Manuscrit HDR Pour obtenir le diplôme d'

Pour obtenir le diplôme d'

HABILITATION à DIRIGER des RECHERCHES de l’UNIVERSITE SAVOIE MONT BLANC

Spécialité : Mathématiques

Arrêtés ministériels des 23 novembre 1988 et 13 février 1992

Présenté par Michel RAIBAUT

Titre : Analyse et Géométrie non-archimédiennes Fronts d’ondes et Singularités

HDR soutenue publiquement le « 17 juin 2021 », devant le jury composé de :

Mr, Raf, CLUCKERS

DR, Lille, KU-Leuven, (Examinateur) Mr, Georges, COMTE

PR, Université Savoie Mont Blanc, (Examinateur) Mme, Julia, GORDON

PR, University British Columbia, (Examinatrice) Mr, Thomas, HALES

PR, University of Pittsburg, (Rapporteur) Mr, François, LOESER

PR, Sorbonne Université, (Président) Mr, Johannes, NICAISE

PR, Imperial College, KU-Leuven, (Rapporteur) Mr, Adam, PARUSINSKI

PR, Université Côte d’Azur, (Rapporteur)

Michel Raibaut

ANALYSE ET G´ EOM´ ETRIE NON-ARCHIM´ EDIENNES

FRONTS D’ONDES & SINGULARIT´ ES

Le Bourget du Lac, 73376 Cedex, France.

E-mail :Michel.Raibaut@univ-smb.fr

Url :https://raibautm.perso.math.cnrs.fr

ANALYSE ET G´ EOM´ ETRIE NON-ARCHIM´ EDIENNES FRONTS D’ONDES & SINGULARIT´ ES

Michel Raibaut

R´esum´e. Le th`eme de ce m´emoire est l’analyse et la g´eom´etrie dans le contexte non-archim´edien. Dans la premi`ere partie, nous commen¸cons par pr´esenter la th´eorie de l’int´egration motivique introduite par Kont- sevich dans les ann´ees 90, comme substitut de l’int´egration p-adique dans le cadre des s´eries formelles `a co- efficients complexes. Nous exposons ensuite le d´eveloppement de cette th´eorie et son utilisation par Batyrev, Denef—Loeser et Nicaise—Sebag notamment, en mettant l’accent sur ses applications dans l’´etude des sin- gularit´es d’une fonction ou d’une vari´et´e alg´ebrique complexe, puis en nous int´eressant plus sp´ecifiquement aux cas des singularit´es `a l’infini d’une fonction polynomiale, des singularit´es d’une fraction rationnelle et des vari´et´es horosph´eriques. Dans la deuxi`eme partie nous abordons l’analyse non-archim´edienne et la g´en´eralisation de l’int´egration motivique aux fonctions constructibles par Cluckers—Loeser, dans le contexte d´efinissable de la th´eorie des mod`eles des corps valu´es hens´eliens. Nous terminons enfin ce m´emoire par la notion de distribution ainsi que leur front d’ondes associ´e dans le cadre non-archim´edien.

Abstract. This text concerns non-archimedean analysis and geometry. In the first part, we start by the presentation of motivic integration theory introduced by Kontsevich in the 90’s as a substitute of p-adic integration in the context of formal series with complex coefficients. Then, we expose the developement of this theory by Batyrev, Denef—Loeser and Nicaise—Sebag for instance, and its applications in the study of singularities of a function or a complex algebraic variety, and more specifically on singularities at infinity of a polynomial map, singularities of a rational function and horospherical varieties. In the second part, we consider the non-archimedean analysis and the generalization of motivic integration to constructible functions by Cluckers—Loeser, in the definable context of model theory of henselien valued fields. Finally, in the last part of the text, we expose the notion of distribution and their wavefront set in the non-archimedean setting.

TABLE DES MATI` ERES

Remerciements. . . 7

Introduction. . . 9

Partie I. Singularit´es et int´egration motivique. . . 11

1. Singularit´es et int´egration motivique. . . 15

2. Singularit´es `a l’infini. . . 39

3. Fractions rationnelles. . . 59

4. Vari´et´es horosph´eriques. . . 67

Partie II. Fronts d’ondes de distributions en analyse non-archim´edienne. . . 83

5. Analyse non-archim´edienne. . . 87

6. Distributions et fronts d’ondes sur un corps local non-archim´edien. . . 111

7. Distributions et fronts d’ondes motiviques. . . 123

Index des notations. . . 135

Bibliographie. . . 149

REMERCIEMENTS

Je tiens tout d’abord `a remercier le jury, Fran¸cois Loeser en premier, pour avoir accept´e d’ˆetre pr´esident et pour sa bienveillance envers moi depuis le tout d´ebut de ma th`ese, Georges Comte pour tout ce qu’il fait pour moi depuis bientˆot vingt ans, Raf Cluckers pour toute l’aide technique qu’il m’a toujours tr`es gentilment apport´ee dans mes travaux sur les fronts d’ondes, Julia Gordon pour toutes les discussions que nous avons eues sur ce sujet et enfin mes trois rapporteurs, Tom Hales, Johannes Nicaise et Adam Parusi´nski, pour tous nos ´echanges au cours de ces ann´ees et pour leur travail de relecture qui m’a permit d’am´eliorer ce texte.

Je tiens ensuite `a remercier l’´equipe de g´eom´etrie et plus g´en´eralement tous les membres de mon laboratoire, anciens et actuels, et tous mes coll`egues d’enseignement, d’une part pour m’avoir recrut´e, fait confiance et ainsi permis de continuer `a faire des math´ematiques et aujourd’hui habiliter, et d’autre part pour toutes ces conditions qui font que je me sente bien dans ce laboratoire et puisse m’´epanouir dans ma recherche.

Je tiens `a remercier tous mes coauteurs, pour tout ce que j’apprends `a vos cˆot´es et pour les liens d’amiti´es que nous avons cr´e´es, sans vous il n’y aurait pas de manuscrit et pas d’habilitation aujourd’hui.

Enfin, je tiens `a remercier mes amis math´ematiciens, mes amis et ma famille, pour tout ce que vous m’apportez, avec une pens´ee toute particuli`ere pour mon directeur de th`ese Michel Merle, qui a ´et´e le premier `a m’initier `a la recherche et `a m’accompagner dans mes travaux et mˆeme apr`es dix ann´ees, par les souvenirs et les m´ethodes, je continue `a b´en´eficier de cette exp´erience `a ses cˆot´es.

Merci `a tous !

INTRODUCTION

Ce m´emoire est divis´e en deux parties. La premi`ere partie est consacr´ee `a l’´etude des singularit´es d’une fonction ou d’une vari´et´e alg´ebrique complexe en utilisant l’int´egration motivique. La seconde partie est consacr´ee au front d’ondes d’une distribution dans le cadre de l’analyse non-archim´edienne sur un corps local non-archim´edien (comme Qp ou Fp((t))) ou dans le cadre t-adique k((t)) d’´egales caract´eristiques 0.

Chaque partie commence par un chapitre introductif aux th´eories utilis´ees dans les chapitres suivants o`u nous pr´esentons nos travaux de recherche ainsi que les perspectives envisag´ees dans le futur.

Liste des travaux pr´esent´es en vue de l’habilitation `a diriger les recherches Int´egration motivique et singularit´es.

— Motivic Milnor fibers of a rational function [215] (annonc´e dans la note [213])

— Newton transformations and the motivic Milnor fiber of a plane curve [48] (avec P. Cassou-Nogu`es)

— Newton transformations and motivic invariants af infinity of plane curves [49] (avec P. Cassou-Nogu`es)

— Motivic and analytic nearby fibers at infinity and bifurcation sets [106] (avec L. Fantini)

— Stringy invariants for horospherical varieties of complexity one [156] (avec K. Langlois et C. Pech) Fronts d’ondes de distributions dans le cadre non-archim´edien.

