Dans ce chapitre nous pr´esentons le contexte et les r´esultats de l’article [156] concernant le calcul des invariants motiviques stringy des vari´et´es horosph´eriques de complexit´e 1 et `a singularit´es log-terminales.
Aux sections 4.1 et 4.2, nous commen¸cons par rappeler les notions devari´et´eQ-Gorenstein `a singularit´es log-terminales et d’invariants motiviques stringy(1) de ces vari´et´es. Ces invariants introduits par Batyrev [12] sont utilis´es en sym´etrie miroir et fournissent des crit`eres de lissit´e pour certaines vari´et´es alg´ebriques (§4.4.2.4 et §4.4.3.2). Ils ont notamment ´et´e ´etudi´es par Denef–Loeser [92] en lien avec la correspondance de McKay, par Yasuda [253], par Veys [245, 246, 247] et Schepers–Veys [226].
A la section 4.3, nous pr´` esentons le calcul classique ([12, 15]) de ces invariants dans le cas d’une vari´et´e torique. Enfin `a la section 4.4 nous traitons le cas d’une vari´et´e horosph´erique. Le cas de la complexit´e 0, aussi appel´e plongement horosph´erique a ´et´e trait´e par Batyrev–Moreau [15] et celui de la complexit´e 1 a
´et´e trait´e dans l’article [156] en commun avec K. Langlois et C. Pech.
4.1. Vari´et´es de type Q-Gorenstein 4.1.1. Diviseurs.
D´efinition 4.1.1.0.1 (Diviseurs de Weil et diviseurs de Cartier). Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe irr´eductible et normale.
— Undiviseur de Weil surX est une somme formelle finie D=P
niDi o`u lesni sont des entiers relatifs et les Di sont des sous-vari´et´es irr´eductibles deX de codimension 1 appel´eesdiviseurs premiers.
— Le diviseur principal associ´e `a une fonction rationnelle f ∈C(X)∗ est le diviseur de Weil
div(f) = X
Ddiviseur premier deX
OrdD(f).D
o`u pour tout diviseur premierD, OrdD :OX,D→Zest la valuation discr`ete sur l’anneau OX,D={g∈C(X)|g est d´efinie sur U ⊂X etU∩D6=∅}
valuation induite par la normalit´e de X. L’entier OrdD(f), appel´eordre d’´evanescence def le long de D, est nul sauf pour un nombre fini de diviseurs premiers D.
— Un diviseur de Cartier D sur X est un diviseur de Weil qui est localement principal : il existe une famille finie (Ui, fi) o`u chaque Ui est un ouvert de X avec X = ∪iUi et chaque fi est une fonction rationnelle d´efinie sur l’ouvertUi telle que D|Ui = div(fi).
1. Nous choisissons d’´ecrireinvariants motiviques stringy plutˆot queinvariants motiviques des cordes.
— Un diviseur de Weil D est dit Q-Cartier, s’il existe un entier m ∈ N∗ tel que mD est un diviseur de Cartier.
Th´eor`eme 4.1.1.0.2. Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe irr´eductible et normale. Si X est lisse (ou X est normale et pour tout x ∈X l’anneau des germes OX,x est factoriel), alors tout diviseur de Weil est de Cartier.
Exemple 4.1.1.0.3. Soit X le cˆone d´efini par l’´equationxy =z2 dansA3C. La droite D={y=z= 0} est un diviseur de Weil de X, mais ce n’est pas un diviseur de Cartier car elle est donn´ee par deux ´equations.
N´eanmoins 2.D est un diviseur de Cartier, notamment 2.D|x6=0 est le diviseur de la fonction y sur l’ouvert X∩(x6= 0), cary=z2/x.
D´efinition 4.1.1.0.4 (Diviseur canonique). Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe irr´eductible et normale de dimensionn.
— On supposeX lisse. En ce cas, le OX-module ΩnX des n-formes sur X est localement de rang 1 et on d´efinit undiviseur canoniqueKX de X(`a ´equivalence lin´eaire pr`es) comme le diviseur form´e des z´eros et pˆoles d’une n-forme diff´erentielle.
