ANALYSE NON-ARCHIM´ EDIENNE - Manuscrit HDR Pour obtenir le diplôme d'

Dans ce chapitre nous présentons quelques rudiments d’analyse non-archimédienne utilisés dans les Cha-pitres 6 et 7. À la section 5.1 nous rappelons quelques notions élémentaires d’analyse harmonique sur un corps local non-archimédien utilisées dans la construction et l’étude des fronts d’ondes du Chapitre 6. À la section 5.2, nous rappelons le cadre développé à l’aide de la théorie des modèles par Cluckers–Loeser [74] puis Cluckers–Gordon–Halupczok [56, 58, 59, 60] pour obtenir des résultats d’analyse uniformes en le corps local non-archimédien, par exemple dans le cas des fronts d’ondes (§6.2). Enfin, à la section 5.3, nous présentons la théorie des fonctions constructibles motiviques exponentielles introduites par Cluckers–Loeser [73, 74] et utilisée au Chapitre 7, comme cadre des fronts d’ondes de distributions motiviques.

5.1. Analyse sur un corps local non-archim´edien

5.1.1. Analyse sur un corps local non-archim´edien fix´e.

Notations 5.1.1.0.1. Soit K un corps local non archimédien (c’est-à-dire une extension finie deQp pour un certainp ou un corps isomorphe à Fq((t)) pourq une certaine puissance d’un nombre premier). On note

— O_K l’anneau de valuation de K, d’idéal maximal m_K et de corps résiduel kK à qK éléments et de caractéristiquep_K.

— |.|la norme ultram´etrique sur K telle que l’uniformisante de O_K ait pour normeq_K⁻¹.

— ord :K →Z∪ {+∞}la valuation envoyant l’uniformisante sur 1.

D´efinition 5.1.1.0.2 (Boules). Soit x∈Kⁿ etr ∈Z, on appelle boule de rayon valuatif r, l’ensemble Br(x) =B(x, r) ={x⁰ ∈Kⁿ|ord(x−x⁰)≥r}.

On notera simplementBr pourBr(0).

Remarque 5.1.1.0.3. Quelques remarques :

— L’espace m´etrique (K,|.|) est totalement discontinu.

— La valuation est discr`ete, donc une boule ouverte est aussi ferm´ee.

— Deux boules qui ne sont pas incluses l’une dans l’autre sont disjointes.

Définition 5.1.1.0.4 (Mesure de Haar). Le corpsKest un corps local. Il est donc localement compact et son groupe additif (K,+) admet une mesure de Haar, notée mes_K, et unique à un facteur multiplicatif près.

Soit (c_x)x∈k_K un système de représentants du corps résiduel. Par additivité et invariance par translation de la mesure, nous avons

mesK(B0) =X

x∈k

mesK(B(cx,1)) = card(kK)B(c₀,1).

Par induction et invariance par translation, on en d´eduit que pour toutx∈K, pour tout entierr∈Z mes_K(B(x, r)) = mes_K(B₀)

(card(kK))^r.

Comme la mesure de Haar mesK est unique `a un facteur multiplicatif pr`es, on supposera par la suite que mes_K(B₀) = 1.

La notion defonction différentiable définie sur un espace vectoriel sur un corps local non-archimédien K est la même que pour K =R, on pourra par exemple se référer à [30,§1].

Au Chapitre 6 nous utiliserons la notion :

Définition 5.1.1.0.5 (Différentiabilité stricte). Une fonction f :U ⊂Kⁿ →K^m, où U est un ouvert de Kⁿ, est dite C¹-stricte en a∈U, s’il existe une matrice A∈Mm,n(K) telle que

(x,y)→(a,a)lim

|f(x)−f(y)−A·(x−y)|

|x−y| = 0

o`u cette limite est prise le long des (x, y)∈U² avecx6=y. Un telA est unique et on le notef⁰(a) ouDf(a).

La fonctionf est dite C¹-stricte surU, si elle est C¹-stricte en tout point a∈U.

Remarque 5.1.1.0.6. Quelques remarques :

— Voir [115, Theorem A], [21, Proposition 7.11] et [114, Lemma 4.4] pour des comparaisons de notions de diff´erentiabilit´es alternatives. Une fonction C¹-stricte est C¹ [114, Lemma 3.2].