— Distributions and wave front sets in the uniform non archimedean setting [68] (avec R. Cluckers, I.

Halupczok et F. Loeser)

— Motivic wave front sets [216]

— On the commutativity of pull-back and push-forward functors on motivic constructible functions [51]

(avec J. Cely)

PARTIE I

SINGULARIT ´ES ET INT ´EGRATION MOTIVIQUE

Fp Qp

d’isomorphisme, not´eeL, de la droite affine A¹_k d´efinie sur le corps r´esiduel dek((t)) p= card(Fp) ←→L:= [A¹k].

Ainsi, pour une vari´et´e alg´ebrique X d´efinie surk, les ensembles mesurables de la mesure motivique sur Xsont des parties de l’espace des arcs L(X) deX (§1.2) et les valeurs de l’int´egrale sont des ´el´ements d’un anneau de Grothendieck des vari´et´es (§1.1). Par exemple (§1.3), dans le cas o`uX est une vari´et´e alg´ebrique lisse, le volume motivique de L(X) est la classe d’isomorphisme [X] deX dans l’anneau de Grothendieck des vari´et´es K0(Var_k).

L’int´egration motivique est un moyen de calcul d’invariants des vari´et´es alg´ebriques sur k. En effet, de mani`ere g´en´erale, chaque invariant additif (et multiplicatif)ι: Var<sub>k</sub>→Rse factorise `a travers l’application classe d’isomorphisme [−] : Var_k→Ao`uAest un anneau de Grothendieck des vari´et´es surk, induisant un morphisme de groupes (d’anneaux) ˜ι:A→R, appel´e morphisme de r´ealisation (§1.1) tel que ι= ˜ι◦[−].

Par exemple, les invariants d’une vari´et´e alg´ebrique lisse peuvent ˆetre obtenus en appliquant les mor- phismes de r´ealisation `a son volume motivique. C’est pr´ecis´ement de cette mani`ere que Kontsevich montra que deux vari´et´es alg´ebriques complexes de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes ont les mˆemes nombres de Hodge en prouvant l’´egalit´e des volumes motiviques de leur espace d’arcs (Exemple 1.3.0.0.5). Ce r´esultat g´en´eralise ainsi le th´eor`eme de Batyrev ([13] prouv´e grˆace `a l’int´egrationp-adique) sur l’´egalit´e des nombres de Betti de ces vari´et´es.

L’int´egration motivique a ´et´e d´evelopp´ee de mani`ere ind´ependante par Batyrev dans le cas lisse [12] et par Denef–Loeser [87] dans le cas g´en´eral. Looijenga [171] proposa une g´en´eralisation de cette th´eorie au cas des vari´et´es d´efinies sur k[[t]]. Sebag [228] g´en´eralisa cette approche au cas des sch´emas formels d´efinis sur un anneau de valuation discr`ete complet, puis Loeser–Sebag [169] d´efinirent une int´egrale motivique d’une forme volume d´efinie sur un espace analytique non-archim´edien (§1.5.2). Enfin, Denef–Loeser [89]

puis Cluckers–Loeser [69, 70, 72, 73, 74, 75] et Hrushovski-Kazhdan [139] grˆace `a la th´eorie des mod`eles des corps valu´es (hens´eliens ou alg´ebriquement clos d’´egales caract´eristiques 0) construisirent une th´eorie de l’int´egration avec param`etres et exponentielles se sp´ecialisant sur les int´egrales p-adiques (§5.3).

Outre son emploi comme moyen de calcul des invariants d’une vari´et´e alg´ebrique, ce contexte motivique permit `a Batyrev d’en introduire de nouveaux [12], lesinvariants motiviques stringy (§4.2). Ceux-ci ont de bonnes propri´et´es (Remarque 4.2.0.0.5) et fournissent des crit`eres de lissit´e pour certaines vari´et´es alg´ebriques (§4.4.2.4 et §4.4.3.2). Ils ont notammment ´et´e ´etudi´es par Denef–Loeser [92] en lien avec la correspondance de McKay, par Yasuda [253], par Veys [245, 246] et Schepers–Veys [226].

Denef–Loeser [86, 91] (puis Bittner [22] et Guibert–Loeser–Merle [124]) utilis`erent l’int´egration moti- vique pour construire un formalisme decycles proches motiviques qui se r´ealisent sur les classes (dans leur anneau de Grothendieck respectif) des cycles proches faisceautiques et des structures de Hodge mixtes li- mites (§1.4.1). En particulier, les r´ealisations de ces constructions motiviques permettent de retrouver les invariants classiques des singularit´es d’une fonction (§1.4.3). Par exemple, dans le cas complexe, lesfibres de Milnor motiviquesse r´ealisent sur les invariants classiques de la fibre de Milnor topologique. Le cas r´eel a ´et´e d´evelopp´e par Koike-Parusi´nski [150], Fichou [107, 108], Comte–Fichou [77], Campesato [41] et Fichou–

Yin [109]. Ces constructions motiviques ont ensuite ´et´e ´etendues au cadre analytique non-archim´edien (§1.5) par Nicaise–Sebag [192], Nicaise [185] puis Bultot [39] et Hartmann [133]. On dispose ainsi de cycles proches analytiques et d’une fibre de Milnor analytique dont le volume motivique est ´egal aux cycles proches motiviques et `a la fibre de Milnor motivique.

13

Dans le Chapitre 1, nous pr´esentons toutes ces notions, en mettant en ´evidence les id´ees des diff´erents r´esultats et constructions.

Dans le Chapitre 2, nous pr´esentons les articles [106] et [49] o`u nous poursuivons l’´etude, commenc´ee pendant la th`ese, des singularit´es `a l’infini d’une application f : U → A¹_C via des techniques motiviques.

Nous commen¸cons (§2.1) par introduire le cadre topologique classique des singularit´es `a l’infini de f et en particulier les notions d’ensemble de bifurcation topologiqueB_f^top et d’invariant λ_a(f) de non-´equisingularit´e

`a l’infini. Nous rappelons ensuite (§2.2), les notions decycles proches motiviques `a l’infini S_f,a^∞ et d’ensemble de bifurcation motiviqueB_f^motd´evelopp´ees au cours de la th`ese ([211, 212, 214] voir aussi [175, 176, 235]).

Nous pr´esentons en particulier les r´esultats obtenus avec L. Fantini [106] : les cycles proches motiviques

`

a l’infini S_f,a^∞ se r´ealisent sur l’invariant λ_a(f) (Th´eor`eme 2.2.2.0.3) et, lorsque f est `a singularit´es isol´ees

`

a l’infini, l’ensemble de bifurcation motivique contient l’ensemble de bifurcation topologique (Th´eor`eme 2.2.3.0.3).

Dans la lign´ee des travaux de Nicaise–Sebag (§1.5.1), nous pr´esentons (§2.3) lescycles proches analytiques

`

a l’infiniF^∞_f,a[106], dont le volume motivique est li´e `aS_f,a^∞ (formule 2.3.0.0.1.2) et qui induisent unensemble de bifurcation motivique de Serre B^Serre_f contenu dansB^mot_f (D´efinition-Propri´et´es 2.3.0.0.3).

Enfin, nous explicitons (§2.4) le cas des courbes planes consid´er´e avec P. Cassou-Nogu`es [49]. Dans ce cadre, si f est `a singularit´es isol´ees, les ensembles de bifurcations topologique et motivique sont ´egaux et calculables via un algorithme (Th´eor`eme 2.4.6.0.1), et nous obtenons des formules de type Kouchnirenko pour la caract´eristique d’Euler de la fibre g´en´erique def (Th´eor`eme 2.4.4.0.3) et l’invariantλ_a(f) (Th´eor`eme 2.4.5.0.2).