— On suppose que X est singuli`ere. Comme la vari´et´e X est suppos´ee normale, la codimension du lieu singulier Xsing est sup´erieure ou ´egale `a 2. En ce cas tout diviseur de Weil sur X est d´etermin´e de mani`ere unique par sa restriction `a X \Xsing. Par cons´equent, le diviseur canonique sur la vari´et´e normale X est d´efini par KX = KX\Xsing o`u si KX\Xsing = P
aiEi alors KX = P
aiEi. Bien que KX\Xsing soit de Cartier sur le lieu lisse, son adh´erence n’est pas n´ecessairement de Cartier.
Exemple 4.1.1.0.5. SoitX=P1. On consid`ere la forme diff´erentielleωqui au voisinage de 0 s’´ecritω=dz et au voisinage de l’infini s’´ecrit ω =−x12dx o`u x= 1z. Cette forme ne s’annule pas et a un unique pˆole, le point ∞qui est d’ordre 2. On en d´eduit que KP1 =−2.∞. Plus g´en´eralement,KPn=−(n+ 1).H∞. 4.1.2. Vari´et´e Q-Gorenstein.
D´efinition 4.1.2.0.1 (Vari´et´e (Q)-Gorenstein). Une vari´et´e alg´ebrique normale X sera dite Goren-stein(2) (Q-Gorenstein) si son diviseur canonique KX est Cartier (Q-Cartier).
Exemple 4.1.2.0.2. Quelques exemples :
— Toute intersection compl`ete est Gorenstein [102, Corollary 21.19].
— On consid`ereA2C muni de l’action diagonale du groupe des racines de l’unit´eµ3 : ε.(x, y) := (εx, εy).
L’anneau des fonctions r´eguli`eres de A2Cqui sont µ3-invariantes est C[x3, x2y, xy2, y3]. On note X=A2C/µ3 = Spec(C[x3, x2y, xy2, y3]) = Spec(C[u1, u2, u3, u4]/(u1u3−u22, u2u4−u23, u1u4−u2u4)).
Dans ce cas : KX ={u1 =u2 =u3 = 0} n’est pas un diviseur de Cartier, mais 3KX ={u1 = 0} est Cartier ([218, Example 1.8]).
2. Par abus, nous disons iciGorensteinau lieu deQ-Gorenstein d’indice 1.
4.2. INVARIANTS MOTIVIQUES STRINGY DES VARI ´ET ´ES `A SINGULARIT ´ES LOG-TERMINALES 69
4.1.3. Singularit´es log-terminales.
D´efinition 4.1.3.0.1 (Log-r´esolution et diviseur canonique relatif )
SoitX une vari´et´e Gorenstein de dimensiond. Soith:X0 →Xune log-r´esolution deX :hest propre, X0 est lisse, il existe un ferm´e F de X contenant le lieu singulier Xsing tel queE =h−1(F) est un diviseur
`
a croisements normaux deX0 dont on note (Ei)i∈A les composantes irr´eductibles eth:X0\E→X\F est un isomorphisme. CommeKX est un diviseur de Cartier de donn´ees (Ui, fi), le pull-back h∗KX a un sens en consid´erant (h−1(Ui), fi◦h). Le diviseur canonique relatif est alors d´efini comme
KX0|X =KX0 −h∗KX =X
i∈A
(ai−1)Ei.
SiX est Q-Gorenstein alors il existe un entier r >0 tel que rKX est de Cartier et on consid`ere rKX0|X =rKX0−h∗rKX =X
i∈A
r(ai−1)Ei, avec ai −1 ∈ 1rZ. De mani`ere g´en´erale, on ´ecrira simplement KX0|X = P
i∈A(ai −1)Ei. Les rationnels ai
sont appel´eslog-discr´epences.
Remarque 4.1.3.0.2. Lorsque X est lisse alors KX0|X = div Jac(h) o`u le diviseur Jac(h) est d´efini `a la Remarque 1.3.0.0.4.
D´efinition 4.1.3.0.3. Une vari´et´e (Q)-Gorenstein X a des singularit´es au plus log-terminales s’il existe une log-r´esolution telle que pour tout i∈A,ai >0. On dira simplement que X est log-terminale.
