Par analogie avec le cas r´eel, nous pr´esentons dans ce chapitre la notion defront d’ondes d’une distribution dans le cas d’un corps local non-archim´edienK.
A la section 6.1 nous rappelons les constructions d’Heifetz [134] et leurs extensions obtenues dans l’article` [68]. `A la section 6.2, nous travaillons uniform´ement en le corps K en combinant ces constructions avec les conditions de d´efinissabilit´e de la section 5.2. En particulier, en utilisant les fonctions de classe Cexp [67], nous introduisons une classe de distributions, appel´eesdistributions de classe Cexp, qui est stable sous transformation de Fourier et a diverses formes de comportements uniformes le long des corps locaux non-archim´ediens. Leur front d’ondes est le compl´ementaire du lieu des z´eros d’une fonction de classe Cexp.
Dans tout ce chapitre nous utiliserons les notations du Chapitre 5.
6.1. Analyse microlocale sur un corps local non-archim´edien
SoitK corps local non-archim´edien, muni de sa valuation ord et d’une valeur absolue associ´ee|.|, comme dans les Notations 5.1.1.0.1.
6.1.1. Distributions. Soitnun entier. Rappelons que la distance consid´er´ee surKn, induite par la valeur absolue|.|, est ultram´etrique et que par cons´equent (Remarque 5.1.2.0.3 et D´efinition 5.1.2.0.2), l’analogue surKndes fonctions de classe C∞r´eelles `a support compact ou de l’espace de SchwartzS(Rn), est l’ensemble des fonctions localement constantes `a support born´e, not´e S(Kn). Une distribution sur Kn est un ´el´ement du dual alg´ebrique deS(Kn). Plus g´en´eralement :
D´efinition 6.1.1.0.1 (Distributions sur les vari´et´es). SoitX une sous-vari´et´e C1-stricte de Kn.
— Une distribution u sur X est par d´efinition une applicationC-lin´eaire de S(X) versC.
— On note S0(X) l’ensemble des distributions sur X.
— L’espace vectorielS0(X) a une structure de C∞(X)-module induite par la loi externe d´efinie pour toute fonction de Schwartz-Bruhat φ∈C∞(X) et pour toute distributionu dans S0(X), par
φu:ϕ∈ S(X)7→ hφu,ϕi=hu, φϕi.
Exemple 6.1.1.0.2. Une fonction f :X →C, de classe C∞, d´etermine une distribution ϕ∈ S(X)7→
Z
x∈X
f(x)ϕ(x)dx.
On d´eduit ainsi une application C∞(X)→ S0(X) qui est lin´eaire injective et on notera cette distributionf.
D´efinition 6.1.1.0.3 (Repr´esentation, support et support singulier)
On dit qu’une distributionu sur une sous-vari´et´e C1-stricteX deKnestrepr´esent´ee par une fonction C∞ si il existe une fonctionf ∈C∞(X) telle que pour tout ϕ∈ S(X), on ait
< u,ϕ>=
Z
x∈X
ϕ(x)f(x)dx.
— L’ensemble des z´erosdeuest l’ensemble des pointsx∈Xtel qu’il existe un voisinage ouvert compactU dexo`u la distribution1Uuest repr´esent´ee par la fonction nulle. Lesupport deuest le compl´ementaire dansX de l’ensemble des z´eros deu et est not´e Supp(u).
— Une distribution u sur une sous-vari´et´e C1-stricte X de Kn est dite lisse en un point x de X, s’il existe un voisinage ouvert compactU dexdansX tel que la distribution1Uu soit repr´esent´ee par une fonction de classe C∞ surX. Le compl´ementaire dansXde l’ensemble des points lisses deuest appel´e support singulier et est not´e SS(u).
6.1.2. Transform´ee de Fourier et th´eor`eme de Paley-Wiener non archim´edien. On fixe pour toute la suite un caract`ere additif ψK d´efini sur K, trivial surmK et non trivial surOK.
D´efinition 6.1.2.0.1 (Transform´ee de Fourier d’une distribution)
Soit u une distribution sur Kn. La transform´ee de Fourier F(u) est la distribution sur Kn, d´efinie par dualit´e pour tout ϕ∈ S(Kn) par
<F(u),ϕ>:=< u,F(ϕ)> .
