Dans ce chapitre nous pr´esentons l’approche des fronts d’ondes de distributions d´efinissables d´evelopp´ee dans l’article [216] dans le cadre du corps non-archim´edien k((t)) o`u k est un corps de caract´eristique z´ero. Dans cette approche nous utilisons la th´eorie de l’int´egration motivique des fonctions constructibles (exponentielles) de Cluckers–Loeser [73, 74]. Dans ce contexte les boules pour la topologiet-adique ne sont en g´en´eral pas compactes mais la d´efinissabilit´e des objets permet d’obtenir des propri´et´es de finitude ou de compacit´e. Nous d´efinissons la notion de distribution d´efinissable puis les notions de support singulier et de Λ-front d’ondes (relativement `a un sous-groupe Λ du groupe multiplicatif k((t))×) et nous ´etudions les propri´et´es de ces objets sous les op´erations naturelles de pull-back, produit tensoriel et produit.
7.1. Distributions d´efinissables
Notation 7.1.0.0.1. Soit m ∈ N et V = h[m,0,0]. Par la suite, la notation Vx signifiera V en utilisant les variables x. Nous utiliserons aussi la notation Vx,y, pour le produit Vx ×Vy, dont les ´el´ements sont not´es (x, y). Nous ´etendrons cette notation aux produits cart´esiens. Pour tout ensemble d´efinissable P, la projection canoniqueP ×V →P est not´eeπPP×V ou simplement πP, quand le contexte est clair.
Remarque 7.1.0.0.2. Nous utiliserons l’int´egration motivique relative `a un espace de param`etres (§5.3.4.6 et Notations 5.3.5.0.1). En particulier pour tout d´efinissableW ∈Defk nous avons l’´egalit´e
C(W)exp =C(W/Id)exp.
Nous introduisons dans cette section une notion de distributions d´efinissables. Dans le contexte de ACVF(0,0), Hrushovski et Kazhdan ont introduit une notion de distributions d´efinissables [139,§11], voir aussi l’article de Yin [254,§5].
D´efinition 7.1.0.0.3 (Distributions d´efinissables). Soit P ∈ Defk un ensemble d´efinissable. Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] pour m > 0. Une distribution d´efinissable u sur V `a param`etres relatifs `a P, sera une familleu= (uΦW)ΦW∈DefP o`u pour tout ΦW ∈DefP,uΦW est une applicationC(W)exp-lin´eaire
uΦW : SW(W ×V) −→ C(W)exp
ϕ 7→ < uΦW,ϕ>:=uΦW(ϕ)
telle que pour tout ΦW et ΦW0 dans DefP, pour tout morphisme d´efinissableg:W →W0avec ΦW =g◦ΦW0, les conditions de compatibilit´es sont satisfaites :
1. Condition de pull-back : pour toutϕ∈ SW0(W0×V), on a l’identit´e g∗ < uΦW0,ϕ>=< uΦW,(g×IdV)∗ϕ>∈ C(W)exp. Notons que par le Lemme 5.3.5.2.4, (g×IdV)∗ϕappartient `a SW(W ×V).
2. Condition de push-forward : pour tout ϕ∈ SW(W ×V) qui est (g×IdV)-compatible, on a (a) < uΦW,ϕ>est g-int´egrable,
(b) g!< uΦW,ϕ>=< uΦW0,(g×IdV)!ϕ>∈ C(W0)exp.
Remarquons que par le Lemme 5.3.5.2.6 (g×IdV)!ϕ appartient `a SW0(W0×V).
L’ensemble des distributions d´efinissables surV, `a param`etres relatifs `aP, sera not´eSP0 (V) et a une struc-ture deC(P)exp-module : pour tout l∈ C(P)exp, pour toute distribution d´efinissable u = (uΦW)ΦW∈DefP, on d´efinit une distributionl·u, avec pour tout ΦW ∈DefP
(l·u)ΦW = (Φ∗W(l)uΦW) :ϕ7→< uΦW,Φ∗W(l)ϕ>
Remarque 7.1.0.0.4. SiP est le point alors nous ´ecrirons simplementu= (uW)W∈Defk et noteronsS0(V) l’ensemble des distributions.
Remarque 7.1.0.0.5. Cette d´efinition de distribution est donn´ee pour une famille relativement `a un espace de param`etresP, avec les relations de compatibilit´es pour les foncteurs pull-back et push-forward. Ce point de vue offre plus de flexibilit´e dans l’utilisation des distributions, il est par exemple bien adapt´e aux fonctions constructibles exponentielles et `a l’int´egration motivique de Cluckers-Loeser d´efinie de mani`ere fonctorielle.
Dans certain cas (Exemples 7.1.0.0.7, 7.1.0.0.8, 7.2.5.0.7 ou 7.2.5.0.8) il est suffisant de consid´erer une forme lin´eaireSP(P×V)→C(P)exp pour d´efinir une distribution.