Remarque 4.1.3.0.4. Quelques remarques, on pourra se r´ef´erer `a la synth`ese [151].
— Cette notion ne d´epend pas de la log-r´esolution.
— Si X est lisse alors pour tout i∈A,ai ≥2.
— Les singularit´es deX sont diteslog-canoniques,canoniques etterminales si respectivement, pour tout i∈A,ai ≥0, ai ≥1,ai >1.
— Si l’un des ai<0 alors on peut construire une log-r´esolution avec un ai arbitrairement n´egatif.
Exemple 4.1.3.0.5 ([247,§7.5]). Soitk >1 etX={xk1+· · ·+xkd+1= 0}une vari´et´e alg´ebrique deAd+1C .
— L’origine est l’unique point singulier de X et l’´eclatement `a l’origineh:X0 →X est une r´esolution de X. Le lieu exceptionnel a une unique composante irr´eductibleEisomorphe `a{xk1+· · ·+xkd+1 = 0} ⊂Pd.
— La multiplicit´e aE de E estd+ 1−k.
— X est log-terminale quandk < d+ 1.
Nous concluons ces rappels par les r´esultats de Ein, Mustat¸˘a et Yasuda :
Th´eor`eme 4.1.3.0.6 ([178, 100, 101]). Soit X une vari´et´e normale qui est localement une intersection compl`ete. Alors X a des singularit´es terminales, canoniques et log-canoniques si et seulement si pour tout entiern, l’espace des jets Ln(X) est respectivement normal, irr´eductible et ´equidimensionnel.
4.2. Invariants motiviques stringy des vari´et´es `a singularit´es log-terminales
Nous rappelons les d´efinitions et propri´et´es desinvariants motiviques stringy des vari´et´esQ-Gorenstein `a singularit´es log-terminales. Ces invariants introduits par Batyrev [12, 14] sont utilis´es en sym´etrie miroir et fournissent des crit`eres de lissit´e pour certaines vari´et´es alg´ebriques (§4.4.2.4 et§4.4.3.2). Ils ont notamment
´et´e ´etudi´es par Denef–Loeser [92] en lien avec la correspondance de McKay [14], par Yasuda [253] et par Veys [245, 246, 247] et Schepers–Veys [226].
D´efinition 4.2.0.0.1. Soit X une vari´et´e alg´ebrique normaleQ-Gorenstein `a singularit´es log-terminales.
Soit h : X0 → X une log-r´esolution de X, on note (Ei)i∈A l’ensemble des composantes irr´eductibles du diviseur exceptionnel et la famille (ai)i∈A de (Q∗)|A| des log-discr´epences :
KX0/X :=KX0 −h∗KX =X
Batyrev exprime le volume motivique stringy comme une int´egrale motivique et par application de la formule de changement de variables, il prouve l’ind´ependance en le choix de la r´esolution ([12, Theorem 6.28] et [15, Proposition 1.6]) :
Th´eor`eme 4.2.0.0.2. Le volume motivique stringy est ´egal `a
(4.2.0.0.2.1) Est(X) =
Remarque 4.2.0.0.3. Denef–Loeser [92,§3] et Yasuda [253,§2.5] montrent qu’il existe un faisceau d’id´eaux IX sur X tel que
Est(X) = Z
L(X)
L−ordIXdX. Ceci d´efinit le volume motivique stringy de mani`ere intrins`eque.
Remarque 4.2.0.0.4 ([247, §7.11]). Si X est lisse alors Est(X) est ´egal `a la classe [X], c’est-`a-dire au volume motivique de X. N´eanmoins dans le cas singulier Est(X) est diff´erent du volume motivique de L(X). Par exemple pour la vari´et´e X ={xk1 +. . . xkd+1 = 0} ⊂Ad+1 de l’Exemple 4.1.3.0.5, nous avons les
´egalit´es
Est(X) = (L−1)[E] + [E] L−1
Ld+1−k−1, mes(L(X)) = (L−1)[E] + [E]L−1
Ld−1, [X] = (L−1)[E] + 1.