La version non-archim´edienne du th´eor`eme de Paley-Wiener ([137, Theorem 7.3.1]) est
Th´eor`eme 6.1.2.0.2 (Th´eor`eme de Paley-Wiener non-archim´edien [68, Theorem 2.5.2]) Soit u une distribution sur Kn `a support compact.
— La distributionF(u) est repr´esent´ee par la fonction Rφ appartenant `a C∞(Kn) Rφ:ξ7→ hu, φψK(.|ξ)i
o`u φ est une fonction indicatrice de boules contenant le support de u.
— De plus, siF(u) est `a support compact alors Rφ appartient `a S(Kn).
6.1.3. Fronts d’ondes d’une distribution dans le cas non-archim´edien. Le front d’ondes WF(u) d’une distributionu d´efinie surRn est une partie deRn× Rn\ {0}
qui est conique en le co-vecteur : pour tout (x, ξ)∈WF(u), pour tout r´eel positifλ, (x, λξ) appartient `a WF(u). Dans le contexte non-archim´edien, Heifetz [134] consid`ere les sous-groupes d’indice fini de K× comme l’analogue du sous-groupe multiplicatif R>0. Pour un tel sous-groupe Λ on peut alors d´efinir la notion de Λ-cˆone :
D´efinition 6.1.3.0.1 (Λ-cˆone). Soit X une sous-vari´et´e C1-stricte deKn. Une partie Γ deT∗X\ {0}est appel´ee Λ-cˆone si et seulement si pour chaqueλ∈Λ et chaque (x, ξ)∈Γ, le point (x, λξ) appartient `a Γ.
Ce point de vue a r´ecemment ´et´e utilis´e par Cluckers–Comte–Loeser [64] pour d´efinir la notion de cˆone tangent dans le contextep-adique, puis par Forey [110] dans le cadret-adique.
6.1.3.1. Fronts d’ondes d’une distribution dans le cas non-archim´edien. Soit Λ ⊂ K× un sous-groupe d’indice fini deK×. Soit ψK un caract`ere additif sur K trivial sur mK et non trivial sur OK. L’id´ee de la construction du Λ-front d’ondes d’une distribution est la suivante. Soit u une distribution sur un ouvert U ⊂Kn. Par application du th´eor`eme de Paley-Wiener (Th´eor`eme 6.1.2.0.2), u est lisse dans un voisinage d’un point x ∈ U, c’est-`a-dire x n’appartient pas au support singulier SS(u), si et seulement si il existe une fonction de Schwartz-Bruhat ϕ∈ S(U) tel queϕ(x)6= 0 et la fonction F(ϕu) est `a support born´e. En particulier, siun’est pas lisse dans un voisinage dex, il est naturel de consid´erer l’ensemble des co-directions critiquesξ pour lesquelles la fonction λ7→ F(ϕu)(λξ) n’est pas `a support born´e. Plus pr´ecis´ement :
6.1. ANALYSE MICROLOCALE SUR UN CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 113
D´efinition 6.1.3.1.1 (Lieu Λ-micro-local lisse et Λ-front d’ondes)
Soit U ⊂Kn un ouvert,uune distribution sur U et (x0, ξ0)∈U ×(Kn\ {0}).
— On dit que u est Λ-micro-localement lisse ou Λ-lisse en (x0, ξ0) si il existe des voisinages ouverts U0 de x0 etV0 de ξ0 (par exemple des boules B(x0, rx0,ξ0) etB(ξ0,rˇx0,ξ0)) tel que pour toute fonction de Schwartz-Bruhat ϕ `a support contenu dans U0, il existe un entier N (pouvant d´ependre de U0,V0 et ϕ) tel que pour toutλ∈Λ avec ordλ < N, on a pour tout ξ∈V0 l’identit´e
(6.1.3.1.1.1) F(ϕu)(λξ) = 0.
— Le compl´ementaire dansU ×(Kn\ {0}) de l’ensemble des (x0, ξ0) o`u u est Λ-lisse, est appel´e Λ-front d’ondes de u, et est not´e WFΛ(u).
Plus g´en´eralement, soitX une sous-vari´et´e C1-stricte deKn de dimension`etu une distribution deS0(X).