Notations 7.1.0.0.6. En utilisant les Notations 7.1.0.0.1, pour tout morphisme d´efinissable ΦW dans DefP, pour tout ensemble d´efinissableV, on note
uΦW×V :=uπP×V
P ◦(ΦW×IdV), uP×V :=uπP×V
P et uP :=uIdP.
Exemple 7.1.0.0.7(Fonctions localement int´egrables). Soitm >0 un entier,V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] et P ∈ Defk un ensemble d´efinissable. Soit X un sous-assignement ouvert de V. Une fonction localement P-int´egrable sur P ×X est une fonction constructible u ∈ C(P ×X)exp telle que pour toute fonction d´efinissable α :P → Z, la fonction 1Bαu appartient `a IP(P×X)exp. La fonction constructible u induit une distribution de la mani`ere suivante :
— Pour toute fonction de Schwartz-Bruhatϕ∈ SP(P×V), le produitϕu appartient `aIP(P×V)exp.
— Pour toute application d´efinissable ΦW :W →P et la projection πW :W ×X →W, on note uΦW le pull-back (ΦW ×IdX)∗u. Cette fonction induit une application C(W)exp-lin´eaire
(7.1.0.0.7.1) < uΦW,ϕ >=πW!(((ΦW ×IdX)∗u)·ϕ)∈C(W)exp c’est-`a-dire, en notations int´egrales :
< uΦW,ϕ>:w∈W 7→
Z
X
u(ΦW(w), x)ϕ(w, x)dx.
Exemple 7.1.0.0.8 (Mesures de Dirac). Soit P une partie d´efinissable, m un entier positif et X un ouvert d´efinissable de h[m,0,0]. On fixe un point x0 ∈ X et on consid`ere (IdW ×ix0)∗ le morphisme de restriction deC(W ×X)exp `aC(W× {x0})exp. Pour tout ΦW ∈DefP, on d´efinit la formeC(W)exp-lin´eaire
δx0,ΦW :ϕ7→< δx0,ΦW,ϕ>= (IdW ×ix0)∗(ϕ).
On observe que la famille (δx0,ΦW) est une distribution (relative au point rationnel {x0}).
7.1. DISTRIBUTIONS D ´EFINISSABLES 125
7.1.1. Distributions d´efinissables et formule de la moyenne.
Remarque 7.1.1.0.1 (Formule de la moyenne p-adique). Soit u ∈ S0(Qp) et ϕ une fonction de Schwartz-Bruhat sur Qp avec un support contenu dans Zp et constante sur les boules de rayon sup´erieur `a un entierr fix´e. Soit l≥r. Comme toutes les boules de rayon valuatif l+ 1 sont disjointes, on peut ´ecrire
ϕ= X
Cette situation est similaire dans le cas motivique.
Notation 7.1.1.0.2. SoitP ∈Defk un ensemble d´efinissable. SoitV l’ensemble d´efinissableh[m,0,0] avec m >0. Soit ΦW un morphisme d´efinissable dans DefP. Pour toutes fonctions d´efinissables α− etα+ de W dansZ, satisfaisant α+≥α− nous consid´erons
tα−,α+ : (w, z, x)7→1B
α−(w)(x)1B
α+(w)(x−z)∈ SW×Vz(W ×Vz,x).
Proposition 7.1.1.0.3 (Formule de la moyenne motivique). SoitP ∈Defk un ensemble d´efinissable.
Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] avec m > 0. Soit u ∈ SP0 (V) une distribution d´efinissable. Soit ΦW ∈DefP un d´efinissable. Soitϕ∈ SW(W ×Vz) une fonction de Schwartz-Bruhat. Pour toutes fonctions
Remarque 7.1.1.0.4. Par la formule de la moyenne motivique, le th´eor`eme d’extension suivant montre qu’il est suffisant de d´efinir une distribution d´efinissable (uΦW) ∈ SP0 (X) uniquement sur les fonctions de Schwartz-Bruhat du typetα−,α+ avec des relations de compatibilit´e convenables.
Th´eor`eme 7.1.1.0.5 (Th´eor`eme d’extension). Soit P ∈ Defk un ensemble d´efinissable. Soit V l’en-semble d´efinissable h[m,0,0] avec m > 0. Pour tout ΦW ∈DefP d´efinissable, on consid`ere une application C(W×Vz)exp-lin´eaireuΦW×Vz, d´efinie sur leC(W ×Vz)exp-sous-module deSW×Vz(W×Vz,x) engendr´e par les fonctions constructibles exponentielles tα−,α+ et `a valeurs dans C(W ×Vz)exp.
On suppose les conditions suivantes :
— Condition d’int´egrabilit´e. Pour tout tα−,α+, la fonction constructible < uΦW×Vz, tα−,α+ > est W -int´egrable.
— Condition de pull-back. Pour tout ensemble d´efinissable ΦW et ΦW0 de DefP, pour tout morphisme d´efinissable g:W →W0 de DefP tel queΦW =g◦ΦW0, pour toutes fonctions d´efinissables α− et α+ de W vers Z, satisfaisant α+≥α− nous avons
(7.1.1.0.5.1) (g×IdVz)∗(< uΦ
W0×Vz, tα−,α+ >) =< uΦW×Vz,(g×IdVz×Vx)∗(tα−,α+)>∈ C(W ×Vz)exp.
