Chapitre n°1: Information chiffrée
Objectifs.
O1- Indice simple en base 100 : passer de l'indice au taux d 'évolution, et
réciproquement [Le calcul d'un indice synthétique, comme, par exemple, l'indice des prix, n'est pas au programme.]
O2- Racine n-ième de l'unité : déterminer avec une calculatrice ou un tableur la solution positive de l'équation xn = a, lorsque a est un réel positif. [La notation
√
na n'estpas exigible]
O3- Notation a1/n
O4- Taux d'évolution moyen : trouver le taux moyen connaissant le taux global
[Exemple : taux mensuel équivalent à un taux annuel]
Activité d'approche n°1 : taux d'évolution
(inspirée de logamaths.fr)
En 2011, Sarah a acheté un téléphone portable 202,30 euros. En 2012, le même téléphone portable coûtait 208,35 euros.
a- Calculez le coefficient multiplicateur k ( qui permet de passer de 202,30 à 208,35 euros) et le taux d'évolution t en pourcentage (qui correspond au
pourcentage d'augmentation), au dix-millième près.
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b- Un ordinateur portable coûtait 150 euros en 2011. Combien coûterait-il en 2012, au centime d'euro près, s'il suivait la même évolution que le téléphone portable ?
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c- Avec le même taux d'évolution, combien coûterait le téléphone portable en 2013, au centime d'euro près ?
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En 2014, le prix des téléphones baisse : Sarah pourrait acheter son téléphone pour 201,90 euros.
d- Quel est le coefficient multiplicateur k' et le taux d'évolution t' entre 2013 et 2014, au dix-millième près ?
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e- Quel est le coefficient multiplicateur k'' et le taux d'évolution t'' entre 2011 et 2014, au dix-millième près ?
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f- Retrouver le résultat précédent en utilisant les coefficients
multiplicateurs annuels. Peut-on retrouver le résultat précédent en multipliant les taux d'évolution annuels entre eux ?
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Cours n°2
II) Indice simple en base 100 : définition Définition n°3
Soit
VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.On appelle indice de base 100 de VA par rapport à VD le nombre I tel que : I = ...×...
...
Exemple n°3 : calculer un indice.
La température à Ancenis, à 5 h du matin, est de 14°C. Elle monte à 21°C à 12h. Calculez l'indice de base 100 de la température à midi par rapport à la température à 5 heures du matin.
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Exercice n°4 Ex.64 p.21
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Exercice n°5 Ex.65 p.21
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Exercice n°6 Ex.66 p.21
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Cours n°3
II) Indice de base 100 : propriétés Propriété n°3
Soit
VD (la valeur de départ) et VA (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.Soit I l'indice de base 100 de VA par rapport à VD.
Soit t100 le taux d'évolution en pourcentage de VD à VA Alors, on a : I = …... et t100 = ...
Démonstration :
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Exemple n°4 : de l'indice au taux d'évolution
Le tableau suivant donne les indices de chiffres d'affaires successifs pour une entreprise. On a choisi la base 100 en 2008 :
Année 2008 2009 2010 2011 2012
Indice 100 115 125 113 117
Déterminez le taux d'évolution en pourcentage entre 2008 et 2009 : ...
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Propriété n°4
Le taux d'évolution entre deux valeurs est égal au taux d'évolution entre deux indices.
Exemple n°4 : du taux d'évolution entre deux indices au taux d'évolution entre deux valeurs.
Dans l'exemple précédent, déterminez le taux d'évolution en pourcentage entre 2008 et 2012 :
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Exercice n°7 Ex.68 p.22
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Exercice n°8*
Le tableau suivant donne le nombre d'entrées dans une salle de cinéma pendant six semaines consécutives.
Semaine 1 2 3 4 5 6
Nombre de
spectateurs 604 950 1360 785 3207
Indice 100 116
1. Calculez, à la dizaine près, le nombre de spectateurs entrés dans cette salle la 5ème semaine.
2. a) Complétez la ligne des indices, à l'unité près.
b) Donnez le taux d'évolution global des entrées de la 3ème semaine à la 6ème semaine .