— Soit (x0, ξ0)∈T∗X\ {0}. On dit que u est Λ-microlocalement lisse ou Λ-lisse en (x0, ξ0) s’il existe un
Par compacit´e et par d´efinition, le front d’onde se projette sur le support singulier comme suit :
Proposition 6.1.3.1.2 (Projection sur le support singulier). Soitu une distribution d´efinie sur une vari´et´e C1-stricte X. Soit π:T∗X→X la projection canonique. On a l’´egalit´e
π(WFΛ(u)) = SS(u).
Comme dans le cas r´eel ([137, Theorem 8.1.4]), les fronts d’ondes de distributions peuvent ˆetre des ensembles coniques tr`es g´en´eraux :
Th´eor`eme 6.1.3.1.3 (Distribution `a Λ-front d’ondes prescrit [68, Theorem 2.8.9])
Soit Λ un sous-groupe d’indice fini deK×. Soitd≥1 un entier. SoitS ⊂Kd×(Kd\ {0}) une partie ferm´ee qui estΛ-conique en le second facteur. Il existe une distribution u∈ S0(Kd) telle que
WFΛ(u) =S.
D´emonstration. La preuve est l’adaptation au cas non-archim´edien de celle de [137, Theorem 8.1.4]. Soit λun ´el´ement de Λ de valuation strictement positive minimale. Soit (xk, θk)k une suite de S indic´ee par les
K est la fonction indicatrice de OdK. Cette fonction est localement int´egrable sur Kd et localement constante sur le compl´ementaire de πx(S), o`u πx est la projection sur Kd. On montre alors l’´egalit´e de WFΛ(u) =S.
Exemple 6.1.3.1.4 ({0} ×Λ comme front d’ondes). Cet exemple est construit par Heifetz [134, page 289]. On suppose que la caract´eristique r´esiduelle de K est diff´erente de deux. Soit ε0 ∈ OK× un ´el´ement d’ordreq−1, o`u q est le cardinal du corps r´esiduel deK. On consid`ere l’application
Nε0 : K(√
ε0) → K x+√
ε0y 7→ x2−ε0y2 .
On note Λ l’image de K(√
ε0)× dans K×. On consid`ere la fonction v = (1−1OK)1Λ et on d´efinit une distributionu∈S0(K) par
< u,ϕ>=< v,F−1ϕ> . Alors le Λ-front d’ondes deu est W FΛ(u) ={0} ×Λ.
6.1.4. Front d’ondes et op´erations sur les distributions.
D´efinition 6.1.4.0.1 (Topologies [68,§2.9]). SoitX une sous-vari´et´e C1-stricte de Kn.
— Topologie sur S0(X). On dit qu’une suite (uj) de distributions sur X converge au sens S0 vers une distribution u et on note uj → u, lorsque pour toute fonction de Schwartz-Bruhat ϕ sur X, la suite (< uj,ϕ>) converge vers< u,ϕ>dansC.
— Comme dans le cas r´eel [137], on introduit une topologie plus fine sur certaines parties SΓ,Λ0 (X) de S0(X). Soit Γ un Λ-cˆone ferm´e dansT∗X\ {0}. On consid`ere
SΓ,Λ0 (X) ={u∈ S0(X)|WFΛ(u)⊂Γ}.
Une suite (uj)j de SΓ,Λ0 (X) converge au sensSΓ,Λ0 vers une distribution u de S0(X) si et seulement si
• (uj)j converges versu au sens S0,
• pour tout (x0, η0) ∈T∗X\ {0} avec (x0, η0) 6∈ Γ, il existe un voisinage ouvertUx0 de x0 et un voisinage ouvertUη0 deη0, tel que pour toutϕ∈ S(Ux0), il existe un entier N ∈Ztel que
F(ϕuj)(λη) = 0
pour toutj, pour toutη ∈Uη0 et pour toutλ∈Λ avec ordλ < N.
Notations 6.1.4.0.2. Soit f :X ⊂Kn → Y ⊂Km un morphisme C1-strict de sous-vari´et´es C1-strictes.
La composition avecf fournit un morphisme de pull-back
(6.1.4.0.2.1) f∗ : C∞(Y)→C∞(X) :h7→h◦f.
Pour tout Λ-cˆone Γ de T∗Y \ {0}, on d´efinit le Λ-cˆone
f∗(Γ) ={(x, ξ)∈T∗X\ {0} | ∃(y, η)∈Γ avecf(x) =y etξ=tDf(x)η}.