Dans le Chapitre 3 nous pr´esentons les r´esultats et constructions motiviques de l’article [215] sur les fractions rationnelles. Comme dans le cas des singularit´es `a l’infini, nous commen¸cons (§3.1) par rappeler le cadre topologique d’´etude des singularit´es des fractions rationnelles localement en un point d’ind´etermination ou globalement, en particulier les diverses fibrations de Milnor (locale et globale), leur monodromie, et les ensembles de bifurcation topologique (les ensembles locaux et l’ensemble global) associ´es. Nous introduisons ensuite (§3.2) le point de vue faisceautique de ces constructions. Enfin (§3.3) nous pr´esentons les analogues motiviques de ces notions consid´er´es dans l’article [215] et directement issus de la th´eorie de Denef–Loeser (§1.4) : les fibres de Milnor motiviques (les fibres locales et les fibres globales) et les ensembles de bifurcation motiviques (les ensembles locaux et l’ensemble global).

Enfin, dans le Chapitre 4, nous pr´esentons le contexte et les r´esultats de l’article [156], en commun avec K. Langlois et C. Pech. Nous commen¸cons (§4.1 et§4.2) par rappeler les notions devari´et´eQ-Gorenstein `a singularit´es log-terminaleset d’invariants motiviques stringy. Nous pr´esentons (§4.3) le calcul classique de ces invariants dans le cas d’une vari´et´e torique [12, 15]. Nous traitons enfin, le cas d’unevari´et´e horosph´erique (§4.4), qui g´en´eralise le cas torique pr´ec´edent : en particulier, le cas de la complexit´e 0 trait´e par Batyrev–

Moreau [15] et celui de la complexit´e 1 trait´e dans l’article [156].

CHAPITRE 1

SINGULARIT´ ES ET INT´ EGRATION MOTIVIQUE

Dans ce chapitre nous rappelons les d´efinitions et propri´et´es utilis´ees dans la suite du m´emoire. Outre les r´ef´erences mentionn´ees dans l’introduction de cette partie, on pourra se r´ef´erer aux articles de survol de Denef–Loeser [90, 170], Veys [247], Nicaise–Sebag [184, 193, 194] et `a l’ouvrage de synth`ese de Chambert- Loir–Nicaise–Sebag [52].

1.1. Anneaux de Grothendieck des vari´et´es

1.1.1. Vari´et´es. Soitkun corps de caract´eristique 0 etGm son groupe multiplicatif. On appellek-vari´et´e, tout sch´ema s´epar´e r´eduit de type fini surk. On note Varkla cat´egorie desk-vari´et´es et pour toutek-vari´et´e S, on note Var_S la cat´egorie des S-vari´et´es, dont les objets sont les morphismes X → S dans la cat´egorie Var_k. Plus g´en´eralement [124,§2], nous consid´ererons la cat´egorie Var^G_S×^m

Gm dont les objets sont les vari´et´es ((p, π) :X→S×Gm, σ) o`uσ est une bonne action deGmsurX (chaqueGm-orbite de Xest contenue dans un ouvert affine deX), les fibres depsontGm-invariantes et l’applicationπ est homog`ene : il existe un entier n, appel´epoids ou degr´e d’homog´en´eit´e, tel que pour toutλ∈Gm et pour toutx∈X,π(σ(λ, x)) =λⁿπ(x).

1.1.2. Anneaux de Grothendieck des vari´et´es. L’int´egration motivique est `a valeurs dans un anneau de Grothendieck des vari´et´es, ce dernier peut varier suivant le contexte. Dans ce paragraphe, nous rappelons la pr´esentation des anneaux K₀ Var^G_S×^m

G^m

etM^G_S×^m

G^m utilis´es dans la suite du m´emoire et nous renvoyons le lecteur aux diff´erentes synth`eses [193] et [52, Chapitre 2].

Techniquement, ces anneaux sont construits comme des colimites ([123,§2] et [124,§2]) relativement au poids des morphismes homog`enes structuraux (§1.1.1). N´eanmoins, en premi`ere approche et dans le cadre de ce m´emoire, nous consid´ererons la d´efinition suivante.

D´efinition 1.1.2.0.1 (Anneaux de Grothendieck des vari´et´es). SoitS une k-vari´et´e.

— Le groupe ab´elien K0 Var^G_S×^m

Gm

est engendr´e par les classes d’isomorphisme dans la cat´egorie Var^G_S×^m

G^m, not´ees [(X →S×Gm, σ)], modulo les relations suivantes :

1. Si F est une sous-vari´et´e ferm´ee de (X→S×Gm, σ) et invariante sous l’action σ, alors [X→S×Gm, σ] = [F →S×Gm, σ] + [X\F →S×Gm, σ].

2. Pour tout entier d, pour toute vari´et´e (f :X→S×Gm, σ)

[f◦πX :X×A^dk→S×Gm,σ] = [f˜ ◦πX :X×A^dk→S×Gm,σ˜⁰]

si ˜σ et ˜σ⁰ sont deux relev´es de l’action σ de Gm sur X en une action affine sur le fibr´e π_X :X×A^d_k→X, o`u π_X est la projection canonique.

3. Pour toute vari´et´e (X→S×Gm, σ), pour tout entierl [X →S×Gm, σ] = [X →S×Gm, σl] o`u pour toutλ∈Gm et tout x∈X.

(1.1.2.0.1.1) σl(λ, x) =σ(λ^l, x)

Le produit fibr´e au-dessus deS×Gm muni de l’action diagonale, induit une structure d’anneau sur le groupe K₀ Var^G_S×^m

Gm

. L’unit´e pour le produit, est la classe

(1.1.2.0.1.2) 1S×Gm = [Identit´e :S×Gm→S×Gm, σ_Gm] o`u pour tout λ∈Gm et (s, µ)∈S×Gm,

(1.1.2.0.1.3) σ_Gm(λ,(s, µ)) = (s, λµ)

En particulier, l’anneau K₀ Var^G_S×^m

Gm

a une structure de K₀(Var_k)-module.

— On note

(1.1.2.0.1.4) L= [πS×Gm :A¹_k×S×Gm →S×Gm, σ_Gm] o`u πS×Gm est la projection canonique sur S×Gm.

— On note M^G_S×^m

Gm l’anneau localis´e K₀ Var^G_S×^m

Gm

[L⁻¹].

— Soit f :S → S⁰ un morphisme de k-vari´et´es. La composition par f induit un morphisme de groupes image directe f_! et le produit fibr´e surS⁰ induit un morphisme d’anneauximage inverse f^∗

(1.1.2.0.1.5) f_!:M^G_S×^m

Gm → M^G_S^m0×Gm, f^∗ :M^G_S0^m×Gm → M^G_S×^m

Gm.

— Pour une vari´et´e (f :X → S ×Gm, σ), l’image inverse de S× {1} par f est not´ee f⁽¹⁾ :X⁽¹⁾ → S.

Elle est munie d’une action induiteσ⁽¹⁾ du groupe des racines de l’unit´e ˆµ, qui se factorise `a travers une action du groupe des racinesn-i`emes de l’unit´e µ_n, o`u nest le degr´e d’homog´en´eit´e de l’action σ.

L’anneau associ´e `a cette op´eration est not´e M^µ_S^ˆ.

— Lorsque l’on travaille avec des vari´et´es sans action, lorsque la base S est le point Speck, on note simplement ces anneaux K₀(Var_k) etM_k. Dans ce cas l`a, on noteraMc_kla compl´etion deM_k pour la filtration usuelle assurant que L⁻ⁿ→0. On note M_k l’image deM_k dans Mc_k.

— L’anneau de Grothendieck K₀(Var_k) n’est pas int`egre [207], Lest un diviseur de 0 ([27] et [173]).

