Chapitre n°1: Information chiffrée
Objectifs.
O1- Indice simple en base 100 : passer de l'indice au taux d 'évolution, et réciproquement
[Le calcul d'un indice synthétique, comme, par exemple, l'indice des prix, n'est pas au programme.]
O2- Racine n-ième de l'unité : déterminer avec une calculatrice ou un tableur la solution positive de l'équation xn = a, lorsque a est un réel positif. [La notation
√
na n'est pas exigible]O3- Notation a1/n
O4- Taux d'évolution moyen : trouver le taux moyen connaissant le taux global [Exemple : taux mensuel équivalent à un taux annuel]
Activité d'approche n°1 : taux d'évolution
(inspirée de logamaths.fr)
En 2011, Sarah a acheté un téléphone portable 202,30 euros. En 2012, le même téléphone portable coûtait 204,35 euros.
a- Calculez le coefficient multiplicateur k ( qui permet de passer de
202,30 à 204,35 euros) et le taux d'évolution t (qui correspond au pourcentage d'augmentation), au dix-millième près.
b- Un ordinateur portable coûtait 150 euros en 2011. Combien coûterait-il en 2012, au centime d'euro près, s'il suivait la même évolution que le téléphone portable ?
c- Avec le même taux d'évolution, combien coûterait le téléphone portable en 2013, au centime d'euro près ?
d- En 2013, le prix des téléphones baisse : Sarah pourrait acheter son téléphone pour 201,90 euros. Quel est le coefficient multiplicateur k' et le taux d'évolution t' entre 2012 et 2013, au dix-millième près ?
DM n°1
2/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
2/20
Cours n°1
Chapitre n°1: Information chiffrée
I) Rappels
Définition n°1 : coefficient multiplicateur
Soit y1 (la valeur de départ) et y2 (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.
Alors le coefficient multiplicateur ou proportion k est donné par : ...
On passe de y1 à y2 en multipliant par k.
Définition n°2 : taux d'évolution
Soit y1 (la valeur de départ) et y2 (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.
Alors le taux d'évolution t de y1 à y2 est donné par : ...
Le pourcentage d'augmentation ou de diminution vaut 100t.
Exemple n°1 : % d'augmentation et taux
Si un produit qui coûtait 45,6 euros coûte maintenant 81,2 euros,
- le coefficient multiplicateur vaut, au millième près : ...
- le taux d'évolution vaut, au dix-millième près : ...
- le pourcentage d'augmentation vaut, au centième près : ...
Propriété n°1
La relation entre le coefficient multiplicateur k et le taux d'évolution t est donnée par :
…...= ...
Propriété n°2
Si plusieurs coefficients multiplicateurs k1, k2, k3 ... sont appliqués
successivement, le coefficieznt multiplicateur global est donné par le produit de ces coefficients multiplicateurs : k1×k2×k3× …
4/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
4/20
Exemple n°2 : taux succesifs
La population d'une espèce endémique bénéficie chaque année d'un taux d'évolution de 0,26. Cette espèce comptait 150 individus en 2000. Combien compte-t-elle d'individus en 2010 ?
…...
...
...
...
…...
...
...
...
Remarque : attention, cette propriété n'est PAS VRAIE concernant les taux d 'évolution
Exercice n°1 – Indice Bordas 2013
Ex.46 p.20 (Indice Bordas – STMG 2013) Exercice n°2 – Indice Bordas 2013
Ex.52 p.20
Exercice n°3 – Indice Bordas 2013 Ex.53 p.20
Activité d'approche n°2
Le tableau ci-dessous indique le nombre de licenciés pour le basket-ball en France, en fonction de l'année.
Années 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Nombre de licences
451 725 457 121 455 134 449 263 456 036 461 098
Les nombres étant grands, la comparaison entre les années ne « saute pas » aux yeux.
Pour mieux comparer les valeurs, on décide que l'année 2006 sera la base de comparaison, et on lui donne arbitrairement la valeur 100.
ATTENTION : suite page suivante
6/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
6/20
1. Quel calcul doit-on faire pour que le tableau 451 725 457 121
100 y soit
un tableau de proportionnalité ?
…...
2. Complétez le tableau ci-dessous , au centième près :
Années 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Nombre de licences
451 725 457 121 455 134 449 263 456 036 461 098
Indice 100 …... …... …... …... …...
Cours n°2
II) Indice simple en base 100 : définition Définition n°3
Soit y1 (la valeur de départ) et y2 (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.
On appelle indice de base 100 de y2 par rapport à y1 le nombre I tel que :
I = …...×...
