Chapitre n°1: Information chiffrée

O1- Indice simple en base 100 : passer de l'indice au taux d 'évolution, et

réciproquement [Le calcul d'un indice synthétique, comme, par exemple, l'indice des prix, n'est pas au programme.]

O2- Racine n-ième de l'unité : déterminer avec une calculatrice ou un tableur la solution positive de l'équation xⁿ = a, lorsque a est un réel positif. [La notation

√

^{na n'est}

pas exigible]

O3- Notation a^1/n

O4- Taux d'évolution moyen : trouver le taux moyen connaissant le taux global

[Exemple : taux mensuel équivalent à un taux annuel]

Activité d'approche n°1 : taux d'évolution

(inspirée de logamaths.fr)

En 2011, Sarah a acheté un téléphone portable 202,30 euros. En 2012, le même téléphone portable coûtait 208,35 euros.

a- Calculez le coefficient multiplicateur k ( qui permet de passer de 202,30 à 208,35 euros) et le taux d'évolution t en pourcentage (qui correspond au

pourcentage d'augmentation), au dix-millième près.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

b- Un ordinateur portable coûtait 150 euros en 2011. Combien coûterait-il en 2012, au centime d'euro près, s'il suivait la même évolution que le téléphone portable ?

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

c- Avec le même taux d'évolution, combien coûterait le téléphone portable en 2013, au centime d'euro près ?

2/19 -

...

...

...

...

...

...

...

...

...

En 2014, le prix des téléphones baisse : Sarah pourrait acheter son téléphone pour 201,90 euros.

d- Quel est le coefficient multiplicateur k' et le taux d'évolution t' entre 2013 et 2014, au dix-millième près ?

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

e- Quel est le coefficient multiplicateur k'' et le taux d'évolution t'' entre 2011 et 2014, au dix-millième près ?

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

f- Retrouver le résultat précédent en utilisant les coefficients

multiplicateurs annuels. Peut-on retrouver le résultat précédent en multipliant les taux d'évolution annuels entre eux ?

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

2/19

Chapitre n°1: Information chiffrée

I) Rappels

Définition n°1 : coefficient multiplicateur

Soit

VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.

Alors le coefficient multiplicateur ou proportion k est donné par : ...

On passe de VD à VA en multipliant par k.

Définition n°2 : taux d'évolution

Soit VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.

Alors le taux d'évolution t de VD à VA est donné par : ...

Le pourcentage d'augmentation ou de diminution vaut 100×t.

Exemple n°1 : % d'augmentation et taux

Si un produit qui coûtait 45,6

euros coûte maintenant 81,2 euros, - le coefficient multiplicateur vaut, au millième

près : ...

- le taux d'évolution vaut, au dix-millième près : ...

- le pourcentage d'augmentation vaut, au centième près : ...

Propriété n°1

La relation entre le coefficient multiplicateur k et le taux d'évolution t est donnée par :

…...= ...

Propriété n°2

Si plusieurs coefficients multiplicateurs k

1, k2, k3 ...

sont appliqués successivement, le coefficient multiplicateur global est donné par le

produit de ces coefficients multiplicateurs : k1×k2×k3× …

Exemple n°2 : taux succesifs

La population d'une espèce endémique bénéficie chaque année d'un taux d'évolution de 0,26. Cette espèce comptait 150 individus en 2000. Combien compte-t-elle d'individus en 2010 ?

…...

...

...

4/19 -

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...

…...

...

...

...

...

Remarque : attention, cette propriété n'est PAS VRAIE concernant les taux d 'évolution

Exercice n°1

Ex.46 p.20 (Indice Bordas – STMG 2013)

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Exercice n°2 Ex.52 p.20

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4/19

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Exercice n°3 Ex.53 p.20

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Activité d'approche n°2

Le tableau ci-dessous indique le nombre de licenciés pour le basket-ball en France, en fonction de l'année.