— Il existe un théorème des fonctions implicites et d’inversion locale pour les fonctions C¹-strictes ([114, Theorems 7.3, 7.4]). On peut alors définir une notion de sous-variétés C¹-strictes dansKⁿ([21, Section 8] et [20, Section 2.3]).

— On pourra se référer aux synthèses [141, Chapter 2] ou [52, Chapter 1] pour les notions de fonctions analytiques sur Kⁿ, les théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale associés, ainsi que la notion de sous-variétés analytiques deKⁿ.

— Une application analytique sur un ouvert U est C¹-stricte surU.

5.1.2. Analyse harmonique. Soit K un corps local non-archim´edien et ψ_K un caract`ere additif sur K qui est trivial surm_K et non trivial surO_K.

Définition 5.1.2.0.1 (Transformée de Fourier). Soitn≥1 etf :Kⁿ→Cune fonction intégrable sur Kⁿ par rapport à la mesure de Haar surKⁿ notéedx. On définit sa transformée de Fourier

F(f)(ξ) = Z

Kⁿ

f(x)ψ_K(x|ξ)dx with (x|ξ) =Pn

i=1x_iξ_i.

Définition 5.1.2.0.2 (Fonction de classe C^∞, fonction de Schwartz-Bruhat) Soit X une sous-variété C¹-stricte deKⁿ.

— On note C^∞(X), leC-espace vectoriel des fonctions localement constantes surXet `a valeurs complexes.

— Soit X une sous-variété C¹-stricte de Kⁿ, de dimension `. On note S(X) le C-espace vectoriel des fonctions de Schwartz-Bruhat surX, c’est-à-dire, les éléments de C^∞(X) à support compact.

Remarque 5.1.2.0.3. Quelques remarques :

— Ces définitions sont induites par le caractère ultramétrique de la métrique surKⁿ. La lissité locale dans le cadre réel est remplacée par la constance locale de la fonction, les conditions “support compact” ou

“d´ecroissance rapide” sont remplac´ees par la condition “support compact”.

5.2. ANALYSE UNIFORME EN LE CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 89

— Soitϕ∈ S(Kⁿ) une fonction de Schwartz-Bruhat non identiquement nulle. Puisque le support deϕest compact, il existe un entier maximalα⁻(ϕ) tel queϕest support´ee par la bouleB_α⁻_(ϕ). Puisqueϕest localement constante et `a support compact, il existe un entier minimalα⁺(ϕ) tel que ϕ est constante sur les boules de rayon valuatif α⁺(ϕ).

— La restriction de la transform´ee de Fourier `a S(X) est un automorphisme F :S(X)→ S(X).

On dispose enfin d’une formule de la phase stationnaire ([134, Proposition 1.1], [68, Proposition 2.5.3]).

Proposition 5.1.2.0.4 (Formule de la phase stationnaire). Soit X ⊂ Kⁿ et V ⊂ K^r deux ouverts.

Soit Λ⊂K^× un sous-groupe d’indice fini. Soit p:X×V → K une application C¹-stricte et ϕ∈ S(X) de support noté Supp(ϕ). Supposons qu’il existe δ >0tel que pour tout (x, η)∈Supp(ϕ)×V on ait l’inégalité

|grad_xp(x, η)| ≥δ >0.

Supposons de plus que la fonction (x, y, η)→ |R(x, y, η)| soit bornée le long des x∈X, x+y∈Supp(ϕ) et η∈V, où R est définie par

p(x+y, η) =p(x, η) + (grad_xp(x, η)|y) + (R(x, y, η)y|y).

En ce cas, la fonction

I_η(p,ϕ) :λ7→

ϕ(x)ψ_K(λp(x, η))dx

est à support borné sur Λ, avec une borne indépendante de η ∈ V : il existe r ∈ Z tel que, pour chaque η∈V, le support de λ7→Iη(p,ϕ)(λ) soit contenu dans la boule Br.

5.2. Analyse uniforme en le corps local non-archim´edien

Dans cette partie nous rappelons la notion de définissabilité pour le langage de Denef–Pas (généralisé) L_gDP développée par, Denef–Loeser [89], Cluckers–Loeser [71, 74, 75] et Cluckers–Gordon–Halupczok [56, 59, 60]. Ce cadre permet d’obtenir des résultats d’analyse, uniformes en le corps local non-archimédien.

