Fiche 01 : Configuration et transformations du plan
Le triangle :
→
Connaître les droites remarquables d’un triangle et le nom de leur point de concours.Le triangle rectangle:
→
Si un triangle ABC est rectangle en A : alors- d’après le théorème de Pythagore :
BC
2= AB
2+ AC
2.- d’après le théorème du cercle circonscrit, l’hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit.
→
Si un triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] : alors d’après la réciproque du théorème du cercle circonscrit, ABC est rectangle en A.Des transformations du plan :
Soit f l’une des 4 transformations précédentes.
Conservation de l’alignement : L’image d’une droite est une droite. En particulier, si 3 points sont alignés alors leurs images par f sont alignées.
Conservation du parallélisme : Si D et D’ sont deux droites parallèles alors f(D) et f(D’) sont deux droites parallèles.
Conservation des longueurs (et des aires): Pour tout point A et B du plan, la distance de A à B est la même que celle de f(A) à f(B).
Si F est une figure du plan alors son image par f a la même aire.
Définition : Une transformation qui conserve les longueurs est appelée une isométrie.
Conservation du milieu : Si I est le milieu de [AB] alors f(I) est le milieu du segment [f(A)f(B)].
Conservation de la mesure d’un angle : La mesure de l’angle
AOB
est la même que celle de l’angle' ' ' A O B
où A’, O’ et B’ sont les images respectives de A, O et B par f.En particulier, les images de deux droites perpendiculaires sont des droites perpendiculaires.
Théorème. Les seules isométries du plan qui conservent les longueurs et les angles sont les quatre transformations précédentes.
Réflexion ou Symétrie orthogonale.
D est une droite.
Soit s la réflexion d’axe D et
M ∈ P
.Déf : Si
M ∉ D
alors le point s(M)=M’ est tel que D soit la médiatrice de [MM’].Si
M ∈ D
alors s(M)=M.
Symétrie Centrale.
O est une droite.
Soit s la symétrie de centre O et
M ∈ P
.Déf : Si M est un point différent de O alors son image s(M)=M’ est tel que O soit le milieu de
[MM’].
Si
M = O
alors s(O)=O.Translation.
u
un vecteur fixé.
Soit t la translation de vecteur
u
.
Déf : Pour tout point M du plan, t(M)=M’ est le point tel que
MM ' = u
.
u
Rotation.
O un point et
a
un angle fixé.Soit r la rotation de centre O, d’angle de sens direct
a
.Déf : Si M est un point différent de O alors son image r(M)=M’ est le point qui vérifie OM =
OM’ et
' MOM = a
.