Années 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Nombre de

licences 451 725 457 121 455 134 449 263 456 036 461 098

6/19 -

Les nombres étant grands, la comparaison entre les années ne « saute pas » aux yeux.

Pour mieux comparer les valeurs, on décide que l'année 2006 sera la base de comparaison, et on lui donne arbitrairement la valeur 100.

1. Quel calcul doit-on faire pour que le tableau 451 725 457 121

100 y

soit

un tableau de proportionnalité ?

…...

…...

…...…

Soit

VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.

On appelle indice de base 100 de VA par rapport à VD le nombre I tel que : I = ...×...

...

2. Complétez le tableau de proportionnalité ci-dessous , au centième près :

Années 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Nombre de

licences 451 725 457 121 455 134 449 263 456 036 461 098 Indice 100 …...

..…... …...

..…... …...

..…... …...

..…... …...

..…...

3. Calculer le taux d'évolution en pourcentage entre 2006 et 2007. Que constatez-vous ?

……….

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……….

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4. Calculer le taux d'évolution en pourcentage entre 2006 et 2008. Que constatez-vous ?

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……….

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5. Calculer le taux d'évolution en pourcentage entre 2007 et 2008. Y a-t-il un lien avec les indices de 2007 et 2008 ?

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6/19

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Cours n°2

II) Indice simple en base 100 : définition Définition n°3

Soit

VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.

On appelle indice de base 100 de VA par rapport à VD le nombre I tel que : I = ...×...

...

Exemple n°3 : calculer un indice.

La température à Ancenis, à 5 h du matin, est de 14°C. Elle monte à 21°C à 12h. Calculez l'indice de base 100 de la température à midi par rapport à la température à 5 heures du matin.

...

...

...…

Exercice n°4 Ex.64 p.21

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Exercice n°5 Ex.65 p.21

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9/19 - Exercice n°6

Ex.66 p.21

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9/19

Propriété n°3

Soit

VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.

Soit I l'indice de base 100 de VA par rapport à VD.

Soit t100 le taux d'évolution en pourcentage de VD à VA Alors, on a : I = …... et t100 = ...

Démonstration :

...

...

...

...

...

...

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...

...

...

...

Exemple n°4 : de l'indice au taux d'évolution

Le tableau suivant donne les indices de chiffres d'affaires successifs pour une entreprise. On a choisi la base 100 en 2008 :

Année 2008 2009 2010 2011 2012

Indice 100 115 125 113 117

Déterminez le taux d'évolution en pourcentage entre 2008 et 2009 : ...

...

...

...

Propriété n°4

Le taux d'évolution entre deux valeurs est égal au taux d'évolution entre deux indices.

Exemple n°4 : du taux d'évolution entre deux indices au taux d'évolution entre deux valeurs.

Dans l'exemple précédent, déterminez le taux d'évolution en pourcentage entre 2008 et 2012 :

...

...

11/19 -

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Exercice n°7 Ex.68 p.22

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Exercice n°8*

Le tableau suivant donne le nombre d'entrées dans une salle de cinéma pendant six semaines consécutives.

Semaine 1 2 3 4 5 6

Nombre de

spectateurs 604 950 1360 785 3207

Indice 100 116

1. Calculez, à la dizaine près, le nombre de spectateurs entrés dans cette salle la 5^ème semaine.

2. a) Complétez la ligne des indices, à l'unité près.

b) Donnez le taux d'évolution global des entrées de la 3^ème semaine à la 6^ème semaine .

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11/19

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Exercice n°9*

Le tableau suivant, fait sur un tableur, illustre l'évolution de la population d'un village :

1. Quelle formule, en fonction des coordonnées des cases, faut-il mettre en C3 pour obtenir la population du village en 2002 ?

2. Quelle formule faut-il mettre en D3 ?

3. Quel est le taux d'évolution annuel moyen de la population du village ?

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13/19 -

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Activité d'approche n°3

Le salaire mensuel de Capucine, qui était de 1500 euros en 2010, augmente de 5 % par an.

