FRACTIONS RATIONNELLES - Manuscrit HDR Pour obtenir le diplôme d'

Dans ce chapitre nous présentons les résultats et constructions motiviques de l’article [215] dans le cadre de l’étude des singularités des fractions rationnelles.

A la section 3.1, nous rappelons le cadre topologique d’´` etude des singularités des fractions rationnelles localement en un point d’indétermination ou globalement, en particulier : les diverses fibrations de Milnor (locale et globale), leur monodromie, et les ensembles de bifurcations topologiques (local et global) associés.

A la section 3.2 nous donnons le point de vue faisceautique de ces constructions.`

A la section 3.3 nous pr´` esentons les analogues motiviques de ces notions considérés dans l’article [215] et directement issus de la théorie de Denef–Loeser (§1.4) : les fibres de Milnor motiviques (locale et globale) et les ensembles de bifurcation motiviques (local et global).

3.1. Fibres de Milnor d’une fraction rationnelle : le point de vue topologique

Soitdun entier strictement positif etP etQdeux polynˆomes premiers entre eux de l’anneauC[x₁, . . . , x_d] Soitf la fraction rationnelleP/Q etI(f) le lieu d’ind´etermination

I(f) :={x∈C^d|P(x) =Q(x) = 0}.

On dispose ainsi d’une fonction bien d´efinie

f : C^d\I(f) → P¹_C x 7→ ^P_Q(x)^(x)

o`u l’on identifie iciP¹_C avec A¹_C∪ {∞} via l’applicationa7→[a: 1] et l’on note ∞= [1 : 0].

Remarque 3.1.0.0.1. De nombreux auteurs ont étudié les fibrations de Milnor locales ou globales associées

a la fraction rationnelle f, citons notamment les travaux de Gusein-Zade–Luengo–Melle-Hernández [126, 127] dont nous rappellerons les résultats ci-dessous, ceux de Siersma–Tibar [230, 238] et plus récemment ceux de Bodin–Pichon–Seade [24, 25]. Cette thématique de recherche est liée à l’étude du pinceausP+tQ= 0, réalisée par Lê–Weber [159], Parusiński [200] ou Siersma–Tibar [230].

3.1.1. Le cas local. On considère une fraction rationnellef etx un point d’indétermination. De manière générale, le pointxest adhérent à toutes les fibres de la fonctionf définie surC^d\I(f). Par conséquent, à la différence du cas d’une fonction régulière, l’étude de résultats de fibration def au voisinage dexnécessite de fixer en amont une valeuraet de travailler sur un voisinage dea. Nous rappelons le résultat et les définitions classiques (voir par exemple [126, 127])

Théorème-Définition 3.1.1.0.1 (Fibration de Milnor et ensemble de bifurcation (le cas local)) Soit f =P/Q une fraction rationnelle, avec P etQ deux polynômes premiers entre eux de l’anneau C[x₁, . . . , x_d]. Soitx∈I(f) un point d’indétermination.

— Pour toute valeura∈P¹_C, il existe ε >0, il existe η >0 tel que la fonction f :f⁻¹(D(a, η)\ {a})∩

B^2d(x, ε)\I(f)

→D(a, η)\ {a}

soit une fibration topologique localement triviale appel´eefibration de Milnor du germe de f en x pour la valeura.

— Lafibre de Milnor du germe def enxpour la valeura(vue comme variété différentiable) est l’ensemble F_x,a :={z∈B^2d(x, ε)\I(f), f(z) =P(z)/Q(z) =a⁰}

qui à difféomorphisme près ne dépend pas du choix de a⁰ dans le disque épointé D(a, η)\ {a}. Ses groupes de cohomologie sont munis d’un opérateur quasi-unipotent de monodromie noté Tx,a.

— Une valeur a∈P¹_C est dite typique pour le germe f en x, si et seulement si pour toutε suffisamment petit la fonction f : B^2d(x, ε)\I(f) → P¹_C est une fibration triviale au-dessus d’un voisinage de a.

Dans le cas contraireaest diteatypique. L’ensemble de bifurcation B_f,x^top du germe def au pointx est l’ensemble des valeurs atypiques. Cet ensemble est fini.

— Supposons que P etQ aient un point critique isolé en x. Sid= 2, on suppose de plus que les courbes P = 0 et Q = 0 n’ont pas de composante irréductible en commun. Pour toute valeur a, on note µ(P +aQ, x) le nombre de Milnor du polynôme P+aQen x. L’application a7→µ(P+aQ, x) admet un nombre fini de valeurs. Pour toute valeuragen générique, nous avons

(3.1.1.0.1.1) χ_c(F_x,a) = (−1)^d−1(µ(P+aQ, x)−µ(P+a_genQ, x)).