Remarque 4.2.0.0.5. Quelques remarques sur les propri´et´es des invariants stringy [12].
— est(X)∈Q.
4.3. LE CAS D’UNE VARI ´ET ´E TORIQUE 71
— Est(X) est une fonction rationnelle en puissances fractionnaires de u etv qui ne d´epend pas du choix de la r´esolution. Par ailleurs si h : X0 → X est une r´esolution cr´epante (c’est-`a-dire h∗KX = KX0) alorsEst(X) =H(X0). En particulier Est(X) est un polynˆome. Par contrapos´ee on dispose ainsi d’un crit`ere pour prouver queX n’admet pas de r´esolution cr´epante ([147], [54], [55]).
— Batyrev prouve une dualit´e de Poincar´e
Est(X)(u, v) = (uv)dimXEst(X)(u−1, v−1) etEst(X,0,0) = 1.
En ´ecrivantEst(X)(u, v) =P
p,qap,qupvq, les nombres de Hodge stringy sont d´efinis par hp,qst = (−1)p+qap,q.
Ils satisfont : h0,0st (X) = hd,dst (X) = 1 et hp,qst (X) = hq,pst (X) pour toutp, q.
— Nous avons les sp´ecialisationsEst(X)7→Est(X)7→est(X).
— Quand X est non singulier
Est(X) = [X], Est(X) = H(X) et est(X) =χc(X).
Ainsi, les invariantsEst,Est etest g´en´eralisent [.], H etχcmais ils ne sont pas additifs et multiplicatifs.
4.3. Le cas d’une vari´et´e torique
SoitX une vari´et´e torique normale de dimension dassoci´ee `a un ´eventail poly´edral rationnel Σ, contenu dansNR=N⊗Ro`uN est un groupe ab´elien libre de rangd. On note|Σ|la r´eunion de tous les cˆones de Σ.
Nous rappelons le crit`ere classique (voir par exemple la synth`ese [79]) : la vari´et´e X est Q-Gorenstein si et seulement si il existe une fonction support (associ´ee `a un diviseur canonique deX)ωX :|Σ| →R continue, qui satisfait les conditions
1. ωX(e) =−1 pour tout vecteur primitif `a coefficients entiers des cˆones de dimension un de Σ, 2. ωX est lin´eaire sur chaque cˆone de Σ.
Rappelons le r´esultat classique de d´esingularisation torique (voir par exemple [146, Prop 5-2-2])
Proposition 4.3.0.0.1. SoitX une vari´et´e torique normale associ´ee `a un ´eventail poly´edral rationnelΣ. Il existe une d´esingularisationh:X0→XdeX, d´efinie par une subdivisionΣ0de l’´eventailΣ. Les composantes irr´eductiblesD1, . . . , Drdu diviseur exceptionnel Ddu morphisme birationnelhsont `a croisements normaux et ils sont en correspondance bijective avec les vecteurs primitifs e01, . . . , e0r des cˆones σ0 ∈Σ0 de dimension 1 qui n’appartiennent pas `a Σ. De plus on a la formule
(4.3.0.0.1.1) KX0 =h∗KX +
r
X
i=1
(−ωX(e0i)−1)Di. On en d´eduit le corollaire :
Corollaire 4.3.0.0.2. Toute vari´et´e torique Q-Gorenstein a des singularit´es au plus log-terminales.
Batyrev calcule le volume motivique stringy d’une vari´et´e toriqueQ-Gorenstein.
Th´eor`eme 4.3.0.0.3 ( [12, Theorem 4.3], [15, Theorem 4.3]). Soit X une vari´et´e torique Q-Gorenstein, de r´eseau N, d’´eventailΣ et de fonction supportωX. Le volume motivique stringy de X est alors ´egal `a (4.3.0.0.3.1) Est(X) = (L−1)dimX X
n∈|Σ|∩N
LωX(n).
D´emonstration. Batyrev [12] prouve le r´esultat en travaillant sur la log-r´esolutionh:X0 →Xde la proposi-tion pr´ec´edente. Batyrev–Moreau [15] utilisent les espaces d’arcs et l’int´egration motivique pour red´emontrer ce r´esultat et le g´en´eraliser au cas des plongements horosph´eriques. Nous expliquons la trame de leur preuve.