— Condition de push-forward. Soit ΦW : W → P un morphisme d´efinissable. Pour toutes fonctions d´efinissables β+, β−, α+, α− de W vers Z avec β+≥α+≥α−≥β−, on a les relations
Avec ces hypoth`eses, cette famille s’´etend de mani`ere unique en une distribution d´efinissable(uΦW)∈ SP0 (V), en utilisant la formule de la moyenne motivique : pour tout ΦW ∈DefP et ϕ∈ SW(W ×V)
(7.1.1.0.5.3) < uΦW,ϕ>:=Lα
+(ϕ)mπW! ϕ< uΦW×Vz, tα−(ϕ),α+(ϕ) >
∈C(W)exp. 7.1.2. Transform´ee de Fourier des distributions d´efinissables.
D´efinition 7.1.2.0.1 (Transform´ee de Fourier d’une distribution d´efinissable)
SoitP ∈Defkun ensemble d´efinissable. SoitV l’ensemble d´efinissableh[m,0,0] pour un entier positif m. Soit (uΦW) ∈ SP0 (Vξ) une distribution d´efinissable. On d´efinit F(u) ∈ SP0 (Vx) comme la distribution d´efinissable (F(uΦW)) o`u pour tout d´efinissable ΦW ∈DefP,
∀ϕ∈ SW(W ×V), <FuΦW,ϕ >:=< uΦW,Fϕ>∈C(W)exp.
Proposition 7.1.2.0.2 (La transform´ee de Fourier est un isomorphisme sur SP0 (V))
Soit P ∈ Defk un ensemble d´efinissable. Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] pour un entier po-sitif m. La transform´ee de Fourier est un isomorphisme sur SP0 (V) d’inverse d´efini pour toute distribution d´efinissable u∈ SP0 (V) par : pour tout d´efinissableΦW ∈DefP,
∀ϕ∈ SW(W ×V), <F−1uΦW,ϕ>:=< uΦW,LmFϕˇ > . o`u ϕˇ est (w, x)7→ϕ(w,−x).
7.2. Fronts d’ondes motiviques de distributions d´efinissables
Dans cette section, par analogie avec la construction r´eelle d’H¨ormander [136, 137] ou celle d’Heifetz dans le contexte p-adique [134], nous d´efinissons la notion de support singulier et de front d’ondes d’une distribution dans le contextet-adique. On consid`ere maintenant le cas des distributions deS0(V).
7.2.1. Notations. Soit V l’ensemble d´efinissableh[m,0,0] pour un entier positifm.
Soit T∗V \ {0} l’espace cotangent V ×(V \ {0}) de V sans sa section nulle. On note (x, ξ) les ´el´ements de T∗V. Pour un entier positif n, nous consid´erons le sous-groupe d´efinissable Λn de (h[1,0,0]\ {0},×) de la D´efinition 5.3.5.3.1 et l’ensemble d´efinissable ferm´e et born´e de Vξ
Bn:=B0\Bn ={ξ ∈V |0≤ordξ ≤n−1}
avec ordξ = min{ordξi | 1 ≤ i ≤ m}. Suivant le contexte nous noterons B(m)n pour Bn pour pr´eciser la dimension.
7.2.2. Th´eor`eme de Paley-Wiener motivique. Le th´eor`eme suivant est l’analogue motivique du th´eor`eme de Paley-Wiener usuel en analyse r´eelle ([137, Theorem 7.3.1]) etp-adique (Th´eor`eme 6.1.2.0.2).
Th´eor`eme 7.2.2.0.1 (Th´eor`eme de Paley-Wiener motivique, [216] Theorem 5.24)
Soit P ∈ Defk un ensemble d´efinissable. Soit Vx et Vξ l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] avec m un entier positif. Soit u∈ SP0 (Vx) une distribution d´efinissable. Pour tout ϕ∈ SP(P ×Vx), la fonction
ϕE(· | ·) : (p, x, ξ)7→ϕ(p, x)E(x|ξ)
est une fonction de Schwartz-Bruhat de SP×Vξ(P ×Vξ×X) (Exemple 5.3.5.2.2). On consid`ere la fonction constructible
uϕ =< uP×Vξ,ϕE(· | ·)>∈C(P×Vξ)exp. S’il existe une fonction d´efinissable α−(uϕ) :P →Z telle queuϕ =uϕ1B
α−(uϕ), alors la fonction construc-tible exponentielle uϕ est une fonction de Schwartz-Bruhat in SP(P × Vξ) et en tant que distribution d´efinissable
F−1uϕ= (L−mϕ)u.