De mˆeme, pour tout Λ-cˆone ∆ de T∗X\ {0}, on d´efinit le Λ-cˆone
f∗(∆) ={(y, η)∈T∗Y \ {0} | ∃(x, ξ)∈∆ avecf(x) =y etξ =tDf(x)η)}.
Enfin, on d´efinit le cˆone Λ-cˆone
Nf ={(y, η)∈T∗Y \ {0} | ∃x∈X avec f(x) =y et 0 =tDf(x)η}.
Nous concluons cette section par la pr´esentation des analogues non-archim´ediens des op´erations de pull-back, push-forward, produit tensoriel et produit, des distributions.
Th´eor`eme 6.1.4.0.3 (Pull-back de distributions [134, 68]). Soit f : X ⊂ Kn → Y ⊂ Km un morphisme C1-strict entre sous-vari´et´es C1-strictes. SoitΓunΛ-cˆone ferm´e deT∗Y\{0}tel queNf∩Γ =∅.
— Le pull-back f∗:C∞(Y)→C∞(X) a une unique extension continue f∗ :SΓ,Λ0 (Y)→ S0(X)
pour les topologies de la D´efinition 6.1.4.0.1.
— Pour toute distributionu∈ SΓ,Λ0 (Y), on a l’inclusionSupp(f∗u)⊂f−1(Suppu)et la distributionf∗(u) appartient `a Sf0∗Γ,Λ(X).
— Le morphisme f∗ induit une application continue (pour les topologies de la D´efinition 6.1.4.0.1) f∗ :SΓ,Λ0 (Y)→ Sf0∗Γ,Λ(X).
6.1. ANALYSE MICROLOCALE SUR UN CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 115 est vide et pour toute distribution u∈ S0(Y), le pull-backf∗u satisfait l’´egalit´e
WFΛ(f∗u) =f∗(WFΛ(u)).
Exemple 6.1.4.0.4 (N´ecessit´e de la topologie sur SΓ,Λ0 [68, Example 2.9.7])
Dans cet exemple, nous montrons que la topologie surSΓ,Λ0 (Y) de la D´efinition 6.1.4.0.1 est n´ecessaire pour obtenir la continuit´e def∗ dans le Th´eor`eme 6.1.4.0.3,
SupposonsY =K. Pour chaque r≥0, soit vr la distribution sur Y d´efinie pour tout ψ∈ S(Y) par vr(ψ) =
Z
K
θr(x)ϕ(x)|dx|o`uθr(x) =qr/2K 1B(0,r)(x).
La suite (vr)r converge vers la distribution nulle car pour toute fonctionϕ∈ S(K), on a
Posons X = Y =K etf :X → Y la fonction nulle. Les conditions du Th´eor`eme 6.1.4.0.3 sont satisfaites pour tout cˆone Γ disjoint de Nf ={0} ×K×. La suitewr:=f∗(vr) n’a pas de limite dans S0(K), puisque C1-strict entre sous-vari´et´es C1-strictes et soit u une distribution sur X. Supposons que la restriction def au support deu soit propre. Alors on a l’inclusion
WFΛ(f∗u)⊂f∗(WFΛ(u))∪Nf.
Th´eor`eme 6.1.4.0.6 (Produit tensoriel et fronts d’ondes). Soit X1 et X2 deux ouverts de Kn1 et Kn2. Soitu1∈ S0(X1) etu2 ∈ S0(X2) deux distributions. Il existe une unique distributionu∈ S0(X1×X2)
Th´eor`eme 6.1.4.0.7 (Produit de deux distributions et front d’ondes)
Soit X une sous-vari´et´e C1-stricte de Kn. Soit u et v des distributions dans S0(X) telles que {(x, ξ)∈T∗(X)\ {0} |(x, ξ)∈W FΛ(u),(x,−ξ)∈W FΛ(v)}=∅.
Le produit uv est d´efini comme le pull-backδ∗(u⊗v) par l’application diagonale δ:X →X×X et l’on a WF0Λ(uv) ={(x, ξ+η)|(x, ξ)∈WF0Λ(u), (x, η)∈WF0Λ(v)}.