Ainsi, de manière heuristique, si une propriété sur un corps local non-archimédien peut être exprimée par une formule du premier ordre dans ce langage, il existe alors un entier M tel que la propriété reste vraie, pour tout corps local de caractéristique résiduelle supérieure àM. Cela permet notamment de transférer, à la Ax–Kochen/Ershov, ce type de propriétés entre deux corps locaux non-archimédiens ayant même corps résiduel et même groupe des valeurs, par exempleQp etFp((t)) (Théorème 5.2.3.0.7 et§5.3.6).

Sur une idée de Hales [129, 130], ce principe a été utilisé avec succès dans le cadre du programme de Langlandsp-adique où Cluckers–Hales–Loeser [61] obtiennent par transfert une preuve du lemme fondamen-tal sur les corps de caractéristique mixte (0, p) (avecp assez grand) à partir de la preuve d’Ngo [182] pour les corps de fonctions d’équicaractéristiquep. Depuis, d’autres résultats d’uniformité et de transfert sur les groupes de Lie définis sur un corps local non-archimédien ont été obtenus par Cluckers–Gordon–Halupczok [57] et Gordon [117, 119]. On pourra se référer aux articles de survol [85, 63, 120, 58].

5.2.1. Langage de Denef-Pas et définissabilité pour les corps locaux non-archimédiens.

Notations 5.2.1.0.1. Nous utiliserons les notations suivantes :

— On note Loc, la collection des pairesF = (F , $), form´ees d’un corps local non-archim´edien F et d’une uniformisante $de l’anneau de valuation O_F de F.

— Étant donné un entier M, on note Loc_M la collection des F ∈Loc tel queF soit de caractéristique 0 ou au moins M. On dira que F appartient à Loc1 si la caractéristique de F est 0 ou au moins M, pour unM fixé par le contexte.

— Pour tout F ∈ Loc, on écrit VF_F (ou, par abus de notation, simplement F) le corps valué F, O_F l’anneau de valuation de VFF,m_F l’idéal maximal, RFF le corps résiduel etqF le nombre d’éléments de RF_F. Le groupe des valeurs (isomorphe à Z) est noté VG_F.

— Soitn≥1 un entier. On note RFn,F le quotient O_F/nmF, ordF: VFF →VGF ∪ {∞}l’application de valuation et res_F :O_F → RF_F et res_n,F : O_F → RF_n,F les projections canoniques. On considère la composante angulaire acn: VF→RFn qui associe à un élémentx le résidu resn,F($⁻ôrd^xx).

— On note D_F le sous-groupe des caract`eres additifs ψsur F, tel queψ(m_F) = 1 et ψ(O_F)6= 1.

— On note Loc⁰ la collection F = (F , $, ψ) avec (F , $)∈Loc et ψ∈ D_F. Comme pour Loc, on utilisera les variantes Loc⁰_M et Loc⁰₁.

— Pour des ensembles arbitrairesA⊂X×T etx∈X, on noteAx ={t∈T |(x, t)∈A}.

Pour une fonction g:A⊂X×T →B et un pointx∈X, on note g(x,·) =gx : Ax → B

t 7→ g(x, t) .

Définition 5.2.1.0.2 (Langage de Denef–Pas généralisé). On considère le langage de Denef–Pas généralisé LgDP dont les sortes sont : le corps valué VF, le groupe des valeurs VG et pour chaque entier n≥1 l’anneau résiduel RF_n. Elles sont respectivement munies du langage des anneaux sur VF et sur chaque RFn, du langage des groupes abéliens ordonnés sur VG, de l’application de valuation ord : VF→VG∪{+∞}

et des applications composantes angulaires généralisées ac_n. On pourra par exemple se référer à [62,§4].

D´efinition 5.2.1.0.3 (Ensembles et fonctions d´efinissables). Soit M un entier.

— Une collectionX = (X_F)F∈Loc_M de partiesX_F ⊂VF^∗_F×RF^∗_∗,F×VG^∗_F est appel´eeensemble d´efinissable s’il existe uneLgDP-formule φtelle que XF =φ(F) pour chaque corps F ∈LocM.