De plus, la valeuraappartient `a B_f,x^top si et seulement siχ_c(F_x,a)6= 0.

3.1.2. Le cas global. Comme dans le cas polynomial, il d´ecoule des id´ees de Thom [127] :

Théorème-Définition 3.1.2.0.1(Fibration de Milnor et ensemble de bifurcation (le cas global)) Soitf =P/Qune fraction rationnelle, avecP etQdeux polynômes premiers entre eux deC[x₁, . . . , x_d].

— L’application f : C^d \I(f) → P¹_C est une fibration topologique localement triviale au-dessus du compl´ementaire d’un ensemble fini de la droite projective.

— Toute fibre de cette fibration est appelée fibre générique de f (au sens topologique). Le plus petit ensemble, noté B^top_f , tel quef soit une fibration topologique localement triviale au-dessus deP¹_C\ B_f^top est appelé ensemble de bifurcation de f. Ses éléments sont appelésvaleurs atypiques.

— Pour toute valeura,f est une fibration topologique localement triviale au-dessus d’un voisinage épointé dea. La fibre de cette fibration est appeléefibre de Milnor def pour la valeura, notéeF_a. Ses groupes de cohomologie sont munis d’un opérateur quasi-unipotent de monodromie noté Ta.

Remarque 3.1.2.0.2. Comme dans le cas polynomial (Remarque 2.1.2.0.2), l’ensemble de bifurcation contient les valeurs critiques de f mais aussi d’autres valeurs liées aux singularités à l’infini. Afin de tenir compte des singularités à l’infini nous utiliserons par la suite une compactification ( ˆX, i,f) de (ˆ C^d\I(f), f) mais les résultats n’en dépendront pas.

3.2. LE POINT DE VUE FAISCEAUTIQUE 61

3.2. Le point de vue faisceautique

Soit f = P/Q une fraction rationnelle, avec P et Q deux polynômes premiers entre eux de l’anneau C[x₁, . . . , x_d]. Les fibres de MilnorF_x,a etF_asont bien définies du point de vue topologique, mais ne le sont pas d’un point de vue algébrique. Dans ce paragraphe nous présentons leur analogue faisceautique qui sera bien défini dans le contexte algébrique. On considère pour cela le diagramme commutatif suivant :

C^d\I(f) ^//

f ++

X⊂(C^d\I(f))×P¹_C ⁱ ^//

X ⊂C^d×P¹_C

ˆi //Xˆ

fˆ

rrP¹_k

oùXest le graphe def dans (C^d\I(f))×P¹_C,Xest son adhérence pour la topologie de Zariski dansC^d×P¹_C, iest l’immersion fermée associée, p etf sont les projections surP¹_C, ˆX est une variété, îest une immersion ouverte dominante et ˆf est une application propre. Nous noterons parila composition des immersions î◦i, par F le complémentaire de X dans X, et par ˆF le complémentaire de X dans ˆX. Les variétés X et ˆX peuvent être singulières mais en ce cas les fermésF et ˆF contiennent le lieu singulier.

Remarque 3.2.0.0.1. Par le théorème de fibration de Lê dans le cas singulier [158], la fibre de Milnor de f en (x, a) correspond (modulo le plongement dans X) à la fibre de Milnor Fx,a considérée par Gusein-Zade–Luengo–Melle-Hernández [126, 127].

3.2.1. Le cas local. Soitx un point d’indétermination def et soitaune valeur. Si a=∞,f −adésigne 1/f. Le complexe de faisceaux associé à la fibre de Milnor F_x,a est le germe au point (x, a)

F_x,a=

ψ_f−a(Ri_!Q_X)

(x,a)

tel que pour tout entierk, il existe un isomorphisme entre les groupes de cohomologie munis de leur action de monodromie [94, Proposition 4.2.2]

H^k(F_x,a) 'H_c^k(Fx,a,Q)^T^x,a.

3.2.2. Le cas global. Soitaune valeur. Afin de tenir compte des singularités à l’infini, nous utilisons une compactification ( ˆX, i,fˆ) de (X, p) ou (C^d\I(f), f). Le complexe de faisceaux constructibles associé à la fibre de Milnor globale Fa est

F_a = R ˆf_!

ψ_f−a_ˆ (Ri_!Q_X)

∈ D^b_c({a})^mon

il ne d´epend pas de la compactification ˆX et pour tout entierk, il existe un isomorphisme H^k F_a

'H_c^k(Fa,Q)^T^a.