6.2. Analyse microlocale uniforme en le corps local non-archim´edien
Nous pr´esentons dans cette section la notion de distributions de classeCexp introduite dans l’article [68].
Ces distributions sont donn´ees par une description uniforme en le corps local non-archim´edien consid´er´e et ont des propri´et´es g´eom´etriques que n’ont pas n´ecessairement des distributions arbitraires. Par exemple, bien que leur front d’ondes ne soit pas d´efinissable en g´en´eral (Exemple 6.2.1.3.1), il est n´eanmoins toujours le compl´ementaire du lieu des z´eros d’une fonction de classeCexp (Th´eor`eme 6.2.1.4.1). Cela implique des r´esultats (§6.2.2) de WF-holonomicit´e en lien avec l’article d’Aizenbud–Drinfeld [4]. La notion de distri-butions de classe Cexp est enfin stable par pull-back (Th´eor`eme 6.2.1.4.3) et par transform´ee de Fourier (Th´eor`eme 6.2.1.2.3).
6.2.1. Analyse microlocale uniforme en le corps local non-archim´edien.
6.2.1.1. B-fonction d’une distribution. Soit K un corps local non-archim´edien. Il suit de la d´efinition, que toute fonction de Schwartz-Bruhat sur Kn est combinaison lin´eaire d’indicatrices de boules de Kn. Une distribution sur Kn est donc totalement d´efinie par son image sur les fonctions indicatrices de boules. On introduit alors les notions defonctions sur les boules etB-fonction d’une distribution.
D´efinition 6.2.1.1.1 (Fonction sur les boules et B-fonction d’une distribution) Soit X une sous-vari´et´e C1-stricte deKn.
— Une fonction D0:X×Z→Cest unefonction sur les boules si la condition suivante est v´erif´ee
∀r ∈Z, ∀x, x0 ∈X, SiB(x, r)∩X =B(x0, r)∩X alors D0(x, r) = D0(x0, r).
— La B-fonction Du d’une distribution usur X est l’application Du : X×Z → C
(x, r) 7→
< u,1B(x,r)∩X > si B(x, r)∩X est compact 0 sinon.
La B-fonction Du d´etermineu et est une fonction sur les boules, parfois appel´eetransform´ee en onde-lettes continue de u.
— Une fonction D0:X×Z→Cest la B-fonction d’une distribution si et seulement si
(a) D0 est une fonction sur les boules telle que D0(B) = 0 d`es que B∩X est non compacte,
(b) pour toute boule B avec B∩X compact, pour tout recouvrement fini (Bi) de B par des boules disjointes on aP
iD0(Bi) = D0(B).
La distribution associ´ee `a D0 est not´eeuD0.
6.2. ANALYSE MICROLOCALE UNIFORME EN LE CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 117
6.2.1.2. Distributions de classe Cexp. Dans tout ce qui suit, nous utiliserons les notations, d´efinitions et r´esultats de la section 5.2.
Proposition-D´efinition 6.2.1.2.1 (Distributions de classe Cexp [68,§3.3])
Soit Y et X ⊂ Y ×VFn des ensembles d´efinissables, n ∈ N et E ∈ Cexp(X ×Z). La collection (Dis(E, Y))F∈Loc0, d´efinie par
Dis(E, Y)F :=
y∈YF XF,y est une sous-vari´et´e C1-stricte de Fn
EF(y,·) :XF,y×Z→Cest la B-fonction d’une distribution
est unCexp-locus. Dans le cas non vide, ceci induit la d´efinition d’une distribution de classe Cexp :
— Il existe M >1 tel que pour tout F ∈ Loc0M ety ∈ Dis(E, Y)F, la fonction EF(y,·) est la B-fonction d’une distribution uF,y surXF,y.
— La collection (uF,y), pourF ∈Loc0M ety ∈Dis(E, Y)F, est une distribution de classe Cexp.
— L’´evaluation de la distribution (uF,y) sur une famille ϕ ∈ Cexp(X) de fonctions de Schwartz-Bruhat (Proposition 5.2.4.0.3) est une fonction de classe Cexp sur Y : il existe un entier Mϕ et une fonction J ∈Cexp(Y) tel que pour toutF ∈LocMϕ ety ∈Dis(E, Y)F tel queϕF(y, .)∈S(XF,y), on ait
JF(y) =< uF,y,ϕF(y,·)> . Remarque 6.2.1.2.2. Quelques remarques :
— Supposons queY soit le point. En ce cas, une distribution u sur X est de classe Cexp si et seulement si saB-fonction Du est une fonction de classeCexp.