7.2. FRONTS D’ONDES MOTIVIQUES DE DISTRIBUTIONS D ´EFINISSABLES 127
7.2.3. Support singulier d’une distribution d´efinissable.
D´efinition 7.2.3.0.1 (Point lisse et support singulier). Soit V l’ensemble d´efinissableh[m,0,0] pour un entier positifm. Une distribution d´efinissableu∈ S0(V) est ditelisse en un pointx0∈V si et seulement si il existe un entierrx0 ∈Zet une fonction de Schwartz-Bruhat ψ∈S(V), telle que l’on ait l’´egalit´e
(7.2.3.0.1.1) 1B(x0,rx
0)u= 1B(x0,rx
0)ψ∈ S0(V)
Le compl´ementaire dans V de l’ensemble des points lisses est appel´e support singulier de u, not´e SS(u).
Remarque 7.2.3.0.2. La condition de lissit´e est ouverte, donc le support singulier de u est une partie ferm´ee de V. Le lieu lisse et le support singulier ne sont pas d´efinis par une condition de la logique du premier ordre et ne sont `a priori pas d´efinissables.
7.2.4. Donn´ees microlocales lisses d’une distribution d´efinissable.
Remarque 7.2.4.0.1. La d´efinition d’Heifetz [134] du front d’ondes d’une distributionp-adique (D´efinition 6.1.3.1.1) implique deux probl`emes dans le cadre k((t)).
1. Cette d´efinition est de nature locale et non globale, et les arguments de globalisation n´ecessitent la compacit´e des sph`eres p-adiques.
2. De plus, les fonctions rayons induites r et ˇr en (x0, ξ0) ne sont `a priori pas d´efinissables car l’´enonc´e microlocal n’est pas du premier ordre.
Comme solutions `a ces probl`emes, nous introduisons la notion suivante.
D´efinition 7.2.4.0.2 (Donn´ees d´efinissables motiviques microlocalement lisses)
Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] avec m un entier positif. On supposeZ muni de la topologie discr`ete. Soitu ∈ S0(V) une distribution d´efinissable. Une donn´ee d´efinissable Λn-microlocalement lisse de u est un quadruplet (A, r,r, Nˇ ) o`u
1. Aest une partie d´efinissable de Vx×Bn, appel´eesupport de la donn´ee,
2. r:A →Zet ˇr :A →Zsont deux applications continues et d´efinissables, tel que pour tout (x0, ξ0)∈ A, on ait l’inclusion
(7.2.4.0.2.1) B(x0, r(x0, ξ0))×B(ξ0,ˇr(x0, ξ0))⊂ A et les in´egalit´es ˇr(−, ξ0)≥n≥ordξ0+ 1.
3. N :B →Z est une application continue et d´efinissable avec B={ (x0, ξ0), x0, r0
∈ A ×Vx0 ×Z|B(x0, r0)⊂B(x0, r(x0, ξ0))}
tel que l’on ait l’´egalit´e des fonctions constructibles exponentielles dans C(Λn×D)exp (< uΛn×D,T>1E) 1BN =< uΛn×D,T>1E
o`u
E =
(x0, ξ0), x0, r0, ξ
∈ A ×Vx0 ×Z×Vξ B(x0, r0)⊂B(x0, r(x0, ξ0)), ξ∈B(ξ0,r(xˇ 0, ξ0)) D=Vx0 ×Vξ0 ×Vx0×Z×Vξ
T∈ SΛn×D(Λn×D×V) est la fonction de Schwartz-Bruhat d´efinie par T(λ, x0, ξ0, x0, r0, ξ
, x) = 1B(x0,r0)(x)E(x|λξ) et
BN ={(λ, (x0, ξ0), x0, r0
, ξ)∈Λn× B ×Vξ|ordλ≥N((x0, ξ0), x0, r0)}.
7.2.5. Fronts d’ondes motiviques.
D´efinition 7.2.5.0.1 (Points Λn-motiviques microlocalement lisses)
Soit u∈ S0(V) une distribution d´efinissable o`uV =h[m,0,0], avec m un entier positif. points Λn-motiviques microlocalement lisses de u.
Remarque 7.2.5.0.2. Un point (x0, ξ0)∈V ×Bn qui appartient `a l’ensemble d´efinissableAd’une donn´ee
D´efinition 7.2.5.0.3 (Λn-front d’ondes motivique). Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] avec m un entier positif. Soit u ∈ S0(V) une distribution d´efinissable. Le Λn-front d’ondes motivique de u, not´e WFΛn(u), est le compl´ementaire dans T∗V \ {0}, de l’ensemble des points Λn-motiviques microlocalement lisses deu.
Remarque 7.2.5.0.4. Quelques remarques :
— Par d´efinition, l’ensemble des points Λn-motiviques microlocalement lisses deu et le Λn-front d’ondes motivique deu sont des Λn-cˆones, dans la suite, il suffira donc de consid´erer le covecteurξ dansBn. Il suit de la Remarque 7.2.5.0.2 que
(7.2.5.0.4.1) WFΛn(u)∩(V ×Bn) = \
A∈A
Ac,
o`uA est l’ensemble des supports sous-jacentsAdes donn´ees d´efinissables Λn-microlocales lisses, etAc leur compl´ementaire dans V ×Bn.
