n n

+

 

= −  + + +  Ainsi, les suites (C_3n), (C_3n+1) et (C_3n+2) convergent vers ^{ln 3}

( )

2

− , donc (C_n) également.

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

3. Etude de Sn(-1)

a) Montrer que :

] [ ( ) ( ) ( )

( )

¹

0

0, ;1 : ln 1

1 ⁺

∀ > ∀ ∈ −∞ − = − − −

∫

−

x n

n n

x t

n x x S x dt

t ^.

La fonction ^{f x: ֏ln 1}

(

^−x

)

est de classe C^∞sur

]

^−∞;1

[

^{, et}

( ) ( )

( )

( ) 1 !

0,

1

n

n

n f x n

x

∀ > =− −

− . Le théorème de Taylor avec reste intégral donne directement le résultat.

b) En déduire que la série de terme général un(-1) converge, et en donner la somme.

D’après la question précédente, avec x = -1 , on a :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

0 0

1 1

0, ln 2 1 1

1 1

n n

n n n n

u t du dt

t u

n S dt S du

t u

−

+ +

=−=−

− − − +

∀ > = − − − = − − +

− +

∫ ∫

^.

Ainsi,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 1 0

1 1

0, 1 ln 2 1

1 1

n

n

n n

n S u du u du

u ⁺ n

∀ > − + = − + ≤ − =

+ +

∫ ∫

^.

On en déduit que la série de terme général un(-1) converge vers –ln(2).

4. Etude de la série

( )( )

0

1

1 2 1

n_≥ n + n +

∑

a) Déterminer les réels a et b tels que :

( )( )

: 1

1 2 1 1 2 1

a b

n n n n n

∀ ∈ = +

+ + + +

ℕ

( )( )

1 1 2

: 1 2 1 1 2 1

n n n n n

∀ ∈ = − +

+ + + +

ℕ .

b) Montrer que

( )

_{2 1}

( )

0

1 1

0, 1 1

2 1 2

n

n n

k

n S S

k ⁺

=

∀ > = − −

∑

+ ^.

( )

^{2 1}

( ) ( )

2 1

1 1 0 0

1 1 1 1 1

0, 1 1

2 2 1 2 2 1

n k n n n

n n

k p p p

n S S

k p p p

+ +

= = = =

− −

∀ > − = = + = −

+ +

∑ ∑ ∑ ∑

^,

ce qui donne le résultat attendu.

c) Déterminer la somme de la série

( )( )

0

1

1 2 1

n_≥ n+ n+

∑

^.

( )( )

1

( ) ( )

2 1

( )

0 0

1 1 2 1

0, 1 2 1 1

1 2 1 1 2 1 2

n n

n n n

k k

n S S S

k k k k ^{+ +}

= =

 −   

 

∀ >

∑

+ + =

∑

 + + + = − +  − − 

1

( ) ( )

2 1

( )

2 1

1 1 2 1 1 2

n n n 1 n

S S S S

+ + n +

= − + − − = − −

+ ^.

D’après la question 3, ^lim n

( )

^{1 ln 2 ,}

( )

n S

→+∞ − = − donc la série

( )( )

0

1 1 2 1

n_≥ n+ n+

∑

^converge

vers 2 ln(2).