— La classe des Cexp-distributions est stable par transform´ee de Fourier (Th´eor`eme 6.2.1.2.3), pull-back (Th´eor`eme 6.2.1.4.3) et push-forward (Th´eor`eme 6.2.1.4.4).
La notion de distribution de classeCexp est stable sous la transform´ee de Fourier.
Th´eor`eme 6.2.1.2.3 (Transform´ee de Fourier de distribution de classe Cexp [68, Theorem 3.3.5]) La transform´ee de Fourier d’une distribution de classe-Cexp sur VFn est de classe Cexp :
Soit n≥0, Y un ensemble d´efinissable, E ∈ Cexp(Y ×VFn×Z) et (uF,y) la Cexp-distribution induite par E. Il existe alors, M >0 etG∈Cexp(Y ×VFn×Z) tel que
GF(y, .) est la B-fonction de la transform´ee de FourierF(uϕ,y) pour tout F = (F , $, ψ)∈Loc0M et tout y∈Dis(E, Y)F.
Par cons´equent, la collection(F(uF,y)) est une Cexp-distribution et on note F/Y(E) la fonction G.
6.2.1.3. Lieu lisse d’une distribution de classe-Cexp. Le lieu lisse d’une distribution de classe Cexp n’est pas toujours un ensemble d´efinissable.
Exemple 6.2.1.3.1 (Distribution de classe Cexp a lieu lisse non d´efinissable)
Soit G∈Cexp(VFn). On suppose qu’il existe un entierM > 0 tel que pour tout corpsF ∈Loc0M, la fonction GF est localement int´egrable et peut donc ˆetre consid´er´ee comme une distribution surFn. SoitYF le lieu o`u GF est localement constante. Notons qu’en g´en´eral la collection YF pourF ∈Loc0M n’est pas un ensemble d´efinissable. On peut par exemple consid´erer
GF(x, y, z) = (qordF x−ordy) ordz avec GF(0,0,0) = 0.
N´eanmoins le lieu lisse de GF est pr´ecis´ement YF.
Th´eor`eme 6.2.1.3.2 (Lissit´e en dehors d’un ferm´e de Zariski [68, Theorem 4.1.2])
Une distribution de classe Cexp est lisse en dehors d’un ferm´e de Zariski de codimension ≥1 : Soitm≥0, Y et X⊂Y ×VFm des ensembles d´efinissables, tel que pour tout F, pour tout y∈YF, XF,y
est une vari´et´e C1-stricte de dimensionn avec n≤m. Soit E ∈Cexp(X×Z).
— Il existe G∈Cexp(X) et un ensemble d´efinissableC ⊂Y ×VFm tel que pour tout F ∈Loc01 et pour ZariskiC de AmZ tel que l’on puisse prendre pour CF,y l’ensemble C(F), ind´ependamment de y.
Dans un travail r´ecent Aizenbud–Cluckers [3] d´emontrent la r´eciproque de ce r´esultat :
Th´eor`eme 6.2.1.3.3 (Distributions de classe Cexp a lieu lisse prescrit [3, Theorem 8.5]) Soit n≥0, Y etX ⊂Y ×VFn des ensembles d´efinissables. Soit g∈Cexp(X).
On suppose qu’il existe M > 0 tel que pour tout F ∈ Loc0M et y ∈ YF, XF,y est une vari´et´e analytique lisse deFn et le lieu des z´eros de gF,y est un ouvert dense deXF,y.
En ce cas, il existeM0> M et une distribution u de classe Cexp sur X (relativement `a Y) telle que pour tout F ∈Loc0M0 et pour tout y∈YF, le lieu des z´eros de gF,y est le lieu lisse de uF,y.
6.2.1.4. Fronts d’ondes de distributions de classe-Cexp. Le r´esultat suivant est l’un des r´esultats principaux de [68] : le lieu microlocal lisse d’une distribution de classeCexp est unCexp-locus, et ainsi son front d’ondes est le compl´ementaire du lieu des z´eros d’une fonction de classe-Cexp.