3.2.3. Modules de Hodge mixtes et structures de Hodge mixtes limites. Ces constructions se généralisent au niveau des modules de Hodge mixtes de M. Saito [223]. Il existe ainsi des complexes de modules de Hodge mixtes F_x,a^MHM au-dessus de {(x, a)} et F_a^MHM au-dessus de {a}. Ces complexes ne dépendent pas non plus de la compactification choisie. Les structures de Hodge sous-jacentes deH^kF_x,a^MHM etH^kF_a^MHM sont les structures de Hodge mixtes limites de H_c^k(F_x,a,Q)^T^x,a etH_c^k(F_a,Q)^Tâ.

3.3. Le point de vue motivique

Dans cette section, on considère un corpskde caractéristique zéro et pour toutes les questions topologiques nous supposerons quek=C. Soit f =P/Q une fraction rationnelle, avecP etQ deux polynômes premiers entre eux de l’anneau k[x₁, . . . , x_d]. En appliquant les constructions de Denef–Loeser et Guibert–Loeser–

Merle [124] (Définition-Théorème 1.4.2.0.1), nous considérons dans l’article [215] des motifs associés aux complexes des faisceaux constructiblesF_x,a etF_a.

En rempla¸cant C par k, nous utiliserons dans toute la suite les objets X,X, i, fˆ et ˆf de la section 3.2.

Nous consid´erons en premier, un motif globalS_{f ,X}_ˆ ∈ M^G_ˆ^m

X×Gm.

— Sa restriction S_f,x,aà (x, a)×Gm est appeléefibre de Milnor motivique de f pour la valeura au point x et se réalise sur la classe [F_x,a], par application du Corollaire 1.4.3.0.2.

— Son image directe sur P¹ ×Gm suivie de sa restriction à {a} ×Gm, notée S_f,a, est appelée fibre de Milnor motivique def pour la valeur aet se réalise sur la classe [F_a] (Théorème 3.3.3.0.2).

3.3.1. Fonction zêta motivique globale. De manière analogue à [214,§4] ou à la Remarque 2.2.3.0.4, nous considérons lafonction zêta motivique globale

Z^δ,global_ˆ

D´efinition 3.3.2.0.1 (Fibre de Milnor motivique S_f,x,a et ensemble de bifurcation motivique B^mot_f,x )

Lafibre de Milnor motivique def pour une valeuraen un point d’ind´eterminationxest d´efinie comme Sf,x,a:=i^∗_{(x,a)}×_G_m

— L’ensemble de bifurcation motivique def enx, not´eB_f,x^mot, est form´e des valeura, dites motiviquement atypique pour f enx, telles que le motif Sf,x,aest non nul.

— On note S_f,x:=i^∗_{x}×

En utilisant les notations de la section 1.1.3 et les résultats de réalisation de la section 1.4.3 nous avons : Théorème 3.3.2.0.2 (Réalisation, finitude de l’ensemble de bifurcation et décomposition)

Soit x un point d’ind´etermination de f.

3.3. LE POINT DE VUE MOTIVIQUE 63

— Pour toute valeura, la fibre de Milnor motivique S_f,x,a se r´ealise sur la classe [F_x,a^MHM]

χ^MHM(S_f,x,a) = [F_x,a^MHM]∈K₀(MHM^mon_x,a ).

En particulier, la classe de la structure de Hodge mixte limite de f au point(x, a) est χe_h(S_f,x,a).

— L’ensemble de bifurcation motiviqueB^mot_f,x est fini et l’on a l’´egalit´e S_f,x = X

a∈B^mot_f,x

S_f,x,a∈ M^G_{x}×^m

P¹k×G^m.

Remarque 3.3.2.0.3 (Expression sur une log-resolution et r´ealisations)

Soit a une valeur et x un point d’indétermination. On considère une log-résolution (Y, E, h) de (X,({P = 0} ∪ {Q = 0}) ×P¹_k) telle que h⁻¹(x, a) soit un diviseur à croisements normaux. On notera là encore P et Q les fonctions bien définies sur X obtenues par composition de P et Q avec la projection canonique de X sur C^d. Soit (E_i)i∈A l’ensemble des composantes irréductibles de E indicées par A. Soit A(x, a) l’ensemble d’indices des composantes irréductibles deh⁻¹(x, a). Nous considérons les diviseurs

div(P ◦h) :=X et l’on note fI le quotient des fonctions monomiales résiduelles PI et QI induites par P et Q. Pour tout I ∈ A_(x,a), le fibré U_I est relatif à {(x, a)} et nous désignons par p_I l’application structurelle. De manière similaire au cas d’une fonction régulière ([86, 91], formule (1.4.1.0.2.2), [124]) nous obtenons

S_f,x,a=− X

I∈A_(x,a)

(−1)^|I|[(p_I, f_I) :U_I→ {(x, a)} ×Gm, σ]∈ M^G_{(x,a)}×^m

Gm.