On consid`ere la r´esolution h de la proposition pr´ec´edente. L’ensemble des C-points rationnels de l’espace d’arcsL(X0) deX0 est identifi´e `aX0(O), o`uO:=C[[t]]. Le toreT(O) agit naturellement surX0(O)∩T(K), o`u K est le corps des fractions de O, et X0(O) et T(K) sont consid´er´es comme des parties de X0(K).
Dans l’article [143] Ishii ´etudie l’espace d’arcs d’une vari´et´e torique et prouve que l’ensemble des orbites de X0(O)∩T(K) est en bijection avec|Σ| ∩N. Elle proc`ede comme suit : tout arcϕ∈X0(O)∩T(K) est associ´e contenantn, l’orbiteCn associ´ee `an est un cylindre et sa mesure motivique est
(4.3.0.0.3.2) mes(Cn) = (L−1)dL−
La formule (4.3.0.0.3.1) est alors obtenue en montrant, `a l’aide des ´equations (4.3.0.0.1.1 et 4.3.0.0.3.2), l’´egalit´e
D´efinition 4.4.1.0.1 (Espace homog`ene horosph´erique). Soit G un groupe alg´ebrique r´eductif connexe et H ⊂G un sous-groupe ferm´e. L’espace homog`ene G/H est dit horosph´erique si H contient un sous-groupe unipotent maximal deG.
Notations 4.4.1.0.2. Nous introduisons les notations usuelles associ´ees `a un espace homog`ene ho-rosph´erique G/H. Nous nous appuyons pour cela sur la pr´esentation de [15,§2].
— On choisit et on noteraU l’un des sous-groupes unipotents maximal de Gcontenu dansH.
— On noteP le normalisateurNG(H) deHdansG. C’est un sous-groupe parabolique deGet le quotient P/H est un tore alg´ebrique que l’on note T.
— Le normalisateur NG(U), not´e B, est un sous-groupe de Borel deG.
— L’espace homog`ene G/H peut alors ˆetre d´ecrit comme un fibr´e principalφ:G/H →G/P de fibre T. La dimensionr du tore Test appel´e rang de l’espace homog`ene horosph´erique G/H.
— On noteraM le r´eseau des caract`eres deT etN = Hom(M,Z) le r´eseau dual.
— SoitRl’ensemble des racines simples de (G, B) par rapport `a un tore maximal deB. SoitW le groupe de Weyl engendr´e par les r´eflexions (rα)α∈R. Il existe une bijection I 7→ PI qui a une partie I de R associe un sous-groupe parabolique PI de G contenant B et tel que PI = BWIB o`u WI est le sous-groupe de W engendr´e par les r´eflexions (rα)α∈I ([232, Theorem 8.4.3], [203, Proposition 2.4]). Par exemple, nous avonsP∅=B etPR=G. On noteraIP la partie de Rtelle que PIP =P.
4.4. LE CAS HOROSPH ´ERIQUE 73
— On note U0 ⊂ G/P laB-orbite ouverte dense. On note (Γα)α∈R\IP les composantes irr´eductibles du compl´ementaire (G/P)\U0. Pour tout α ∈ R \IP, on note ∆α l’image inverse φ−1(Γα). La famille (∆α) est une famille de diviseurs qui est l’ensemble des composantes irr´eductibles du compl´ementaire dansG/H de laB-orbite ouverte denseUf0 isomorphe au produit U0×T.
Exemple 4.4.1.0.3. Par exemple dans le cas G= GL4(C) on choisit :
— B ´egal au sous-groupe deGdes matrices triangulaires sup´erieures (inversibles).
— le tore maximal ´egal au sous-groupe de Gdes matrices diagonales (inversibles).