7.2. FRONTS D’ONDES MOTIVIQUES DE DISTRIBUTIONS D ´EFINISSABLES 129
— Il serait int´eressant d’´etudier le comportement du front d’ondes motiviques en fonction du sous-groupe Λn. Comme dans le contexte p-adique ([134, Theorem 2.4]), on remarque par exemple que sin divise n0 alors Λn0 est un sous-groupe ouvert de Λn d’indice fini et on a l’´egalit´e
On pourra se r´ef´erer aux articles [64] et [110] pour la d´ependance en le sous-groupe Λ des objets associ´es au Λ-cˆones en g´eom´etrie non-archim´edienne. Dans l’exemple 7.2.5.0.8 nous donnons un exemple de distribution dont le front d’ondes d´epend de Λn.
Exemple 7.2.5.0.5 (Le cas d’une fonction de Schwartz-Bruhat). Soit V l’ensemble d´efinissable h[m,0,0] avec m > 0. On consid`ere u ∈ S(V) une fonction de Schwartz-Bruhat. Par l’Exemple 7.1.0.0.7, cette fonction constructible exponentielle induit une distribution d´efinissable de front d’ondes vide [216, Example 6.15]. En effet, le quadruplet (A, r,r, Nˇ ) est une donn´ee d´efinissable Λn-microlocalement lisse o`u Aest le produit V ×Bn, etr, ˇr etN sont des fonctions d´efinissables d´efinies par
Exemple 7.2.5.0.6(Front d’ondes d’une mesure de Dirac). Le front d’ondes motivique de la mesure de Dirac (Exemple 7.1.0.0.8), en un pointx0 de h[m,0,0], est
WFΛ(δx0) ={x0} ×(V \ {0}).
Exemple 7.2.5.0.7 (Front d’ondes d’une distribution d´efinie par une sous-vari´et´e lisse)
Supposons que le corps de base soit k = Q, et consid´erons n ≥ 1. Soit d ≥ 2 un entier. Soit Vx
l’ensemble d´efinissableh[d−1,0,0] etVy l’ensemble d´efinissableh[1,0,0]. Soitgune application polynomiale surVx etX le graphe de g dansVx×Vy. On consid`ere une distribution d´efinissable u∈ S0(V) d´efinie pour
Comme g est `a coefficients rationnels, on peut consid´erer les versions p-adiques de cette distribution. Par une preuve analogue au cas r´eel [137, Example 8.2.5], le Λn-front d’ondesp-adique est l’espace co-normal `a la vari´et´eXp. On montre que le r´esultat est le mˆeme dans le cadre motivique. Le front d’ondes Λn-motivique de u est ´egal au fibr´e conormal de X. En effet, la distribution d´efinissable s’annule sur toute fonction de Schwartz-Bruhat `a support dans (Vx×Vy)\X, donc son support singulier est contenu dansX. Soit (x0, g(x0)) un point sur X. Soit r un entier. On consid`ere un co-vecteur non nul (ξ, η) et l’int´egrale
< u,1B(x
0,g(x0)),rE(· |λ(ξ, η))>=
Z
Br
E(λ(((x+x0)|ξ) +g(x+x0)η))dx.
Par application du d´eveloppement de Taylor nous avons
E(λ(x|ξ+g(x)η)) =E(λ(x0 |ξ+g(x0)η))E(λ((ξ+ ηtdg(x0))|x))E(ληRg(x0, x)x|x).
La fonctionx7→ordRg(x0, x) admet un minimum NR sur la bouleBr.
— Si (ξ, η) est non colin´eaire `a (−tdg(x0),1) alors par la formule de la phase stationnaire motivique (Proposition 5.3.5.3.3), la fonction constructible λ 7→< u,1B(x
0,g(x0)),rE(· | λ(ξ, η)) > est `a support born´e et le point ((x0, g(x0)),(ξ, η)) est microlocalement lisse.
— Si (ξ, η) est colin´eaire `a (−tdg(x0),1) alors par le th´eor`eme de sp´ecialisation sur les int´egralesp-adiques, l’int´egraleR
x∈BrE(ληRg(x0, x)x|x)dxn’a pas de support born´e enλ. Donc, le point ((x0, g(x0)),(ξ, η)) n’est pas microlocalement lisse.
Plus g´en´eralement, pour tout ensemble d´efinissableX qui est une sous-vari´et´e, c’est-`a-dire localement un graphe d’application polynomialeg, comme ci-dessus, on peut d´efinir une distribution d´efinissable par
< u,ϕ>=
Z
X
ϕ|XdµX,
Comme le probl`eme est local, par ce qui pr´ec`ede nous observons que le support singulier deu est X et son Λn-front d’ondes motivique est le fibr´e co-normal de X.