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Exercice n°9*
Le tableau suivant, fait sur un tableur, illustre l'évolution de la population d'un village :
1. Quelle formule, en fonction des coordonnées des cases, faut-il mettre en C3 pour obtenir la population du village en 2002 ?
2. Quelle formule faut-il mettre en D3 ?
3. Quel est le taux d'évolution annuel moyen de la population du village ?
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Activité d'approche n°3
Le salaire mensuel de Capucine, qui était de 1500 euros en 2010, augmente de 5 % par an.
1. Calculez son salaire en 2011.
…...
2. Quelle formule utilisant le taux d'augmentation et son salaire en 2010,
permettrait d'obtenir le salaire en 2012 ?
…...
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3. Calculez ce que sera son salaire mensuel en 2015 au centime d'euro
près.
…...
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4. Héloïse, dont le pourcentage d'augmentation du salaire est aussi resté
constant, a vu son salaire passé de 2000 euros à 2200 euros de 2010 à 2012. Quel était le taux d'augmentation annuel de son salaire, au dix- millième près ?
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5. Sarah, dont le pourcentage d'augmentation du salaire est aussi resté
constant, a vu son salaire passé de 2000 euros à 2200 euros de 2010 à
2015. Quel calcul doit permettre de trouver le taux d'augmentation annuel de son salaire, au dix-millième près ? (une touche particulière dela calculatrice permettra de trouver le résultat : racine nième ou
puissance 1/n).
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Cours n°4
III) Évolutions successives et taux moyen
Définition n°4
La solution de l'équation x
n = a, où n est un nombre entier naturel non nul et a un nombre réel positif, est la racine n-ième de a, notée√
na ou a1nExemple n°5 :
Déterminez t si (1+t)4=1,6 , au centième près.
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Remarque : 16
1
2 est bien la racine carrée de 16 et vaut 4 (car 4×4=16).
Propriété n°5
Soit une grandeur subissant n
évolutions successives de VD (la valeur de départ) à VA (la valeur d'arrivée). Soit t le taux moyen de ces n évolutions.Alors, on a : VA= …...×VD
et : t =
(
VDVA) (
1n)
ou (ce qui revient au même) : t =√
n VDVAA la calculatrice, si VA et VD sont donnés, on appuie sur :
………...
Exemple n°6
Le chiffre d'affaire d'une start-up est passé en trois ans de 100000 euros à 250000 euros.
Calculez le taux annuel moyen d'évolution du chiffre d'affaire, au millième près :
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Exercice n°10*
Ex.88 p.24
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Exercice n°11*
Ex.89 p.24
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Exercice n°12*
Ex.90 p.24
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Exercice n°13**
Ex.99 p.25
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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 : 1. Environ 3,1 % 2. 29
Ex.2 : 1.0,415 (ou 41,5%) 2. 19 205 boites.
Ex.3 : 1.433,3 % 2. 180 intérimaires 3. 11 (ou 1 100%) Ex.4 : 1. 101,7 (au dixième près) 2. 180,96€
Ex.5 : 2008 : 109,8 – 2009 : 126,1 – 2010 : 139,3 Ex.6 : 2005 : 100 – 2008 : 181 – 2012 : 159,28
Ex.7 : 2009 à 2010 : 1 % - 2009 à 2011 : 3,3 % - 2009 à 2012 : 6,9 % Ex.8 : 1. 1580 2.a. 44 ; 70 ; 58 ; 236 2.b. 1,36 (ou 136 %)
Ex.9 : 1. =C2*B3/B2 2. =D2*B3/B2 3. 0,066 (ou 6,6%) Ex.10 : 1. -0,183 (ou -18,3%) 2. -0,096 (soit -9,6%) Ex.11 : 1. 0,259 (ou 25,9%) 2. 0,080 (ou 8%) Ex.12 : 1. -0,113 (ou -11,3%) 2. -0,039 (ou 3,9%)
Ex.13 : 1. coef.mult. : 1,371 – t=0,065 (ou 6,5%) 2. 67,5 milliards d'euros.
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