— Par application du Théorème 3.3.2.0.2, nous obtenons une expression de la classe de la structure de Hodge mixte limite def au point (x, a) et de son spectre en terme d’une log-résolution.

— Réalisation sur les nombres de Lefschetz : comme dans le cas d’une fonction régulière [91], nous montrons [215, Theorem 9] que pour tout δ > max{i}∈A(x,a)Ni(P)/(Ni(P)−Ni(Q)) et pour tout

— R´ealisation sur la fonction zˆeta de la monodromie def pour le couple (x, a) : Z_f,x,a^mono(t) = ˜Z^mono(S_f,x,a).

— Par application de la r´ealisation caract´eristique d’Euler et de la formule (3.1.1.0.1.1) nous avons (3.3.2.0.3.1) fχ_c(S_f,x,a) = (−1)^d−1(µ(f, x, a)−µ(f, x, a_gen)).

Remarque 3.3.2.0.4. Quelques remarques :

— Gonz´alez-Villa–Lemahieu [249] prouvent une conjecture de la monodromie dans le casd= 2.

— Zúñiga-Galindo–Veys [248] étudient les fonctions zêtas d’Igusa p-adiques dans le cas des fractions rationnelles.

— Nguyen–Takeuchi [183] utilisent les fibres de Milnor motiviques des fractions rationnelles dans le cas de polynômes non-dégénérés et obtiennent des résultats sur le spectre de Hodge-Steenbrink et les blocs de Jordan de la monodromie.

3.3.3. Le point de vue global.

D´efinition 3.3.3.0.1 (Fibre de Milnor motiviqueS_f,a). Soitaune valeur. On d´efinit lafibre de Milnor motivique globale de f pour la valeur a

S_f,a=i^∗_{a}×

p_P¹

k×Gm! S^global_ˆ

f ,X

o`u p_P¹

k×Gm!:M^G_ˆ^m

X×Gm

→ M^G^m

P¹k×G^m est induit par la composition avec ( ˆf , id_G_m).

On d´eduit des r´esultats (§1.4) de Denef–Loeser et Guibert–Loeser–Merle [125,§3.9]

Théorème 3.3.3.0.2. La fibre de Milnor motivique globale S_f,a pour la valeur a ne dépend pas de la compactification choisie et se réalise sur la classe du module de Hodge mixte [F_a^MHM]

χe^MHM(S_f,a) = [F_a^MHM]∈K0(MHM^mon_a ).

En particulier la classe de la structure de Hodge mixte limite de f pour la valeur aest χe_h(S_f,a).

3.3.4. Cycles évanescents motiviques et ensembles de bifurcation motiviques. Nous distinguons les cycles évanescents motiviques provenant du lieu singulier de f, du lieu d’indétermination de f et ceux provenant de la compactification. En utilisant le motifS_{f ,a,X}_ˆ du paragraphe§3.3.1 nous considérons

— les cycles ´evanescents motiviques globaux def pour une valeur a

S_f,a^Φ := (−1)^dim^X−1(Sf,a−[f⁻¹(a)× {a} ×Gm])∈ M^G_{a}×^m

— les cycles ´evanescents motiviques affines de f pour une valeur a

S_f,a^Φ,affine:= (−1)^dim^X⁻¹fˆ_!i^∗_X_×_G_m(S_{f ,a,X}_ˆ −[f⁻¹(a)× {a} ×Gm])∈ M^G_{a}×^m

— les cycles évanescents motiviques de f pour une valeur arelativement au lieu d’indétermination S_f,a^Φ,Î^(f⁾:= (−1)^dim^X−1fˆ_!i^∗_F_×

GmS_{f ,a,X}_ˆ ∈ M^G_{a}×^m

— les cycles ´evanescents motiviques de f pour une valeur a`a l’infini S_f,a^Φ,∞:= (−1)^dim^X⁻¹fˆ!i^∗_F_ˆ_\F_×

GmSf ,a,Xˆ ∈ M^G_{a}×^m

G^m. Il découle des raisonnements précédents que :

Proposition 3.3.4.0.1. Les motifsS^Φ_f,a,S_f,a^Φ,affine,S_f,a^Φ,^I^(f⁾etS_f,a^Φ,∞ne d´ependent pas de la compactification.

et nous avons la d´ecomposition

S_f,a^Φ =S_f,a^Φ,affine+S_f,a^Φ,I^(f)+S_f,a^Φ,∞∈ M^G_{a}×^m

Gm. D´efinition 3.3.4.0.2. Une valeur aest dite

— motiviquement atypique relativement à l’ensemble d’indétermination I(f) si le motif S_f,a^Φ,Î^(f⁾ est non nul.