1. Calculez son salaire en 2011.

…...

2. Quelle formule utilisant le taux d'augmentation et son salaire en 2010,

permettrait d'obtenir le salaire en 2012 ?

…...

...

...

3. Calculez ce que sera son salaire mensuel en 2015 au centime d'euro

près.

…...

...

...

4. Héloïse, dont le pourcentage d'augmentation du salaire est aussi resté

constant, a vu son salaire passé de 2000 euros à 2200 euros de 2010 à 2012. Quel était le taux d'augmentation annuel de son salaire, au dix- millième près ?

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

5. Sarah, dont le pourcentage d'augmentation du salaire est aussi resté

constant, a vu son salaire passé de 2000 euros à 2200 euros de 2010 à

2015. Quel calcul doit permettre de trouver le taux d'augmentation annuel de son salaire, au dix-millième près ? (une touche particulière de

la calculatrice permettra de trouver le résultat : racine nième ou

puissance 1/n).

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

13/19

Cours n°4

III) Évolutions successives et taux moyen

Définition n°4

La solution de l'équation x

ⁿ = a, où n est un nombre entier naturel non nul et a un nombre réel positif, est la racine n-ième de a, notée

√

^na _{ou a}¹ⁿ

Exemple n°5 :

Déterminez t si (1+t)⁴=1,6 , au centième près.

...

...

...

...

...

...

...

...

Remarque : 16

1

2 est bien la racine carrée de 16 et vaut 4 (car 4×4=16).

Propriété n°5

Soit une grandeur subissant n

évolutions successives de VD (la valeur de départ) à VA (la valeur d'arrivée). Soit t le taux moyen de ces n évolutions.

Alors, on a : VA= …...×VD

et : t =

(

VD^VA

) ⁽

¹ⁿ

⁾

ou (ce qui revient au même) : t =

√

^{n VDVA}

A la calculatrice, si VA et VD sont donnés, on appuie sur :

………...

Exemple n°6

Le chiffre d'affaire d'une start-up est passé en trois ans de 100000 euros à 250000 euros.

Calculez le taux annuel moyen d'évolution du chiffre d'affaire, au millième près :

...

...

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...

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Exercice n°10*

Ex.88 p.24

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Exercice n°11*

Ex.89 p.24

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Exercice n°12*

Ex.90 p.24

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Exercice n°13**

Ex.99 p.25

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Ex.1 : 1. Environ 3,1 % 2. 29

Ex.2 : 1.0,415 (ou 41,5%) 2. 19 205 boites.

Ex.3 : 1.433,3 % 2. 180 intérimaires 3. 11 (ou 1 100%) Ex.4 : 1. 101,7 (au dixième près) 2. 180,96€

Ex.5 : 2008 : 109,8 – 2009 : 126,1 – 2010 : 139,3 Ex.6 : 2005 : 100 – 2008 : 181 – 2012 : 159,28

Ex.7 : 2009 à 2010 : 1 % - 2009 à 2011 : 3,3 % - 2009 à 2012 : 6,9 % Ex.8 : 1. 1580 2.a. 44 ; 70 ; 58 ; 236 2.b. 1,36 (ou 136 %)

Ex.9 : 1. =C2*B3/B2 2. =D2*B3/B2 3. 0,066 (ou 6,6%) Ex.10 : 1. -0,183 (ou -18,3%) 2. -0,096 (soit -9,6%) Ex.11 : 1. 0,259 (ou 25,9%) 2. 0,080 (ou 8%) Ex.12 : 1. -0,113 (ou -11,3%) 2. -0,039 (ou 3,9%)

Ex.13 : 1. coef.mult. : 1,371 – t=0,065 (ou 6,5%) 2. 67,5 milliards d'euros.

19/19 -

19/19

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...