— Soit X etY deux ensembles définissables. Une collection f = (f_F)_F∈Loc_M de fonctions f_F :X_F →Y_F est appeléefonction définissable, notéef :X →Y, si la collection (graphe(f_F))F∈LocM est un ensemble définissable.

Remarque 5.2.1.0.4. Quelques remarques :

— Le langage L_gDP, généralise le langage de Denef–Pas L_DP à trois sortes VF, RF, VG muni des appli-cations ord et ac [201, 83]. Nous le détaillerons dans la section motivique §5.3.1.

— De manière analogue au cas d’équicaractéristique 0 (Théorème 5.3.1.0.1 et §5.3.4.2), on dispose dans le contexte des corps locaux non-archimédiens d’un théorème d’élimination des quantificateurs et d’un théorème de décomposition cellulaire pour le langageLgDP[62, Theorem 4.2, Theorem 7.4], [219, 67], généralisant [201, 83].

— L’usage des sortes RF_n,F est nécessaire pour obtenir des résultats d’uniformité en le corps non-archimédien F : de manière sous-jacente, les formules utilisent un nombre fini de ces sortes, ce qui implique en pratique qu’il suffit d’exclure un nombre fini de caractéristiquesppour obtenir des résultats d’uniformité en le corps non-archimédien.

— Dans toute la suite nous omettrons les indices F quand le contexte sera clair.

5.2.2. Fonctions de classe C^exp.

Définition 5.2.2.0.1(Fonctions de classeC). On considèreX = (XF)F∈LocM un ensemble définissable.

Une collectionH = (H_F)_F de fonctions H_F :X_F → Rest dite de classe C sur X s’il existe des entiers N,

5.2. ANALYSE UNIFORME EN LE CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 91 avec li etni,t des entiers. On note C(X) l’anneau des fonctions de classe C sur X.

Définition 5.2.2.0.2 (Fonctions de classe Cêxp). Soit X= (XF)F∈LocM un ensemble définissable. Une collection H = (H_F,ψ)_F,ψ de fonctions H_F,ψ : X_F → C pour F ∈ Loc_M et ψ ∈ D_F, est appelée fonction

On noteC^exp(X) l’anneau des fonctions de classe C^exp sur X.

Proposition 5.2.2.0.3 (Constance locale [68, Proposition-D´efinition 4.2.1])

Soit f ∈ Cêxp(VFⁿ) et F ∈ Loc⁰₁. Par application du théorème de décomposition cellulaire pour le langage LgDP et la définition des fonctions de classe Cêxp, il existe un recouvrement fini de Fⁿ par des variétés C¹-strictes L_gDP-définissables W_i, satisfaisant dimW_i = dimW_i^Zar, et sur lesquelles la restriction f_F_|W_i est localement constante.

5.2.3. Locus, conditions d´efinissables, de classeC et C^exp.

Définition 5.2.3.0.1 (Locus). UnlocusXde classeCêxpest le lieu des zéros d’une fonctionfappartenant

aCêxp(VF^∗×RF^∗_∗×VG^∗), c’est-à-dire une collectionX= (XF)F∈LocM où pour toutF ∈LocM, X_F ={x∈VF^∗_F ×RF^∗_∗×VG^∗ |f_F,ψ(x) = 0}.

On définit de manière analogue (sans l’usage du caractèreψ) les locus de classeC. Exemple 5.2.3.0.2 ([60]). Quelques exemples de locus.

— Tout ensemble définissable est unC-locus (et donc unCêxp-locus). En effet la fonction indicatrice d’un définissable et de classeC (et donc de classeCêxp). Dans ce cas là, remarquons que le complémentaire d’un locus associé est encore un locus.

— Un locus n’est pas forc´ement d´efinissable. Par exemple

X ={x∈VG² |q^x−y= 0}

est unC-locus mais n’est pas d´efinissable.

Notations 5.2.3.0.3. Soit M,n, l,m1, . . . , m_l et r des entiers et P = (P_F,ψ)_F∈Loc_M,ψ∈D_F une collection de conditionsP_F,ψ(x) sur des ´el´ementsx∈VFⁿ_F ×RF_m₁_,F × · · · ×RF_m_l_,F ×VG^r.