Th´eor`eme 6.2.1.4.1 (Locus de lissit´e microlocale et locus d’annulation)
Soit n≥0, Y, X⊂Y ×VFn et Λ⊂VF des ensembles d´efinissables. Soit E ∈Cexp(X×Z).
ΛF est un sous-groupe ouvert d’indice fini dans F× et
la distribution associ´ee `a EF,y est ΛF-microlocal lisse en(x, ξ)
M (pour M assez grand) est le compl´ementaire d’un Cexp-locus.
Remarque 6.2.1.4.2. Nous avons vu, que le lieu lisse d’une distribution de classe Cexp (`a un ferm´e de Zariski de codimension au moins un pr`es) est ´equivalent `a la donn´ee du lieu des z´eros d’une fonction de classeCexp. Peut-on ´etendre cette ´equivalence dans le cas du lieu microlocal lisse et obtenir une r´eciproque au Th´eor`eme 6.2.1.4.1 ?
La notion de distribution de classeCexp est stable par pull-back et push-forward.
Th´eor`eme 6.2.1.4.3 (Pull-back de distributions de classe-Cexp). Soit n1 et n2 deux entiers. Soit Λ ⊂ VF, Y, X1 ⊂ Y ×VFn1 et X2 ⊂ Y ×VFn2 des ensembles d´efinissables. Soit E ∈ Cexp(X2 ×Z) et
6.2. ANALYSE MICROLOCALE UNIFORME EN LE CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 119
— La collection(fF,y∗ (uEF,y))est une distribution de classe Cexp : il existeM >0 et il existe une fonction f∗(E)∈Cexp(X1×Z) tel que pour toutF ∈Loc0M, (f∗(E))F,y soit la B-fonction de fF,y∗ (uEF,y)d`es que y appartient `a Pull(Λ, f,E, Y)F, et o`uuEF,y est la distribution associ´ee `a EF(y,·).
Th´eor`eme 6.2.1.4.4 (Push-forward de distributions de classe Cexp)
Soit n1 et n2 deux entiers. Soit Λ ⊂ VF, Y, X1 ⊂ Y ×VFn1 et X2 ⊂ Y ×VFn2 des ensembles
— La collection(fF,y,∗(uEF,y))est une distribution de classeCexp : il existeM >0et il existe une fonction f∗(E)∈Cexp(X2×Z) tel que pour toutF ∈Loc0M, (f∗(E))F,y est laB-fonction de fF,y,∗(uEF,y)d`es que y appartient `a Prop(f,E, Y)F, et o`u uEF,y est la distribution associ´ee `a EF(y,·).
6.2.2. WF-holonomicit´e. Dans cette section nous pr´esentons la notion de WF-holonomicit´e alg´ebrique introduite par Aizenbud–Drinfeld [4] et nous l’adaptons au cas d’un corps local non-archim´edien F de caract´eristique arbitraire.
Notation 6.2.2.0.1 (Dimension). SoitF ∈Loc. Une partie ferm´ee de ZariskiC deAmF est de dimension
−∞si elle est vide, et a pour dimension i(avec i≥0) quand l’une de ses composantes irr´eductibles est de dimensioniet toutes les autres composantes irr´eductibles sont de dimension ≤i.
La notion d’holonomicit´e pour une distribution dans le cas d’un corps local non-archim´edien a ´et´e intro-duite par Aizenbud–Drinfeld [4] et a ´et´e ´etudi´ee et ´etendue dans les articles [68] et [3].
D´efinition 6.2.2.0.2 (Holonomicit´e [4,§3.2, 3.2.1 et 3.2.2], [68,§4], [3,§2.1, §2.4]) Soit F ∈Loc0,X⊂Fm une sous-vari´et´e analytique lisse etu une distribution sur X.
— On dit que uest analytiquementWF-holonome si il existe un nombre fini de sous-vari´et´es analytiques lissesVi de X, tel que l’on ait l’inclusion
WFF×(u) ⊂ [
i
CNXVi o`u pour tout i, CNXVi est le fibr´e co-normal de Vi⊂X.
— On dit queu estalg´ebriquementWF-holonome s’il existe une vari´et´e alg´ebrique lisseX deAmF tel que X=X(F) et un nombre fini de sous-vari´et´es alg´ebriques lissesVi de X telle que l’on ait l’inclusion
WFF×(u) ⊂ [
i
CNXVi(F).