Exemple 7.2.5.0.8 (Une distribution de Λn-front d’ondes motivique ´egal `a {0} ×Λn)
Cet exemple est inspir´e du cas p-adique (Exemple 6.1.3.1.4). Soit V l’ensemble d´efinissable h[1,0,0]
etn≥1. On consid`ere la fonction localement int´egrable
v= (1−1B0)1Λn = 1Λn\B0
dansC(V)exp avec B0={x∈h[1,0,0]|ordx≥0}. On d´efinit une distribution u∈ S0(V) par ϕ7→< u,ϕ >=<Fˇ(v),ϕ>=< v,F(ϕ)ˇ > .
On montre que WFΛn(u) ={0} ×Λn [216, Example 6.16].
7.2.6. Projection. La proposition suivante ([216, Proposition 6.21, Proposition 6.22]) est l’analogue t-adique du r´esultat classique de projection du front d’ondes (p-adique ou r´eel) d’une distribution sur son support singulier (Proposition 6.1.3.1.2).
Proposition 7.2.6.0.1 (Projection du front d’ondes). Soit n≥1, V l’ensemble d´efinissableh[m,0,0]
avec m≥1 et π:T∗V \ {0} →V la projection canonique. Soit u∈ S0(V) une distribution d´efinissable.
— On a l’inclusion
(7.2.6.0.1.1) π(WFΛn(u))⊂SS(u).
— Soit(A, r,r, Nˇ ) une donn´ee d´efinissableΛn- microlocalement lisse deu. On note Acle compl´ementaire de A dansT∗V \ {0}. On a l’inclusion
(7.2.6.0.1.2) SS(u)⊂π(Ac).
Ainsi, nous avons les inclusions suivantes
π(WFΛn(u))⊂SS(u)⊂ \
A∈A
π(Ac)
o`u A est l’ensemble des supports de donn´ees d´efinissablesΛ-microlocales lisses de u.
Remarque 7.2.6.0.2. L’´enonc´e de la Proposition 7.2.6.0.1 est plus faible que celui du contexte p-adique (Proposition 6.1.3.1.2). Nous ne prouvons pas l’´egalit´e entreπ(WFΛn(u)) et SS(u). Ce probl`eme est reli´e `a la comparaison entre ∩A∈Aπ(Ac) et π(∩A∈AAc) et au fait qu’en g´en´eral une union d’ensembles d´efinissables n’est pas d´efinissable. Il serait int´eressant d’avoir des hypoth`eses sur la distribution impliquant l’´egalit´e π(WFΛn(u)) = SS(u) ou de trouver des contre-exemples o`u cette ´egalit´e est fausse.
7.2. FRONTS D’ONDES MOTIVIQUES DE DISTRIBUTIONS D ´EFINISSABLES 131
7.2.7. Pull-back. Dans le th´eor`eme suivant nous expliquons comment construire le pull-back f∗u d’une distribution d´efinissable relativement `a une donn´ee Λn-microlocale lisse.
Th´eor`eme 7.2.7.0.1. Soit mx, my et n des entiers positifs. Soit π :T∗Vy → Vy la projection canonique.
Soit
f :Vx=h[mx,0,0]→Vy =h[my,0,0]
une fonction d´efinissable de classeC1. Soitu∈ S0(Vy)une distribution d´efinissable et(A, r,r, Nˇ )une donn´ee Λn-microlocalement lisse de u. On suppose que :
1. A est un ensemble d´efinissable `a la fois ouvert et ferm´e de Vy ×Bn(my), sa projection π(A) est un ensemble d´efinissable ouvert et ferm´e de Vy et pour tout y0 ∈ π(A), nous supposerons l’ensemble Ay0 ={ξ ∈Bn(my)|(y0, ξ)∈ A} ouvert et ferm´e.
2. Il existe Nδ,A ∈ Z tel que pour tout (x, ξ) ∈ f−1(π(A))×Bn(my), si (f(x), ξ) ∈ A/ alors nous avons ord tdf(x)ξ ≤Nδ,A. En particulier ceci implique les inclusions
Nf,A:={(y, ξ)∈T∗π(A)\ {0} | ∃x∈f−1(π(A)), y=f(x), tdf(x)ξ= 0} ⊂ A.
et
Nf,A∩WFΛn(u) =∅.
3. Il existe une fonction d´efinissableRf telle que
(7.2.7.0.1.1) (f(x+z)|ξ) = (f(x)|ξ) + (df(x)z|ξ) + (Rf(x, z, ξ)z|z).
Il existe une constante NR,A, telle que pour tout x ∈ f−1(π(A)), pour tout z ∈ Vx et pour tout ξ∈B(mn y), nous avons ordRf(x, z, ξ)≥NR,A.
Avec ces hypoth`eses :
1. (Pull-back) Il existe une distribution d´efinissable f∗u∈ S0(f−1(π(A))) telle que nous ayons l’inclusion WFΛn(f∗u) ⊂ f∗(ΛnAc)∪Uf,A
o`u
ΛnAc={(y, λξ)∈T∗Vy\ {0} |(y, ξ)∈ A, λ/ ∈Λn}, Uf,A ={(x, η)∈f−1(π(A))×Vη |η /∈imtdf(x)}
et
f∗(ΛnAc) ={(x, η)∈T∗f−1(π(A))\ {0}, ∃(y, ξ)∈ΛnAc, y=f(x), tdf(x)ξ =η}.