— On dit que la conditionP est une condition d´efinissable, si la collection des ensembles X ={x∈VF^∗×RF^∗_∗×VG^∗ | P(x) vraie}

est un ensemble d´efinissable.

— On dit queP est une condition de classe C ou C^exp si X est un locus des classes correspondantes.

Cluckers–Gordon–Halupczok [56, 60, 67] prouvent les propriétés suivantes : Proposition 5.2.3.0.4 ([60]). Soit X et Y deux ensembles définissables.

1. Toute condition d´efinissable est une condition de classe C^exp.

2. Si P(x) et Q(x) sont des conditions de classe C^exp en x ∈ X, alors les conditions P(x)∧ Q(x) et P(x)∨ Q(x) sont de classe C^exp.

3. Si P(x, y) est une condition de classe C^exp en x ∈ X et y ∈ Y, alors “ ∀y ∈ Y, P(x, y)” est une condition de classe C^exp enx.

4. Si P(x) est une condition de classe Cêxp en x ∈X, alors elle reste une condition de classe Cêxp en x∈X et y∈Y et cela de manière indépendante en y.

La notion de dimension d’un locus et du complémentaire d’un locus découle de la propriété de constance locale (Proposition 5.2.2.0.3).

Proposition-D´efinition 5.2.3.0.5 (Dimension d’un locus [68, Proposition-D´efinition 4.2.1])

Soit f ∈C^exp(VFⁿ) et F ∈Loc1. On noteA1 ⊂Fⁿ le lieu des z´eros defF etA2 =Fⁿ\A1. Alors :

— il existe un nombre fini de sous-vari´et´es C¹-strictesW_i de Fⁿ, telle queA₁ (et respectivement A₂) est une union deWi.

— pour tout x∈Wi, il existe un voisinage ouvertU de x dansFⁿtel queWi∩U soitLgDP-d´efinissable.

— le maximum des dimensions des W_i dans la d´ecomposition de A₁ (respectivement A₂) est appel´e dimension de A1 (respectivementA2).

— pour chaquei, dimWi = dimWi Zar.

Proposition 5.2.3.0.6 (Extension alg´ebrique uniforme, [68, Proposition 4.2.2])

SoitY un ensemble définissable et g∈Cêxp(X) oùX⊂Y ×VF^l est un définissable. Soit k≤l. Pour tout F ∈Loc⁰₁, on note AF le complémentaire dans XF du lieu des zéros de gF.

En ce cas, il existe un ensemble d´efinissable C⊂Y ×VF^l, tel que pour tout F ∈Loc⁰₁ ety ∈YF :

— C_F,y est un ferm´e de Zariski de F^l de dimension au plus k,

— dimA_F,y^Zar≤k si et seulement si A_F,y^Zar⊂C_F,y. L’ensemble des y tel que dimA_F,y^Zar≤k est un C^exp-locus.

Cluckers–Loeser [74] puis Cluckers–Gordon–Halupczok [56, 60, 67] obtiennent des propri´et´es de transfert

a la Ax-Kochen/Ershov : une condition de classe Cêxp dépend uniquement du corps résiduel sous réserve que celui-ci soit de caractéristique suffisamment grande. Plus précisément :

Théorème 5.2.3.0.7 (Théorème de transfert à la Ax-Kochen/Ershov [74, 67])

Soit P(x) une condition de classe Cêxp sur un définissable X. Il existe un entier M, tel que pour tout corps F ∈Loc de caractéristique résiduelle supérieure à M, la propriété suivante est satisfaite : Si la propriété P_F,ψ(x) est satisfaite pour tout ψ ∈ D_F et pour tout x ∈ X_F, alors pour tout F⁰ ∈ Loc dont le corps résiduel est isomorphe à celui de F, la propriétéP_F⁰_,ψ(x)est satisfaite pour tout ψ∈ D_F⁰ et pour tout x∈X_F⁰.

Exemple 5.2.3.0.8 ([60]). Le principe de transfert ci-dessus ne marche pas pour un ´enonc´e du type

∀x∈VFF ∃y∈ O_F ψF(x) =ψF(y).