— le sous-groupe horosph´erique En ce cas le sous-groupe paraboliqueP est
P =NG(H) =
D´efinition 4.4.1.0.4 (Plongements horosph´eriques et vari´et´es horosph´eriques) UneG-vari´et´e normale X est :
— un plongement horosph´erique s’il existe une G-orbite ouverte isomorphe (de mani`ere G-´equivariante)
`
a un espace homog`ene horosph´erique G/H. On dira dans ce cas queX est unG/H-plongement.
— unevari´et´e horosph´eriquesi chacune de ses orbites est isomorphe de mani`ereG-´equivariante `a un espace homog`ene horosph´erique : pour chaque orbiteOx, le stabilisateurHx est un sous-groupe horosph´erique de G.
— de complexit´e r si r est le minimum des codimensions de ses G-orbites.
Remarque 4.4.1.0.5. Quelques remarques :
— Il y a ´equivalence entre les notions de vari´et´e horosph´erique de complexit´e 0 et plongement ho-rosph´erique ([242, Remark 7.2]).
— Dans le cas o`uG=TetH={eG}, une vari´et´e horosph´erique de complexit´e 0 est une vari´et´e torique.
— La th´eorie des vari´et´es horosph´eriques (et plus g´en´eralement celle des plongements des espaces ho-mog`enes), a ´et´e initi´ee par les travaux de Luna–Vust [172] (dans le prolongement de ceux de Popov et Vinberg [208], [250]). Nous renvoyons le lecteur `a l’ouvrage de synth`ese de Timashev [242].
LesG-vari´et´es horosph´eriques sont classifi´ees `aG-´equivariance birationnelle pr`es par le th´eor`eme de Knop [148] (voir [242, Proposition 7.7]) :
Th´eor`eme 4.4.1.0.6. Soit X une G-vari´et´e horosph´erique de complexit´e r. Il existe une G-vari´et´e Z = C×G/H et une application birationnelle G-´equivariante Z 99KX, o`u H est un sous-groupe horosph´erique de G, C est une vari´et´e lisse et G agit par multiplication `a gauche sur G/H et trivialement sur C. La dimension deC est ´egale `a la complexit´er de l’action de GsurX. La vari´et´eX contient un ouvertG-stable qui s’identifie `a Γ×G/H ⊂Z, o`uΓ⊂C est un ouvert dense.
4.4.2. Le cas des plongements horosph´eriques. Dans cette section nous rappelons les r´esultats de Batyrev–Moreau [15] qui ´etendent au cas des plongements horosph´eriques le Th´eor`eme 4.3.0.0.3. En utilisant les Notations 4.4.1.0.2, nous rappelons la description combinatoire d’un plongement horosph´erique.
4.4.2.1. Description combinatoire d’un plongement horosph´eriqueX. Les plongements horosph´eriques sont des exemples de vari´et´es sph´eriques et g´en´eralisent les vari´et´es toriques. Par la th´eorie de Luna–Vust [172], tout plongement G-´equivariant G/H ,→ X d’un espace homog`ene horosph´erique G/H peut ˆetre d´ecrit de mani`ere combinatoire par un ´eventail colori´e Σ duR-espace vectorielNR:=N ⊗ZRde dimensionr.
— On note DX ={D1, . . . , Dt} l’ensemble des diviseurs irr´eductibles G-stables deX.
— `A tout diviseur irr´eductible D de X, on associe une valuation vD : C(X)∗ → Z d´efinie sur le corps des fonctionsC(X) et qui s’annule sur C∗. La restriction de vD au quotient C[Uf0]/C∗ 'M induit un
´el´ementρD du r´eseau dualN. On consid`ere alors l’application ρ:{∆α|α∈ R \IP} ∪DX →N o`u pour tout α∈ R \IP,ρα=ρ(∆α) et pour touti,ρi =ρ(Di).
— Soit O une G-orbite de X. On appellecˆone colori´e de O la paire (σO,FO) o`u FO ={α ∈ R \IP |O ⊂∆α}
appel´ecouleur etσOest le cˆone convexe deNRengendr´e par{ρα|α ∈ FO}et{ρi |O ⊂Di}. L’´eventail colori´e Σ de X est la collection des cˆones colori´es (σO,FO) o`uO parcourt l’ensemble des G-orbites de X. L’application X →Σ est une bijection entre les classes d’isomorphismes des G/H-plongements et les ´eventails colori´es Σ deNR ([172, Proposition 8.10], [149, Theorem 3.3]).