2. (Recollement) Pour tout (B, rB,ˇrB, NB) donn´ee d´efinissable Λn- microlocale lisse de u satisfaisant les mˆemes hypoth`eses et tel que π(B)∩π(A) soit non-vide, les pull-backs sont ´egaux sur les fonctions de Schwartz-Bruhat `a support dans f−1(π(A)∩π(B)).
3. (Cas fonctionnel) Si u∈S(V) est une fonction de Schwartz-Bruhat, la construction induit l’´egalit´e f∗u=L−mx(u◦f).
Remarque 7.2.7.0.2. Grˆace au second point du th´eor`eme, on peut recoller les f∗u obtenu le long d’un nombre fini de donn´ees d´efinissables Λn-microlocales lisses de u. Dans les contextes r´eel et p-adique, on prouve que l’extension du pull-back f∗, d´efini pour les distributions associ´ees aux fonctions lisses, au cas g´en´eral est unique ([137, Theorem 8.2.4] et [68, Theorem 2.9.3]). Dans notre contexte, il n’y a pas de topologie sur les motifs qui puisse garantir une telle unicit´e, n´eanmoins la construction est ici parall`ele `a la construction r´eelle ou p-adique. De plus par les th´eor`emes de sp´ecialisation [74] des int´egrales motiviques sur les int´egrales p-adiques, cette construction se sp´ecialise sur la construction p-adique du pull-back.
7.2.8. Produit tensoriel et produit de distributions d´efinissables. Soit P ∈ Defk un ensemble d´efinissable,Vx =h[dx,0,0] et Vy =h[dy,0,0], pour dx et dy deux entiers positifs. Soit (uΦW) ∈ SP0 (Vx) et (vΦW)∈ SP0 (Vy) deux distributions d´efinissables.
Lemme 7.2.8.0.1. Pour tout ensemble d´efinissable ΦW ∈ DefP, pour toute fonction de Schwartz-Bruhat ϕ∈ SW(W ×Vx×Vy), la fonction constructible exponentielle ψ´egal `a < vΦW×Vx,ϕ>dans C(W ×Vx)exp est une fonction de Schwartz-Bruhat dansSW(W ×Vx) avec
α+(ψ) =α+(ϕ)◦πW and α−(ψ) =α−(ϕ)◦πW.
De plus, pour toute application d´efinissableg:W →W0, siϕest(g×IdVx,y)-compatible alors,< vΦW×Vx,ϕ>
est(g×IdVx)-compatible.
D´efinition 7.2.8.0.2 (Produit tensoriel de distributions d´efinissables)
Si pour toute fonction d´efinissable ΦW :W → P et pour toute fonction de Schwartz-Bruhat ϕ dans SW(W ×Vx,y) nous avons l’´egalit´e
< uΦW, < vΦW×Vx,ϕ>>=< vΦW, < uΦW×Vy,ϕ>>
alors nous d´efinissons
<(u⊗v)ΦW,ϕ>:=< uΦW, < vΦW×Vx,ϕ>> . et obtenons une distribution d´efinissable de SP0 (Vx×Vy).
Exemple 7.2.8.0.3. SiP est un point et sif etg sont des fonctions localement int´egrables respectivement surVx etVy, alorsf ⊗g est le produit tensoriel usuel surVx×Vy et l’´egalit´e pr´ec´edente d´ecoule de Fubini.
La proposition suivante est l’analogue motivique des cas r´eel etp-adique.
Proposition 7.2.8.0.4 (Front d’ondes de u⊗v). Soit dx et dy deux entiers positifs. Soit Vx et Vy les ensembles d´efinissablesh[dx,0,0]eth[dy,0,0]. Soit u∈ S0(Vx) etv∈ S0(Vy) deux distributions d´efinissables.
Soit nun entier positif et Λn le sous-groupe correspondant de h[1,0,0]×. Si le produit tensoriel u⊗v existe alors,
WFΛn(u⊗v)⊂
{(x, ξ, y, η)|(x, ξ)∈WFΛn(u) and (y, η)∈WFΛn(v)}
∪ {(x, ξ, y,0)|(x, ξ)∈WFΛn(u) andy∈SS(v)}
∪ {(x,0, y, η)|(y, η)∈WFΛn(v) andx∈SS(u)}.
.
Comme dans le cas r´eel et dans le cas p-adique, en utilisant la construction du produit tensoriel et le Th´eor`eme 7.2.7.0.1, nous obtenons localement la d´efinition du produit de deux distributions d´efinissables.
D´efinition 7.2.8.0.5 (Produit de distributions d´efinissables). Soit n≥1. Soit u etv deux distribu-tions d´efinissables de S0(V) et notonsil’injection de la diagonale
i:V →∆ ={(x, y)∈V2|x=y}.