En effet, l’image deψ(O_F) est l’ensemble des racinesp_F-ième de l’unité oùp_F est la caractéristique résiduelle de F. Si F est de caractéristique p (par exemple Fp((t))) alorsψ(F) est l’ensemble des racines p-ièmes de l’unité, alors que si F est de caractéristique 0 (par exemple Qp) alorsψ(F) contient les racinesp^r-ièmes de l’unité, et cela pour toutr >0.

5.2. ANALYSE UNIFORME EN LE CORPS LOCAL NON-ARCHIM ´EDIEN 93

Cet exemple montre que si l’on souhaite préserver la propriété du transfert, il ne faut pas élargir la classe des conditions de classeCêxp par une classe close par quantification existentielle et même sous la négation.

5.2.4. Exemples de locus en analyse non-archimédienne. Nous donnons ci-dessous des exemples importants de locus en analyse non-archimédienne, ils seront notamment utilisés à la section 6.2.

Proposition 5.2.4.0.1 (Constance locale [60]). Soit X et Y deux ensembles d´efinissables deVFⁿ pour n >0. Soitf ∈C^exp(X×Y).

1. L’ensemble des x∈X tel que la fonction y7→f(x, y) est localement constante est unC^exp-locus.

2. L’ensemble des (x, y) ∈ X ×Y tel que la fonction f(x, .) est constante sur un voisinage de y est un Cêxp-locus. De plus le rayon de constance peut être choisi de manière définissable : il existe une fonction définissable r :X×Y → VG telle que F ∈Loc1, pour tout ψ ∈ D_F, pour tout x ∈ X_F et pour touty ∈YF, si la fonction fF,ψ(x, .) est constante sur un voisinage de y, alors elle est constante sur l’intersection de Y_F avec la boule de rayon valuatif r_F(x, y) centrée en y.

Considérons la mesure de Haar surF telle queO_F soit de mesure égale à 1 et la mesure de comptage sur les sortes RFm,F etZ. Pour tout définissable X ⊂VF^∗×RF^∗_∗×Z^∗, on considère la mesure surXF induite par la mesure sur VF^∗_F ×RF^∗_∗×Z^∗.

Théorème 5.2.4.0.2 (Intégration [67]). Soit X etY deux ensembles définissables et f ∈Cêxp(X×Y).

1. L’ensemble des x tel que y7→f(x, y) estL¹-int´egrable sur Y est un C^exp-locus.

2. Il existe une fonction I ∈C^exp(X) tel que I(x) =

y∈Y

f(x, y)dy

d`es que y7→f(x, y) estL¹-int´egrable sur Y.

Proposition 5.2.4.0.3 (Familles de fonctions de Schwartz-Bruhat de classe Cêxp [68]) Soit Y et W ⊂Y ×VFⁿ des ensembles définissables, avecn≥0. Soit ϕ∈Cêxp(W).

— La collection (Sch(ϕ, Y)F)_F_∈Loc⁰ d´efinie par Sch(ϕ, Y)_F :=

y∈Y_F WF,y est une sous-vari´et´e C¹-stricte et

ϕ_F(y,·) est une fonction de Schwartz-Bruhat sur W_F,y

est un C^exp-locus.

— S’il est non-vide, il existe M_ϕ > 0 et des fonctions d´efinissables α⁺ : Y → Z et α⁻ :Y → Z tel que pour tout F ∈Loc⁰_M_ϕ et pour tout y∈Sch(ϕ, Y)F :

• la fonctionϕ_F(y,·) est constante sur tout ensemble de la forme W_y∩B o`uB⊂Fⁿ est une boule de rayon valuatif α⁺_F(y).

• la fonctionϕ_F(y,·) est support´ee par la boule de rayon valuatifα⁻_F(y).

Remarque 5.2.4.0.4. Plus g´en´eralement, Cluckers–Gordon–Halupczok [56, 60, 67] montrent que :

— La classe des fonctions de classe Cêxp est stable, par intégration, approximation, limite ponctuelle, prolongement par continuité, limite uniforme et limite L^p, transformée de Fourier.

— Les propriétés suivantes des fonctions de classeCêxp sont des locus et ont la propriété de transfert à la Ax-Kochen/Ershov : constance, constance locale, intégrabilité L¹, L², L^∞, être borné, être de limite nulle, existence d’une limite ponctuelle, continuité, existence de limite uniforme, L²,L^∞.