— Un G/H-plongement X est dit toro¨ıdal si l’´eventail Σ n’a pas de couleurs. Dans ce cas on construit un plongement horosph´erique XΣ associ´e comme suit. On commence par consid´erer la vari´et´e torique YΣ d’´eventail Σ, c’est un T-plongement. Par application de l’´epimorphisme P →T on peut consid´erer YΣ comme uneP-vari´et´e. Par cons´equentXΣ est isomorphe au quotient (G×YΣ)/P o`u l’action deP surG×YΣ est donn´ee par p(g, y) = (gp−1, py) pour tout (p, g, y)∈P×G×YΣ. On dispose alors d’un morphisme surjectif Φ :XΣ →G/P dont les fibres sont isomorphes `a la vari´et´e toriqueYΣ. Si l’on note U0 laB-orbite ouverte de G/P, la fibration Φ : Φ−1(U0)→U0 est triviale.
— Brion [34, §3.3] montre que pour tout plongement horosph´erique X, il existe uneG-vari´et´e toro¨ıdale X˜ et une application birationnelle propre G-´equivariante f : Xe → X. La vari´et´e Xe est obtenue en consid´erant la vari´et´e toro¨ıdale associ´ee `a l’´eventail colori´e Σ associ´e `a X et `a qui l’on a ˆot´e les couleurs. Intuitivement ([237]), X est un G/H-plongement, il existe donc une application rationnelle ϕe: X 99KG/P qui ´etend la surjection naturelleϕ :G/H → G/P. Le morphismef est alors obtenu en r´esolvant le lieu d’ind´etermination deϕ, c’est-`e a-dire en ´eclatant certainesG-orbites deX contenues dans le compl´ementaire de G/H, ce sont pr´ecis´ement les diviseurs (∆α)α∈R\IP.
4.4.2.2. DiviseursKX,KX0|X et fonctionωX. Batyrev–Moreau [15] calculent le volume motivique stringy d’unG/H-plongement. Ils utilisent pour cela certains r´esultats et constructions de Brion.
Proposition 4.4.2.2.1 ([35,§4.1], [32, Theorem 4.2]). Soit X un G/H-plongement.
Le diviseur canonique deX est
KX = X
α∈R\IP
−aα∆α+
t
X
j=1
−Dj
o`u D1, . . . , Dt sont les composantes irr´eductibles du compl´ementaire dans X de la G-orbite ouverte dense et pour tout α ∈ R \IP, ∆α est l’adh´erence de Zariski de ∆α dans X et aα est un entier canoniquement associ´e `a α.
4.4. LE CAS HOROSPH ´ERIQUE 75
Brion g´en´eralise le crit`ereQ-Gorenstein du cas torique (4.3) au cas d’un plongement horosph´erique : D´efinition-Proposition 4.4.2.2.2 ([35, Proposition 4.1]). Soit X un plongement horosph´erique et Σ⊂ NR son ´eventail colori´e associ´e. La vari´et´e X est Q-Gorenstein si et seulement si il existe une fonction continueωX :|Σ| →R satisfaisant
— ωX(eτ) =−1 pour tout g´en´erateur primitif entiereτ d’un rayon non colori´e τ de Σ,
— ωX(ρα) = −aα pour tout cˆone colori´e, (σ,F) de Σ et α ∈ F, o`u aα est un entier canoniquement associ´e `a α ([15,§4]),
— ωX est lin´eaire sur chaque cˆoneσ∈Σ.
Dans le cas o`u X est un plongement horosph´erique Q-Gorenstein, Batyrev–Moreau [15, Proposition 4.2] construisent une d´esingularisation f0 : X0 → X et calculent le diviseur canonique relatif KX0|X. Le morphisme f0 est un morphisme birationnel propre G-´equivariant o`u X0 est un plongement horosph´erique lisse dont l’´eventail (non colori´e) Σ0 est obtenu `a partir de Σ en retirant les couleurs et en subdivisant.