Remarque 1.1.2.0.2. L’anneau de Grothendieck des vari´et´es K₀(Var_k) a ´et´e introduit par Grothendieck dans une lettre `a Serre dat´ee du 16 aoˆut 1964 et publi´ee dans la correspondance Grothendieck–Serre [76].

Dans cette lettre, il y introduit la notion de motif. Dans le cadre de ce m´emoire, nous dirons abusivement que les ´el´ements des anneaux de Grothendieck des vari´et´es sont des motifs et nous renvoyons `a [52,§5.3].

1.1.3. R´ealisations.

1.1.3.1. Propri´et´e universelle. Nous rappelons la notion d’invariant utilis´ee dans ce m´emoire.

D´efinition 1.1.3.1.1 (Invariants additifs et multiplicatifs). On dit qu’une application ι: Vark→R

o`u Rest un anneau, est uninvariant additif et multiplicatif si

— pour toutes vari´et´es alg´ebriques X etY isomorphes ι(X) =ι(Y)

1.1. ANNEAUX DE GROTHENDIECK DES VARI ´ET ´ES 17

— pour toute vari´et´e alg´ebrique X, pour tout ferm´e alg´ebrique F de X ι(X) =ι(F) +ι(X\F)

— pour toutes vari´et´es alg´ebriques X etY

ι(X×Y) =ι(X).ι(Y).

Par construction des anneaux de Grothendieck des vari´et´es nous avons :

Th´eor`eme 1.1.3.1.2 (Propri´et´e universelle). Tout invariant additif (et multiplicatif ) ι : Var<sub>k</sub> → R se factorise de mani`ere unique `a travers l’application [−] : Var_k → K0(Vark) induisant un morphisme de groupes (d’anneaux)˜ι: K₀(Var_k)→Rappel´emorphisme de r´ealisation et rendant commutatif le diagramme

Var_k ^{ι //}

[−]

R

K₀(Var_k)

˜ ι

:: .

Remarque 1.1.3.1.3. Il suit de cette propri´et´e universelle que deux vari´et´es X et Y ayant mˆeme classe dans l’anneau de Grothendieck K₀(Var_k) ont les mˆemes invariants additifs (et multiplicatifs). En utilisant l’int´egration motivique, Kontsevich [152] a montr´e que deux vari´et´es alg´ebriques complexes de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes ont la mˆeme classe (Exemple 1.3.0.0.5) et donc partagent les mˆemes invariants additifs et multiplicatifs, comme les nombres de Hodge, et ainsi, par compacit´e, les nombres de Betti, comme Batyrev [13] l’avait auparavant prouv´e en utilisant l’int´egration p-adique.

Ce type de propri´et´e universelle s’´etend de mani`ere g´en´erale aux diff´erents anneaux de Grothendieck des vari´et´es consid´er´es ci-dessus. Nous pr´esentons les morphismes de r´ealisation utilis´es dans la suite du m´emoire et nous renvoyons le lecteur `a la synth`ese [52, Chapitre 2].

1.1.3.2. R´ealisation caract´eristique d’Euler. Soit k un corps de caract´eristique z´ero. L’invariant additif et multiplicatif caract´eristique d’Euler pour la cohomologie `a support compact

χ_c : Var_k → Z

X 7→ P

i∈N(−1)ⁱdimH_cⁱ(X,Q)

induit le morphisme de r´ealisation fχ_c:M_k→Z. Plus g´en´eralement, nous consid´ererons la r´ealisation fχ_c : M^Gm

Gm → Z,

[X →Gm, σ] 7→ χ_c(X⁽¹⁾) .

1.1.3.3. R´ealisation fonction zˆeta de la monodromie. Supposons k=C. Soit (X →Gm, σ) une vari´et´e de Var^Gm

Gm. Pour touti, le groupe de cohomologieH_cⁱ(X⁽¹⁾,Q) deX⁽¹⁾ est muni d’un op´erateur quasi-unipotent Ti. La fonction zˆeta de la monodromie de (X →Gm, σ) est alors d´efinie comme

Z_X^mono(t) =

dimX

Y

i=0

PTi(t)⁽⁻¹⁾ⁱ o`u pour tout i,PTi(t) est le polynˆome caract´eristique de Ti. L’invariant

Z^mono : Var^Gm

Gm → (C(t)^∗,×) (X→Gm, σ) 7→ Z_X^mono(t) se factorise `a travers le groupe de Grothendieck K0(Var^Gm

Gm) et on note la r´ealisation associ´eeZ^^mono Z^^mono : K₀(Var^Gm

Gm),+

→ (C(t)^∗,×)

[X→Gm, σ] 7→ Z^^mono([X →Gm, σ]) :=Z_X^mono(t) .

Ce morphisme de groupes s’´etend `a (M^Gm

Gm,+).

1.1.3.4. R´ealisation de Hodge. Supposons k = C. On notera SH la cat´egorie ab´elienne des structures de Hodge et K₀(SH) son anneau de Grothendieck associ´e. Il existe un morphisme canonique de r´ealisation de Hodge

(1.1.3.4.0.1) χf_h:M_C→K₀(SH)

qui associe `a la classe [X] d’une vari´et´e X, l’´el´ement P

i(−1)ⁱ[H_cⁱ(X,Q)] dans l’anneau K₀(SH), o`u pour touti, la classe [H_cⁱ(X,Q)] est la classe de la structure de Hodge mixte de Deligne surH_cⁱ(X,Q).

Pour tout (p, q) ∈N², on dispose d’un invariant additif et multiplicatif, appel´e nombre de Hodge de poids (p, q), d´efini par

(1.1.3.4.0.2) χh^p,q : Var_C → Z

X 7→ P2 dimX

i=0 (−1)ⁱh^p,q(H_cⁱ(X,C))

o`u h^p,q(.) est la dimension de la composante de poids (p, q) de la structure de Hodge mixte. On en d´eduit l’invariant additif et multiplicatif, appel´e polynˆome de Hodge-Deligne

(1.1.3.4.0.3) HD : Var_C → Z[u, v]

X 7→ PdimX p,q=0

P2 dimX

i=0 (−1)ⁱh^p,q(H_cⁱ(X,C) u^pv^q .

Remarquons notamment que χ_c(X) = HD(X,1,1). Ces invariants induisent des r´ealisations HD etg χ]_h^p,q d´efinies sur l’anneau K₀(Var_C) et qui s’´etendent `a M<sub>C</sub> et plus g´en´eralement `a l’image M_C de l’injection canonique deM_Cdans son compl´et´e Mc_C, et `a valeurs dans l’anneauZ[u^±, v^±] ([87,§6] et [52, Chapitre 2,

§3]).

On notera SH^mon la cat´egorie ab´elienne des structures de Hodge munies d’un endomorphisme quasi- unipotent et K₀(SH^mon) son anneau de Grothendieck. Il existe un morphisme canonique

(1.1.3.4.0.4) χfh :M^Gm

G^m→K0(SH^mon) d´efini comme suit. Pour tout ´el´ement [f :X→Gm, σ] de M^Gm

G^m avec X connexe, l’application f homog`ene par rapport `a l’actionσ de Gm, est une fibration localement triviale pour la topologie complexe. De plus, si le degr´e d’homog´en´eit´e est ´egal `a n, alors pour toutx∈X, la fonction

[0,1] → X

s 7→ σ(exp(2iπs/n), x)

est une monodromie g´eom´etrique (`a l’origine) d’ordre fini de f. La fibre de f en 1, not´ee X⁽¹⁾, est munie d’un automorphisme d’ordre finiT_f, et on d´efinit

χf_h([f :X→Gm, σ]) := X

i

(−1)ⁱ[H_cⁱ(X⁽¹⁾,Q), T_f] .