— motiviquement atypique `a l’infini si le motif S_f,a^Φ,∞ est non nul.

Ces valeurs constituent respectivement les ensemblesB^mot,_f ^I^(f⁾ etB^mot,∞_f et l’on note B^mot_f = discf∪ B^mot,_f ^I^(f)∪ B^mot,∞_f

appel´e ensemble de bifurcation motivique global de f.

On conclut alors avec le théorème de décomposition [215, Theorem 4.13] :

3.4. PERSPECTIVES DE RECHERCHE 65

Théorème 3.3.4.0.3. L’ensemble de bifurcation motivique global est fini et nous avons la décomposition S_f^Φ= X

— Le cas des courbes. On considère le cas où P et Qappartiennent à k[x, y] (avec k algébriquement clos). De la même manière que dans le cas d’une fonction régulière dans le cas local (§2.4.3.1) ou pour les singularités à l’infini (§2.4.4) l’application des algorithmes de Newton (§2.4.1) devrait permettre d’exprimer les différents motifs Sf,x,a, Sf,a, S_f,a^Φ , S_f,a^Φ,affine, S_f,a^Φ,Î^(f) et S_f,a^Φ,∞, en termes des polygones de Newton itérés deP et Q. Les formules obtenues devraient être du même type que (2.4.3.1.1.1) ou (2.4.5.0.1.1).

— Comparaison des ensembles de bifurcation En commen¸cant par le cas à deux variables et en s’inspirant du cas des singularités à l’infini, comparer les ensembles de bifurcation B^top_f,x et B^mot_f,x pour tout point d’indétermination x.

— Approche analytique non-archim´edienne

• En s’inspirant de la construction de la fibre de Milnor analytique locale (§1.5.3) et de celles des cycles proches analytiques à l’infini (§2.3), il est naturel de construire, pour tout point d’indétermination x et pour toute valeur a, une fibre de Milnor analytique F_f,x,a dont le vo-lume motivique sera associé à S_f,x,a. De la même manière que pour les singularités à l’infini (§2.3), on pourra ensuite définir un ensemble de bifurcation de SerreB^Serre_f,x qui sera contenu dans B_f,x^mot et qu’il faudra comparer avecB^top_f,x.

• Etudier la géométrie des fibres de Milnor analytique F_f,x,a et introduire un point de vue analytique non-archimédien à la compréhension des phénomènes d’équisingularité en un point d’indétermination. La formule (3.3.2.0.3.1) est un premier pas dans cette direction. Par ailleurs dans le cas des courbes planes, la géométrie de l’espace analytique F_f,x,a doit être reliée aux arbres de Newton associés (Remarques 2.4.1.2.5).

— Problèmes d’équisingularités et sections hyperplanes. L’étude des singularités à l’infini d’une fonction ou celle d’une fraction rationnelle en un point d’indétermination, sont des cas particuliers du problème suivant : on considère un morphisme `:X →A¹_k, par exempleX est une variété algébrique affine de A^d_k et ` :A^d_k → A¹_k est une forme linéaire. On note U le lieu lisse de X et F = X\U. Par analogie avec les cas d’étude précédents (Remarque 2.2.3.0.4 ou au paragraphe§3.3.1) on considère les motifs S_`,U^global∈ M^G_X×^m

Gm. Il est alors naturel, pour tout pointx∈F, d’´etudier le motif S_`,U,x :=i⁻¹_{x}×

G^m(S_`,U^global).

et ses r´ealisations. En particulier ce motif est construit `a partir d’arcs dont l’origine est le point x.

Plus généralement, si l’on considère une stratification (Si) du fermé F, en un sens à préciser, si le point x appartient à une strate Si, il serait intéressant d’étudier les différents motifs S_`

|SjZar,Sj,x et leurs r´ealisations, pour chaque strate Sj o`u x ∈ Sj

Zar . Par analogie avec le cas des singularit´es

a l’infini ou celui d’un point d’indétermination d’une fraction rationnelle, on s’attend à ce que ces invariants soient génériquement nuls, donnent lieu à des ensembles de bifurcation et détectent des défauts d’équisingularités de la variété X au point xconsidéré.

CHAPITRE 4

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