Proposition 4.4.2.2.3. Soit X une vari´et´eQ-Gorenstein et f :X0 →X la r´esolution ci-dessus.
Le diviseur canonique relatif est divi-seur KX0|X est un diviseur `a croisements normaux et X est `a singularit´es au plus log-terminales.
4.4.2.3. Volume motivique stringy d’un plongement horosph´erique Q-Gorenstein. A l’aide de tout ce qui` pr´ec`ede et de la strat´egie de preuve du cas torique (Th´eor`eme 4.3.0.0.3) Batyrev–Moreau calculent le volume motivique stringy d’un G/H-plongementQ-Gorenstein.
Th´eor`eme 4.4.2.3.1 ([15, Theorem 4.3]). SoitG/H ,→X un plongement horosph´erique Q-Gorenstein de cˆone colori´eΣet soitωX la fonction d´efinie `a la D´efinition 4.4.2.2.2. Le volume motivique stringy deX est
Est(X) = [G/H] X
n∈|Σ|∩N
LωX(n).
D´emonstration. La preuve est similaire au cas torique (Th´eor`eme 4.3.0.0.3). On identifieG/H avec l’orbite ouverte deX0 correspondante. TouteG(O)-orbite deX0(O) non contenue dans (G/H)(K) est un ensemble de mesure motivique nulle. On obtient alors l’´egalit´e
Est(X) = Z
X0(O)L−ordKX0|XdX0 = Z
X0(O)∩(G/H)(K)L−ordKX0|XdX0
De mani`ere similaire au cadre torique,X0(O)∩(G/H)(K) est une union disjointe deG(O)-orbites et il existe une application surjective
v :X0(O)∩(G/H)(K)→ Σ0
∩N =|Σ| ∩N
o`u pour tout n ∈ |Σ| ∩N, la fibre v−1(n) est une G(O)-orbite. Ceci induit une correspondance bijective entre l’ensemble des G(O)-orbites et|Σ| ∩N. Pour un ´el´ement n∈ |Σ0| ∩N on note CX0,n la G(O)-orbite correspondante. On obtient donc la d´ecomposition
X0(O)∩(G/H)(K) = G
n∈|Σ|∩N
CX0,n.
ChaqueCX0,n est un cylindre et l’on a Z
CX0,n
L
−ordKX0|XdX0 = [G/H]LωX(n).
4.4.2.4. Crit`ere de lissit´e. Dans le cadre des plongements horosph´eriques, Batyrev–Moreau [15, Theorem 5.3] fournissent deux crit`eres l’un de factorialit´e locale et l’autre de lissit´e, dans la lign´ee des r´esultats ant´erieurs de Brion [33, Proposition 3.1], [34, §4], [35, Proposition 4.2], Pasquier [202, Theorem 2.6]
(g´en´eralisant l’article de Pauer [204]).
Th´eor`eme 4.4.2.4.1. Soit X un G/H-plongement horosph´erique simple de cˆone maximal (σ,F). La vari´et´eX est localement factorielle (c’est-`a-dire tout diviseur de Weil est de Cartier) si et seulement si :
1. la restriction de l’application ρ `a {∆α|α∈ F } est injective,
2. le cˆone σ est engendr´e par une base de N qui contient la famille (ρα)α∈F.
Th´eor`eme 4.4.2.4.2. Soit X un G/H-plongement horosph´erique localement factoriel et simple de cˆone maximal associ´e de dimension ´egale `a celle du tore T. Nous avons l’in´egalit´e est(X) ≥χc(X). De plus la vari´et´eX est lisse si et seulement siest(X) =χc(X).
4.4.3. Le cas desG-vari´et´es horosph´erique de complexit´e 1. Dans l’article [156], nous donnons une formule explicite des invariants motiviques stringy des vari´et´es horosph´eriquesQ-Gorenstein de complexit´e
4.4.3. Le cas desG-vari´et´es horosph´erique de complexit´e 1. Dans l’article [156], nous donnons une formule explicite des invariants motiviques stringy des vari´et´es horosph´eriquesQ-Gorenstein de complexit´e