Il existe de plus une application lin´eaire, appel´eespectre de Hodge

(1.1.3.4.0.5) sph : K0(SH^mon) → Z[Q] := ∪n≥1Z[s^1/n, s^−1/n]

[H] 7→ sph([H]) := P

α∈Q∩[0,1[s^α P

p,q∈ZdimHα^(p,q)s^p

o`u pour une structure de Hodge munie d’un op´erateur quasi-unipotent,Hα^p,q est l’espace caract´eristique de H^p,q pour la valeur propree^2iπα. On note sp la composition sph◦χf_h.

1.2. ARCS 19

1.1.3.5. R´ealisation des modules de Hodge mixtes et faisceaux. Supposons k = C. Pour les d´efinitions et r´esultats d´ecrits ci-dessous, on pourra se r´ef´erer `a [205, Chapitre 14]. Pour toute vari´et´e alg´ebrique complexe X, on note MHM<sub>X</sub> la cat´egorie ab´elienne des modules de Hodge mixtes surX d´efinie par M. Saito [223] et K0(MHMX) l’anneau de Grothendieck associ´e. On consid`ere MHM^mon_X la cat´egorie ab´elienne des modules de Hodge mixtes surX munis d’un automorphisme d’ordre fini et K₀(MHM^mon_X ) son anneau de Grothendieck associ´e. Par d´efinition des modules de Hodge mixtes, il existe un foncteur pleinement fid`ele

(1.1.3.5.0.1) rat_X :D^b(MHM_X)→D^b_c(X,Q)

tel que pour toutM ∈MHMX, ratXM ∈Perv(X,Q) est son faisceau pervers sous-jacent.

Par construction des modules de Hodge mixtes, il existe une ´equivalence de cat´egories entre la cat´egorie MHM^mon_Spec

C des modules de Hodge mixtes support´es par le point et munis d’un endomorphisme quasi- unipotent et la cat´egorie SHM^mon des structures de Hodge mixtes munies d’un endomorphisme quasi- unipotent. On notera alors

(1.1.3.5.0.2) Φ^MHM_SHM : K₀(MHM^mon_SpecC)→K₀(SH^mon)

le morphisme d’anneaux induit par l’application canonique qui associe `a une structure de Hodge mixte munie d’un endomorphisme quasi-unipotent, sa classe dans l’anneau K₀(SH^mon).

Pour toute vari´et´e alg´ebrique X, il existe un morphisme d’anneaux de r´ealisation χ^^MHM_X : K0(Var_X)→K0(MHM_X)

tel que pour tout morphismep:Z →X avec Z lisse,

χ^^MHM_X ([p:Z →X]) = [p_!QZ(−1)]

o`u p<sub>!</sub>est l’image directe `a support compact. De plus, ce morphisme s’´etend en un morphisme M_C-lin´eaire χ^^MHM_X :M_X →K0(MHMX)

o`u K₀(MHM_X) est consid´er´e comme un M_C-module avec sa structure de module sur K₀(MHM_Spec(C)) et la r´ealisation χ^^MHM

C . Plus g´en´eralement, il existe un morphisme d’anneaux naturel [124,§2.6, §3.16]

χ^^MHM:M^G_X×^m

G^m →K0(MHM^mon_X ).

Notons que dans le casX = SpecC, la composition entre Φ^MHM_SHM etχ^^MHM est le morphisme d’anneauxχf_h. 1.2. Arcs

Nous rappelons quelques d´efinitions et notations sur les espaces d’arcs utilis´ees dans ce m´emoire. Pour plus de d´etails concernant l’usage de ces espaces en int´egration motivique, on pourra se r´ef´erer `a [87] et [52].

D´efinition 1.2.0.0.1 (Arcs). SoitX unek-vari´et´e.

— Pour tout entier naturel n, l’espace des n-jets de X, not´e Ln(X), est le k-sch´ema de type fini dont le foncteur de points est : pour toute k-alg`ebre L, les L-points rationnels de Ln(X) sont les mor- phismes Spec L[s]/(sⁿ⁺¹)

→X. En particulier, L0(X) est canoniquement isomorphe `a X lui-mˆeme.

La composition `a droite des projections canoniques L[s]/(s<sup>n+1</sup>) → L[s]/(s<sup>n</sup>) induit des morphismes Ln(X)→Ln−1(X) et un syst`eme projectif{Ln(X)}_n. Par exemple, si X est lisse de dimension pure dalors ces morphismes sont des fibr´es enA^d_k.

— La limite projective du syst`eme{Ln(X)}_nest l’espace d’arcs deX, not´eL(X) et muni des projections canoniquesπ_n:L(X)→Ln(X). C’est un k-sch´ema qui n’est en g´en´eral pas de type fini. Pour toute extension finie k⁰ de k les k⁰-points rationnels de L(X) sont les morphismes Speck⁰[[s]] → X. Si ϕ∈L(X) est un arc sur X, le pointπ₀(ϕ)∈X est appel´e origine de ϕsur X.

— Le groupe multiplicatif Gm agit canoniquement sur chaque espace de jets Ln(X) et surL(X) par λ.ϕ(s) =ϕ(λs).

Soitf:X→A¹_k= Spec k[t]

un morphisme etϕ: Spec L[[s]]

→X un L-arc surX. On d´efinit alors :

— l’ordre de f le long deϕ par

ordf(ϕ) := ord ϕ^#(f)

∈Z≥0∪ {+∞}

— la composante angulaire acf(ϕ) ∈L, comme le premier coefficient non nul de la s´erie formelle ϕ^∗(f) appartenant `a L[[s]] ; par convention acf(ϕ) = 0 si ϕ^∗(f) = 0.

SoitF une sous-vari´et´e ferm´ee deX d´efinie par un faisceau d’id´eaux I_F etϕun arc deL(X), l’ordre de contact deϕ le long deF est alors d´efini comme

ordϕ^#(I_F) := inf

g∈I_F,ϕ(0)ord ϕ^#(g)

o`u g parcourt les sections locales de I<sub>F</sub> `a l’origine de ϕ. Cet ordre est strictement positif si et seulement si l’origine de ϕ appartient `a F et il est infini si ϕ est un arc de F. Par exemple, si nous consid´erons un morphisme f:X →A¹_k comme ci-dessus alors l’ordre de contact de ϕle long def⁻¹(0) est ordf(ϕ).

1.3. Int´egration motivique

Nous rappelons les id´ees de base de la construction de la mesure motivique qui suffisent `a la lecture de ce m´emoire et renvoyons `a [87, 52, 247, 23] pour plus de d´etails.

Th´eor`eme-D´efinition 1.3.0.0.1 (Mesure motivique). SoitX unek-vari´et´e.

— Une partie C de L(X) est appel´eecylindre ou constructible deL(X), si il existe un entierm0 et une partie constructible B de Lm0(X) tels que C =π_m⁻¹₀(B),B est alors appel´eebase au niveau m₀ de C.

— Supposons que X soit une vari´et´e non singuli`ere. Soit C un cylindre de L(X) au niveau m<sub>0</sub>. Par application du lemme de Hensel, pour tout entier m≥`≥0, l’application de troncation

π<sup>m,`</sup>|<sub>πm(C)</sub>:π<sub>m</sub>(C)→π<sub>`</sub>(C)

est une fibration triviale par morceaux de fibre A^{(m−`) dim}_k ^X ([87, Lemma 4.1]). La mesure motivique de C, introduite par Kontsevich [152], est alors d´efinie comme

mes_X(C) = [π_m(C)]L^−mdimX, pour tout m≥m₀.

— Supposons que X soit une vari´et´e singuli`ere. Soit C une partie cylindrique de L(X). On peut alors d´efinir lamesure motivique de C comme

(1.3.0.0.1.1) mes_X(C) = lim

m→∞[π_m(C)]L^−mdimX ∈Md_k.