— On dit queu estC1-stricte WF-holonome, siX et les Vi ci-dessus sont des sous-vari´et´es C1-strictes.
Plus g´en´eralement supposons que X soit une vari´et´e analytique lisse et d´efinissable. Une distributionu de classeCexpsurXest WF-holonomes’il existe une famille finie de sous-vari´et´es analytiques lisses d´efinissables Vi de X et un entier M >0, tel que pour tout F ∈Loc0M
— Une vari´et´e analytique lisse est C1-stricte. Par cons´equent une distribution analytiquement WF-holonome est C1-stricte WF-holonome.
— Dans l’article [3], Aizenbud–Cluckers ´etendent la d´efinition de WF-holonomicit´e alg´ebrique : u estalg´ebriquement WF-holonome si u est analytiquement WF-holonome et l’on a de plus
dimX= dimXZar et pour touti, dimVi = dimVi Zar.
Il n’y aucune condition de lissit´e sur les vari´et´es alg´ebriquesXZaretViZar. Dans le cas o`uXZar est lisse et le corpsF est de caract´eristique z´ero, les d´efinitions co¨ıncident.
Nous obtenons les r´esultats d’uniformit´e suivants.
Proposition 6.2.2.0.4 (Holonomicit´e : locus et transfert [68, Proposition 4.3.1])
Soit n≥0. SoitY et X⊂Y ×VFn des ensembles d´efinissables. Soit E ∈Cexp(X×Z). On consid`ere laCexp-distribution(uF,y) associ´ee `a E. En ce cas :
— La collection (Hol(E, Y)F)F∈Loc0) d´efinie par
Hol(E, Y)F :={y∈YF |y∈Dis(E, Y)F et uF,y est C1-stricte WF-holonome}
est un Cexp-locus.
— Il existe un ensemble d´efinissable V et un nombre fini d’ensembles d´efinissables Vi tel que pour tout F ∈Loc01 et pour tout y∈Dis(E, Y)F avec XF,yZar lisse :
• VF,y et chaque Vi,F,y sont respectivement l’ensemble des F-points rationnels d’une sous-vari´et´e alg´ebrique lisse localement ferm´ee de AnF,
• dimVF,y = dimXF,y, VF,y contient `a la foisXF,y et les Vi,F,y,
• uF,y est C1-stricte WF-holonome si et seulement si WFF×(uF,y)⊂[
i
CNVVF,y
i,F,y.
Ainsi, pour tout F ∈Loc01 et tout y∈Dis(E, Y)F avec XF,y
Zar lisse, la distribution uF,y sur XF,y est C1-stricte WF-holonome si et seulement si elle peut ˆetre ´etendue alg´ebriquement en une distribution alg´ebriquement WF-holonome.
— Propri´et´e de transfert : il existe un entierM tel que pour toutF1, F2 ∈LocM avec des corps r´esiduels isomorphes, on a
YF1 = Hol(E, Y)F1,ψ pour tout ψ dansDF1 si et seulement si
YF2 = Hol(E, Y)F2,ψ pour tout ψ dansDF2.
Dans un travail r´ecent Aizenbud–Cluckers [3] d´emontrent que les distributions de classe Cexp sont WF-holonomes. Plus pr´ecis´ement :
Th´eor`eme 6.2.2.0.5 (Holonomicit´e des distributions de classe Cexp [3, Theorem 8.2])
Soit n un entier. Soit Y et X ⊂ Y ×VFn des ensembles d´efinissables. On suppose qu’il existe un entier M, tel que pour tout F ∈Loc0M, pour tout y∈YF, XF,y est une vari´et´e analytique lisse. Soit (uF,y) une distribution de classeCexp sur X, relativement `a Y.
En ce cas, il existe un nombre fini d’ensembles d´efinissablesVi ⊂X et un entier M0 > M, tel que pour tout F ∈LocM0 et pour tout y∈YF :
— pour touti, Vi,F,y est une sous-vari´et´e analytique lisse de XF,y,
6.3. PESPECTIVES DE RECHERCHE 121
— leF×-front d’ondes de la distribution uF,y sur XF,y satisfait
— leF×-front d’ondes de la distribution uF,y sur XF,y satisfait