— Etre une fonction de classe Cêxp ou un Cêxp-locus implique les propriétés suivantes : le principe de transfert pour les Cêxp-loci, l’uniformité des bornes en le corps, la vitesse de convergence des limites ponctuelles, l’implication “convergence L^p ⇒convergence ponctuelle”.

5.3. Int´egration motivique et fonctions constructibles motiviques

Comme expliqué dans l’introduction de la partie I, l’intégration motivique a été introduite par Kontsevich [152] comme analogue sur k[[t]] de l’intégration p-adique, pour k un corps de caractéristique zéro. Elle a ensuite été développée par Denef–Loeser et Batyrev au niveau géométrique [12, 87] via les espaces d’arcs et au niveauarithmétique [89] via l’anneau de Grothendieck des formules.

A l’aide de la th´` eorie des modèles, Cluckers–Loeser [69, 70, 72, 73, 74] dans le cas hensélien puis Hrushovski-Kazhdan [139] dans le cas des corps valués algébriquement clos, ont ensuite défini un cadre très général de l’intégration motivique, permettant notamment de considérer des intégrales motiviques à paramètres avec exponentielles, de prouver des résultats de spécialisation et de transfert sur les corps locaux et de retrouver les intégrales motiviques géométrique et arithmétique.

Dans cette section nous présentons les constructions et résultats de Cluckers–Loeser [73, 74] utilisées dans le Chapitre 7. Pour une plus ample introduction, on pourra se référer à [170, 71, 65] et [120].

5.3.1. Langage de Denef–Pas, Presburger. Soit kun corps de caractéristique zéro. On note Fieldkla catégorie des corps contenant k. Pour tout corps K∈Field_k, on considère le corps K((t)) muni de

— lavaluation naturelle ord :K((t))\ {0} −→Z´etendue par ord 0 = +∞,

— l’application composante angulaire ac :K((t))→Kd´efinie par

ac(x) =xt⁻^ord^x mod tsi x6= 0 et ac(0) = 0.

Comme dans le cas d’un corps local non-archim´edien §5.2.1.0.1, on utilise le langage de Denef–Pas [201]

L_DP,P= (L_Val,L_Res,L_Ord,ord,ac)

où les sortes correspondent respectivement aux variables ducorps valué,corps résiduel etgroupe des valeurs.

Les langagesLVal etLRes sont le langage des anneauxLRings= (+,−,·,0,1) et le langageLOrd est le langage de Presburger

L_PR={+,−,0,1,≤} ∪ {≡_n|n∈N, n >1}

où le symbole≡_nest interprété comme la relation d’équivalence de congruence modulon. Les symboles ord et ac seront interprétés respectivement comme la valuation et la composante angulaire, tel que pour toutK dans Field_k le triplet (K((t)),K,Z) est une structure pourL_DP,P. Nous ajoutons aussi d’autres symboles de constantes dans les sortes Val et Res pour les éléments de k((t)) et k.

Nous travaillerons avec la LDP,P-théorie Hac,0 des structures dont le corps valué est hensélien, à corps résiduel de caractéristique zéro, et à groupe des valeursZ. Cette théorie satisfait l’élimination des quantifi-cateurs dans les sortes corps valué (Denef–Pas [201]) et groupe des valeurs (Presburger [209]) :

Théorème 5.3.1.0.1 (Elimination des quantificateurs [201, 209]). La théorie Hac,0 admet l’élimination des quantificateurs dans la sorte corps valué. Toute formule φ(x, ξ, α) dans le langage-LDP,P, de variables x dans la sorteVal,ξ dans la sorteRes, α dans la sorteOrd et sans quantificateurs en les variablex estH_ac,0-équivalente à une disjonction finie de formules de la forme

ψ(acf₁(x), ...,acf_k(x), ξ)∧η(ordf₁(x), ...,ordf_k(x), α)

avec ψ uneLRes-formule, η une LOrd-formule sans quantificateurs et f1, ..., fk polynˆomes dans Z[x].

5.3. INT ´EGRATION MOTIVIQUE ET FONCTIONS CONSTRUCTIBLES MOTIVIQUES 95

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