— Une fonctionL^−G avec G :L(X)→Z∪ {∞} est ditemesurable, si pour tout s∈Z, la partie G⁻¹(s) est un cylindre de L(X). Elle est dite int´egrable sur une partie mesurable A de L(X) si la s´erie P

s∈ZmesX(A∩G⁻¹(s))L^−s converge dans l’anneau compl´et´eMd_k. En ce cas, on pose (1.3.0.0.1.2)

Z

A

L^−GdX :=X

s∈Z

mesX(A∩G⁻¹(s))L^−s. Remarque 1.3.0.0.2. Quelques remarques.

— Si X est une vari´et´e alg´ebrique lisse sur k, il d´ecoule du lemme de Hensel, que L(X) est un cylindre au niveau 0 ([121, Corollary 2] et [87, Lemma 4.1]) et donc que l’on a

(1.3.0.0.2.1) mes_X(L(X)) = [X].

1.3. INT ´EGRATION MOTIVIQUE 21

— La d´efinition dans le cas singulier (formule (1.3.0.0.1.1)) est le Th´eor`eme 7.1 de [87] (et [90, §4.3]) qui est l’analogue de celui d’Oesterl´e dans le cas p-adique [196]. Dans l’article [87] (voir aussi [92, Appendix] et [52]), Denef–Loeser d´efinissent une tribu d’ensembles mesurables plus g´en´eraux que les cylindres. Par exemple :

• L’espace d’arcs d’un sous-sch´ema ferm´e r´eduit Y de X est mesurable et de mesure nulle par rapport `a X ([87, Equation (3.2.2)] ou [23, Proposition 4.5]) : mes_X(L(Y)) = 0.

• les partiessemi-alg´ebriquesoud´efinissables pour le langage de Denef–Pas (§5.3.1 et§5.3.2), sont mesurables [87, Definition-Proposition 3.2].

— Soit Dun diviseur effectif de Cartier sur X (§4.1.1.0.1). On d´efinit la fonction

(1.3.0.0.2.2) ordD : L(X) → N∪ {+∞}

ϕ 7→ ordf_D(ϕ)

o`u f<sub>D</sub> est l’´equation locale de D`a l’origine ϕ(0) de l’arc ϕ. La fonctionL^−ordD est mesurable.

Par exemple ([13, Theorem 6.25],[87, Proposition 6.3.2]), si X est lisse et siE=P

i∈Am_iE_i est un diviseur `a croisements normaux, alors la fonction L^−ordE est int´egrable surL(X) et l’on a

Z

L(X)

L^−ordEd_X = X

I⊂A

[E_I^◦]Y

i∈I

L−1 L^1+mi−1

o`u E_∅=X\(∪_i∈AE_i) et pour toute partie non vide I de A,E_I^◦ = (∩_i∈IE_i)\(∪_{i /∈I}E_i).

— La notion de fonction mesurable est ´etendue au cas de plusieurs variables par Cluckers–Loeser [69, 70, 72, 73, 74] (rappel´ee au (§5.3)) et Hrushovski-Kazhdan [139].

Th´eor`eme 1.3.0.0.3 (Formule de changement de variables [152, 13, 87])

Soit h :Y → X un morphisme birationnel propre entre deux vari´et´es alg´ebriques X et Y, o`u Y est lisse. Soit Jac(h) son faisceau d’id´eaux jacobien. SoitAune partie mesurable de L(X) etL^−G une fonction int´egrable sur A, avecG : A→Z∪ {+∞}. La formule de changement de variables est l’identit´e

Z

A

L^−Gd_X = Z

h⁻¹(A)

L−(G◦h)−ord Jac(h)d_Y. Remarque 1.3.0.0.4. Quelques remarques.

— Le morphisme proprehest un isomorphisme entre deux ouvertsh⁻¹(U) etU. On noteF le ferm´eX\U. L’espace d’arcs L(F) est une partie de mesure nulle deL(X). Par application du crit`ere valuatif de propret´e et de l’isomorphisme pr´ec´edent, l’application h induit une bijection

L(Y)\L(h⁻¹(F))→L(X)\L(F).

— Le faisceau d’id´eaux Jac(h) est d´efini comme suit : si X est lisse, il est localement engendr´e par le d´eterminant jacobien de h, exprim´e dans un syst`eme de coordonn´ees locales de X et Y ; si X est singulier, alors par lissit´e deY, on choisit un g´en´erateurω<sub>Y</sub> de Ω<sup>dim</sup><sub>Y</sub> <sup>Y</sup> et pour toute formeω de Ω<sup>dim</sup><sub>X</sub> <sup>X</sup> il existe une unique fonction r´eguli`ere gω sur Y telle que h^∗ω = gωωY. Le faisceau Jac(h) est alors localement engendr´e par les g_ω.

— Cette formule a ´et´e ´enonc´ee par Kontsevich dans le cas lisse. Elle a ´et´e prouv´ee par Batyrev [13, Theorem 6.27] dans le cas lisse et Denef–Loeser [87, Lemma 3.3, Lemma 3.4] dans le cas g´en´eral. Cette formule est ´etendue au cadre des fonctions constructibles en plusieurs variables (Th´eor`eme 5.3.4.4.3), par Cluckers–Loeser ([73, Theorem 12.1.1] et [74, Theorem 5.2.1]).

Exemple 1.3.0.0.5 (Th´eor`eme de Kontsevich). Une vari´et´e de Calabi-Yau est une vari´et´e alg´ebrique complexe lisse qui admet une forme diff´erentielle, not´eeω, de degr´e maximal et qui ne s’annule pas. SoitX etY deux vari´et´es de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes. Kontsevich [152] montra que [X] = [Y] de

la mani`ere suivante. On note h:X →Y l’application birationnelle et ω<sub>X</sub>,ω<sub>Y</sub> les formes diff´erentielles. Par application du th´eor`eme de r´esolution des singularit´es d’Hironaka [135], il existe une vari´et´e alg´ebrique lisse Z et deux morphismes birationnels propres h_X :Z →X eth_Y :Z →Y tel queh_Y =h◦h_X. Les fonctions ord Jac(hX) et ord Jac(hY) sont ´egales car il existe une fonction r´eguli`erecne s’annulant pas surZ telle que h^∗_Y(ω_Y) =ch^∗_X(ω_X). Par lissit´e deX etY (1.3.0.0.2.1) et la formule de changement de variables nous avons alors

[X] = Z

L(X)

1dX = Z

L(Z)

L^{−ord Jac(hX)}dZ = Z

L(Z)

L^{−ord Jac(hY)}dZ= Z

L(Y)

1dY = [Y].

1.4. Cycles proches motiviques et fibre de Milnor motivique

Dans cette section, nous rappelons (§1.4.1) les d´efinitions et r´esultats du formalisme des cycles proches motiviques introduit par Denef–Loeser [86, 91] puis ´etendu par Bittner [22] et Guibert–Loeser–Merle [124].

Ces motifs sont construits via l’int´egration motivique et se r´ealisent sur les classes (dans leur anneau de Grothendieck respectif) des cycles proches faisceautiques et des structures de Hodge mixtes limites (§1.4.3).

Par exemple, dans le cas d’un morphisme g : X → A¹_C d´efini sur une vari´et´e alg´ebrique complexe lisse, lescycles proches motiviques Sg appartiennent `a l’anneauM<sup>G</sup><sub>g</sub>−1<sup>m</sup>(0)×Gm et sont associ´es (Th´eor`eme 1.4.3.0.1) au faisceau des cycles prochesψ_g(Q_X) support´es par la fibre sp´eciale g⁻¹(0). Ce motif est construit `a partir d’arcs dont l’origine appartient `a g⁻¹(0). Pour un point x0 ∈g⁻¹(0), la fibrei^∗_x0(Sg) ∈ M^G_{x^m

0}×Gm, appel´ee fibre de Milnor motivique de gen x0, est construite `a partir d’arcs dont l’origine est le pointx0 et se r´ealise sur les invariants classiques de la fibre de Milnor topologique (Remarque 1.4.1.0.2 et Corollaire 1.4.3.0.2).