Si le produit tensorielu⊗v existe, si (A, r,ˇr, N) est une donn´ee Λn-microlocale lisse deu⊗v, telle que (7.2.8.0.5.1) A ⊂ V2×Bn2
\(WFΛn(u⊗v)∪ {(x, y),(ξ, η)|ξ 6=−η})
etAsatisfait les hypoth`eses du Th´eor`eme 7.2.7.0.1, alors on d´efinit un produitu·v∈ SP0 (i−1(π(A))) par u·v=i∗(u⊗v).
7.3. PERSPECTIVES DE RECHERCHE 133
7.3. Perspectives de recherche
— Distributions, courants et cycle normal
• Suite au travail r´ecent de Cluckers-Halupczok [66], introduire une notion de locus (§5.2) pour les fonctions constructibles motiviques.
• Introduire une notion de distributions motiviques de classe Cexp, prouver un r´esultat de sp´ecialisation sur le cas d’un corps local non-archim´edien (D´efinition 6.2.1.2.1) et montrer que cette classe est stable sous la transform´ee de Fourier. On pourra alors ´etudier l’holonomicit´e dans ce contexte et prouver un analogue motivique de la Proposition 6.2.2.0.4 et du Th´eor`eme 6.2.2.0.5.
• Introduire un analogue motivique de la notion decourant puis decycle normal introduit par Fu [112] et construit dans le cas d´efinissable par Bernig [18].
— Fronts d’ondes motiviques
• Exemples de fronts d’ondes motiviques.
∗ Front d’ondes associ´es `a une distribution d´efinie par un ensemble d´efinissable (Exemple 7.2.5.0.7), les op´erateurs `a noyaux, les int´egrales oscillantes.
∗ Dans la lign´ee des th´eor`emes [137, Theorem 8.1.4] et [68, Theorem 2.8.9] (Th´eor`eme 6.1.3.1.3) dans les cadres r´eel etp-adique, donner des crit`eres pour qu’un sous-assignement (par n´ecessairement d´efinissable) deh[2n,0,0] soit un front d’ondes motivique.
∗ Etudier le lieu lisse et les fronts d’ondes des distributions de classe Cexp motiviques une fois construites. Il sera alors naturel d’examiner dans ce cas l’´egalit´e SS(u) =π(WFΛ(u)) et d’´etendre `a ce cadre les Th´eor`emes 6.2.1.4.1 et 6.2.1.3.3.
• Extension des constructions.
∗ Etendre les constructions de ce chapitre au cas des d´efinissables globaux [73, §2.4] et par exemple celui des vari´et´es et fonctions C1-strictes.
∗ Etendre la notion de fronts d’ondes motiviques aux distributions deSP0 (V). Cela signifiera notamment de travailler avec une famille de distributions, param´etr´ee par un d´efinissable P (par exemple un disque ´epoint´e pour le cas d’une d´eg´en´erescence), et d’´etudier leur front d’ondes en famille. On pourra s’appuyer sur les exemples pr´ec´edents en famille et sur ce qui sera d´evelopp´e en premier dans le cas d’un corps local non-archim´edien.
• Propri´et´es des fronts d’ondes motivique.
∗ L’´enonc´e de la Proposition 7.2.6.0.1 est plus faible que celui du contexte p-adique (Propo-sition 6.1.3.1.2). Nous ne prouvons pas l’´egalit´e entre π(WFΛn(u)) et SS(u). Ce probl`eme est reli´e `a la comparaison entre ∩A∈Aπ(Ac) et π(∩A∈AAc) et au fait qu’en g´en´eral une union d’ensembles d´efinissables n’est pas d´efinissable. Il serait int´eressant d’avoir des hy-poth`eses sur la distribution impliquant l’´egalit´e π(WFΛn(u)) = SS(u) ou de trouver des contre-exemples o`u cette ´egalit´e est fausse.
∗ Comme le font Cluckers–Comte–Loeser [64] et Forey [110] pour la notion de cˆone tangent dans les contextesp-adiques ett-adiques, ´etudier la d´ependance enndes Λn-fronts d’ondes motiviques.
∗ Etudier l’unicit´e du pull-back d’une distribution propos´ee au Th´eor`eme 7.2.7.0.1 : `a d´efaut d’une topologie sur les anneaux de Grothendieck des vari´et´es, sa construction est pour le moment justifi´ee par sa sp´ecialisation sur celle du cas local non-archim´edien.
— Repr´esentations de groupes de Lie t-adique
• En utilisant la mesure de Haar sur les groupes de Lie surk[[t]] construite par Gordon [118], donner une version t-adique des r´esultats d’Heifetz sur les fronts d’ondes associ´es aux repr´esentations de groupes de Lie p-adiques. Expliciter les r´esultats de sp´ecialisation permettant d’obtenir des
• En utilisant la mesure de Haar sur les groupes de Lie surk[[t]] construite par Gordon [118], donner une version t-adique des r´esultats d’Heifetz sur les fronts d’ondes associ´es aux repr´esentations de groupes de Lie p-adiques. Expliciter les r´esultats de sp´ecialisation permettant d’obtenir des