1.4.1. Cycles proches motiviques et fibre de Milnor motivique.

Th´eor`eme-D´efinition 1.4.1.0.1 (Cycles proches motiviques et fibre de Milnor motivique ) Soit g:X→A¹_k un morphisme d´efini sur une k-vari´et´e lisse de dimension pured.

— Denef et Loeser [86, 91] d´efinissent la fonction zˆeta motivique

(1.4.1.0.1.1) Z_g(T) =X

n≥1

mes(Xn(g))Tⁿ∈ M^G_g−1^m(0)×Gm[[T]]

o`u mes est la mesure motivique sur X et pour toutn≥1, on note Xn(g) ={ϕ∈L(X)|ordg(ϕ) =n}

muni de l’application (π₀,ac◦g) vers g⁻¹(0)×Gm et de l’action de Gm induite par λ.ϕ(t) =ϕ(λt).

— La fonction zˆeta motivique est rationnelle et le motif cycles proches motiviques de g est d´efini comme Sg =− lim

T→∞Z_g(T)∈ M^G_g−1^m(0)×Gm. On appellecycles ´evanescents motiviques le motif

S_g^Φ:= (−1)^dimX−1(Sg−[id:g⁻¹(0)×Gm →g⁻¹(0)×Gm, σ_Gm])∈ M^G_g−1^m(0)×G^m.

— Pour tout point x0 ∈g⁻¹(0), lafibre de Milnor motivique de g en x0, est le motif Sg,x0 :=i^∗_x0(Sg)∈ M^G_{x^m

0}×Gm

o`u ix0 :{x₀} →X est l’inclusion. Ce motif est aussi not´e (Sg)_x

0. Remarque 1.4.1.0.2. Quelques remarques.

1.4. CYCLES PROCHES MOTIVIQUES ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUE 23

— La rationalit´e deZ_g(T) se d´emontre via des th´eor`emes de pr´eparation qui permettent de se ramener

`a une situation simple que l’on sait traiter. Le travail se fait avec le langage de Denef–Pas (§5.3.1) et on utilise de mani`ere plus ou moins implicite le th´eor`eme d’´elimination des quantificateurs (Th´eor`eme 5.3.1.0.1) pour se ramener `a des questions de g´eom´etrie alg´ebrique sur le corps r´esiduel k (grˆace `a l’application coefficient angulaire ac) et d’arithm´etique de Presburger sur Z(grˆace `a la valuation ord).

• Denef–Loeser [86, Theorem 2.2.1] se ram`enent au cas localement monomial en utilisant une r´esolution des singularit´es h : (Y, E) → (X, g<sup>−1</sup>(0)) et la formule de changement de variables (Th´eor`eme 1.3.0.0.3). Ils obtiennent les formules

(1.4.1.0.2.1) Z_g(T) = X

I⊂A,I6=∅

U_I →g⁻¹(0)×Gm, σ Y

i∈I

L^−νiT^Ni 1−L^−νiT^Ni

(1.4.1.0.2.2) S_g= X

I⊂A,I6=∅

(−1)^|I|+1

U_I→g⁻¹(0)×Gm, σ o`u (N_i)i∈A et (ν_i)i∈A sont les multiplicit´es d´efinies par

divf ◦h=X

i∈A

N_iE_i, div Jach=X

i∈A

(ν_i−1)E_i

avec (Ei)i∈Ales composantes irr´eductibles du diviseur `a croisements normauxE, et pour chaque partie non videI de A,U_I est le produit fibr´e au-dessus de E_I^◦, des fibr´es normaux (sans section nulle) desE_i, muni de l’action diagonale naturelle deGm, not´eeσ, d’une application structurale sur g⁻¹(0) induite par la projection canonique des fibr´es et h, et de l’application monomiale r´esiduellef_I versGm [124,§3.4], induite par l’´ecriture en coordonn´ees localesf◦h=uQ

i∈Iy_i^Ni (o`u u est une unit´e) et homog`ene par rapport `a l’action de σ. Concr`etement, la fibre en 1 de f_I, not´ee traditionnellement ˜E^◦_I, est un revˆetement ´etale de la strateE_I^◦ du diviseurE de degr´e nI = pgcd(Ni, i∈I), localement donn´e en coordonn´ees ´etales sur un ouvertU par

(1.4.1.0.2.3) E˜_I|U^◦ =n

((0, b),(y_i))∈(E_I^◦∩U)×G^|I|m u(0, b)Q

i∈Iy_i^Ni = 1 o

.

L’id´ee cl´e de la preuve de la formule (1.4.1.0.2.1) est que par le premier point de la Remarque 1.3.0.0.4, chaque arcϕd’unXn(g) se rel`eve de mani`ere unique en un arc ˜ϕdeL(Y) dont l’origine appartient `a une strateE_I^◦ du diviseur exceptionnel avecI 6=∅. Le travail se fait alors localement sur chaque strateE_I^◦ en classifiant les arcs ϕsuivant les ordres de contact (k_i) de leur relev´e ˜ϕ le long de la strateE_I^◦. Ceci induit d’une part une condition r´esiduelle impliquant l’usage desUI

et ˜E_I^◦ (comme dans la formule (1.4.1.0.2.3)) et des conditions valuatives du type P

i∈Ik_iN_i =n amenant `a sommer des s´eries g´eom´etriques. On conclut par la formule de changement de variables.

• Dans le cas de la fibre de Milnor motivique de g en x0, la r´esolution h est choisie adapt´ee au pointx₀ :h⁻¹(x₀) est une union de composantes irr´eductiblesE_i indic´ees par une partieA_x0 de A. Le motifSg,x0 s’´ecrit comme en (1.4.1.0.2.2) en rempla¸cant A parAx0 etg⁻¹(0) par x0.

• Dans des cas particuliers, comme celui des polynˆomes non-d´eg´en´er´es pour leur poly`edre de New- ton [84, 122, 123], celui des singularit´es quasi-ordinaires [8, 116] ou celui des courbes planes [122, 125, 46] (voir (§2.4)), l’emploi du th´eor`eme d’Hironaka pour utiliser une r´esolution des sin- gularit´es n’est pas n´ecessaire, la combinatoire du contexte est suffisamment riche pour construire une telle r´esolution ou prouver directement la rationalit´e de la s´erie.

• Une autre approche, initi´ee par Denef [82] dans le casp-adique, puis g´en´eralis´ee au cas motivique par Cluckers–Loeser [73, §14.4] (§5.3.4.6, Th´eor`eme 5.3.4.6.2), consiste `a se ramener au cas de cellulesutilis´ees dans des d´ecompositions cellulaires (§5.3.4.2) induites par la th´eorie des mod`eles des corps valu´es d’´egales caract´eristiques 0, hens´eliens ou alg´ebriquement clos [139, 140, 109].

— Les noms “cycles proches motiviques” et “fibre de Minor motivique” sont en g´en´eral justifi´es par les th´eor`emes de r´ealisations (§1.4.3). N´eanmoins, on peut d’ores et d´ej`a donner une id´ee heuristique des analogies entre ces motifs et les fibres de Milnor topologiques munies de leur monodromie.

Dans le contexte des “espaces d’arcs” :

• le motif cycles proches motiviques S_g est construit `a partir d’arcs ϕ de L(X) dont l’origine appartient `a la fibre sp´ecialeg⁻¹(0), c’est-`a-dire satisfaisant la condition valuative ordg(ϕ)>0.

• la fibre de Milnor motiviqueS_g,x0 est construite `a partir d’arcs ϕde L(X) dont l’origine est le pointx0, on peut `a ce titre consid´erer la fonction zˆeta motivique

(1.4.1.0.2.4) Z_g,x0(T) =X

n≥1

mes(Xn(g, x₀))Tⁿ∈ M^G_{x^m

0}×Gm[[T]]

o`u pour tout entiern≥1, on noteXn(g, x₀) ={ϕ∈Xn(g)|ϕ(0) =x₀}.

Dans le contexte “topologique” o`uk=C, nous rappelons les th´eor`emes de fibration de Milnor [177] :

• il existeη >0 tel que

g:g⁻¹(D(0, η)\ {0})→D(0, η)\ {0}

est une fibration de classe C^∞ localement triviale. La fibre de Milnor pour la valeur 0 de g, not´ee G0, est `a diff´eomorphisme pr`es la fibre g⁻¹(a) pour a ∈ D(0, η)\ {0}. La monodromie pour la valeur0, not´eeT₀, est un endomorphisme quasi-unipotent sur les groupes de cohomologie H_c^k(G0,Q), et est induite par l’action du groupe fondamental π1(D(0, η)\ {0}) sur G0.

• pour tout pointx0 de g⁻¹(0), il existe ε >0 et η >0 tel que g:B(x₀, ε)∩g⁻¹(D(0, η)\ {0})→D(0, η)\ {0}

est une fibration de classeC^∞localement triviale. La fibre de Milnor enx0 de g, not´eeGx0, est

`

a diff´eomorphisme pr`es la fibreB(x₀, ε)∩g⁻¹(a) pour a∈D(0, η)\ {0}. Lamonodromie, not´ee Tx0, est un endomorphisme quasi-unipotent sur les groupes de cohomologie H_c^k(Gx0,Q), et est induite par l’action du groupe fondamentalπ₁(D(0, η)\ {0}) sur G_x0.

Nous avons alors l’analogie :

Espace d’arcs Tube de Milnor / Boule de Milnor

F

n≥1Xn(g)

⊂ {ϕ∈L(X)|ϕ(0)∈g⁻¹(0)} ←→ g⁻¹(D(0, η)\ {0}) F

n≥1Xn(g, x₀)

⊂ {ϕ∈L(X)|ϕ(0) =x₀)} ←→ B(x₀, ε)∩g⁻¹(D(0, η)\ {0})

ac◦g et action deGm sur les arcs ←→ Action de monodromie (partie semi-simple) Expliquons cette derni`ere analogie.

• L’action de Gm sur les arcs induit l’action σ de Gm sur les U_I et celle du groupe des racines de l’unit´eµ_nI sur le revˆetement ´etale ˜E_I^◦. L’´etude de la monodromie associ´ee `a une fibration de Milnor pour une valeur ou pour un point, peut se faire `a l’aide d’une r´esolution des singularit´esh: ces monodromies sont “d´emont´ees” en morceaux faits de monodromies d’applications monomiales et les invariants calcul´es s’expriment en termes des ˜E_I^◦ et des multiplicit´es (N_i) et (ν_i).

Citons par exemple :

— le th´eor`eme de la monodromie de Grothendieck ([1, XIV 1.1] et [142]),

— les nombres de Lefschetz de la monodromie et la fonction zˆeta de la monodromie [2],

1.4. CYCLES PROCHES MOTIVIQUES ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUE 25

— le faisceau des cycles proches ([142] et [171, p 282]),

— le module de Hodge mixte cycles proches, la structure de Hodge mixte limite et le spectre ([223], [205] et [86,§4]).

Les invariants de la monodromie de ces exemples, sont tous retrouv´es comme r´ealisation `a partir des motifsSg etSg,x0 (§1.4.3). N´eanmoins, tout ceci concerne la partie semi-simple de la mono- dromie. La structure des blocs de Jordan de la monodromie n’est pas n´ecessairement li´ee `a un invariant additif (sauf si l’on se restreint aux gradu´es associ´es) et reste difficilement atteignable pour le moment, par les m´ethodes motiviques hormis dans des cas particuliers comme celui des polynˆomes non-d´eg´en´er´es [175, 176, 235].

• Par ailleurs, outre le fait de fournir un cadre dans lequel on retrouve les invariants additifs classiques ci-dessus, pour tout entier n ≥ 1, l’application ac◦g et l’action de Gm sur les arcs induisent sur l’espace des jetsXnⁿ(g, x₀) deLn(X) une fibration topologique localement triviale ayant une monodromie d’ordren

(1.4.1.0.2.5) ac◦g : X_nⁿ(g, x0) → Gm

ϕ 7→ ac◦g(ϕ) .

On note alors Xn^n,(1)(g, x0) sa fibre en 1. En utilisant la r´esolution h et la strat´egie expliqu´ee ci-dessus, Denef–Loeser [91] montrent que

χ_c Xn^n,(1)(g, x₀)

= Λ_n,x0(g)

o`u Λn,x0(g) est len-i`eme nombre de Lefschetz de la monodromie def en x0. Hrushovski–Loeser [140] red´emontrent ce r´esultat sans utiliser le th´eor`eme de r´esolution des singularit´es, mais en utilisant la cohomologie `-adique de la fibre de Milnor analytique de Nicaise–Sebag (§1.5.3), l’int´egration motivique (`a la Hrushovski-Kazhdan [139]) et la formule des points fixes de Lefschetz pour les automorphismes d’ordre fini. Cette approche a ´et´e g´en´eralis´ee par Nicaise–Payne [190], [189], ils prouvent en particulier que certaines identit´es issues de l’int´egration motivique ne n´ecessitent pas de consid´ererL⁻¹, ce qui importe car Lest un diviseur de z´ero de K₀(Var_k).

• Le cas particulier des d´eg´en´erescences d’une famille de vari´et´es ab´eliennes ou d’une famille de vari´et´es de Calabi–Yau est consid´er´e par Nicaise–Halle [131, 132]. Par ailleurs ces constructions ont des applications dans le cadre des invariants motiviques de Donaldson–Thomas (par exemple [153, 160, 190]).

• Nous concluons cette remarque par laconjecture de la monodromie. Appliquons l’image directeg_!

`

a la fonction zˆeta motiviqueZ_g(T) puis prenons sa fibre en 1. Nous obtenons une s´erie de l’anneau M^µˆ que l’on noteZ_g⁽¹⁾(T). On consid`ere une variableset on regarde l’´evaluationZ<sub>g</sub><sup>(1)</sup>(L<sup>−s</sup>) qui par le th´eor`eme de rationalit´e appartient `a l’anneau M^µˆ[1/(L^ν+sN −1)]_(ν,N)∈(N^∗₎2.

Si 1/(L^ν+sN−1) apparaˆıt dans l’´ecriture de Z_g⁽¹⁾(L^−s), apr`es toutes les compensations, alors on dit que−ν/N est unpˆole de la fonction zˆeta motivique. On peut alors ´enoncer la conjecture : Conjecture de la monodromie : si −ν/N est un pˆole alors e^2iπν/N est une valeur propre de la monodromie deg en un point x₀ de g⁻¹(0).

Par exemple, dans le cas du cuspg(x, y) =y²−x³

Z_g⁽¹⁾(T) =L²(L−1)L⁵−L³T+L³T²−T⁵ (L⁵−T⁶)(L−T) .

Les pˆoles sont−1 et−5/6 et les valeurs propres de la monodromie sont 1,e^iπ/3 ete^−iπ/3. Cette conjecture a initialement ´et´e formul´ee par Igusa dans le cas des fonctions zˆeta p-adiques d’Igusa [141], puis reformul´ee par Denef–Loeser dans le cas motivique. Cette conjecture est pour