...
Exemple n°3 : calculer un indice.
La température à Ancenis, à 5 h du matin, est de 14°C. Elle monte à 21°C à 12h.
Calculez l'indice de base 100 de la température à midi par rapport à la température à 5 heures du matin.
...
...
8/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
8/20
Exercice n°4 – Indice Bordas 2013 Ex.64 p.21
Exercice n°5 – Indice Bordas 2013 Ex.65 p.21
Exercice n°6 – Indice Bordas 2013 Ex.66 p.21
Cours n°3
II) Indice de base 100 : propriétés Propriété n°3
Soit y1 (la valeur de départ) et y2 (la valeur d'arrivée) deux nombres réels strictement positifs.
Soit I l'indice de base 100 de y2 par rapport à y1. Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Alors, on a : I = …... et t = ...
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°4 : de l'indice au taux d'évolution
Le tableau suivant donne les indices de chiffres d'affaires successifs pour une entreprise. On a choisi la base 100 en 2008 :
Année 2008 2009 2010 2011 2012
Indice 100 115 125 113 117
Déterminez le taux d'évolution entre 2008 et 2009 :
10/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
10/20
...
...
Propriété n°4
Le taux d'évolution entre deux valeurs est égal au taux d'évolution entre deux indices.
Exercice n°7 – Indice Bordas 2013 Ex.68 p.22
Exercice n°8*
Le tableau suivant donne le nombre d'entrées dans une salle de cinéma pendant six semaines consécutives.
Semaine 1 2 3 4 5 6
Nombre de spectateurs
604 950 1360 785 3207
Indice 100 116
1. Calculez, à la dizaine près, le nombre de spectateurs entrés dans cette salle la 5ème semaine.
2. a) Complétez la ligne des indices, à l'unité près.
b) Donnez le taux d'évolution global des entrées de la 3ème semaine à la 6ème semaine .
Exercice n°9*
Le tableau suivant, fait sur un tableur, illustre l'évolution de la population d'un village :
1. Quelle formule, en fonction des coordonnées des cases, faut-il mettre en C3 pour obtenir la population du village en 2002 ?
2. Quelle formule faut-il mettre en D3 ? ATTENTION : suite page suivante
12/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
12/20
Activité d'approche n°3
Le salaire mensuel de Capucine, qui était de 1500 euros en 2010, augmente de 5 % par an.
1. Calculez le taux d'augmentation de son salaire.
…...
2. Quelle formule utilisant le taux d'augmentation et son salaire en 2010, permettrait d'obtenir le salaire en 2012 ?
…...
...
3. Calculez ce que sera son salaire mensuel en 2015 au centime d'euro près.
…...
...
4. Héloïse, dont le pourcentage d'augmentation du salaire est aussi resté constant sur cinq ans, a vu son salaire passé de 2000 euros à 2200 euros en 3 ans. Quel était le taux d'augmentation annuel de son salaire, au dix-millième près ?
…...
...
…...
...
…...
...
…...
...
14/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
14/20
Cours n°4 III) Évolutions successives et taux moyen
Définition n°4
La solution de l'équation xn = a, où n est un nombre entier naturel non nul et a un nombre réel positif, est la racine n-ième de a, notée
√
na ou a1 n
Exemple n°5 :
Déterminez t si (1+t)4=1,6 , au centième près.
...
...
...
...
...
...
Remarque : 16
1
2 est bien la racine carrée de 16 et vaut 4 (car 4×4=16).
Propriété n°5
Soit une grandeur subissant n évolutions successives de y1 (la valeur de départ) à y2 (la valeur d'arrivée). Soit t le taux moyen de ces n évolutions.
Alors, on a : y2 = (1+t)n×y1 Exemple n°6
Le chiffre d'affaire d'une start-up est passé en trois ans de 100000 euros à 250000 euros.
Calculez le taux annuel moyen d'évolution du chiffre d'affaire, au millième près :
...
...
...
...
16/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
...
16/20
Exercice n°10* – Indice Bordas 2013 Ex.88 p.24
Exercice n°11* – Indice Bordas 2013 Ex.89 p.24
Exercice n°12* – Indice Bordas 2013 Ex.90 p.24
Exercice n°13** – Indice Bordas 2013 Ex.99 p.25
Exercice n°14** (pour préparer le bac) – Indice Bordas 2013 Sujet A p.32
Exercice n°15** (pour préparer le bac) – Indice Bordas 2013 Sujet D p.33
Exercice n°16** (pour préparer le bac) – Indice Bordas 2013 Sujet F p.34
18/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 : 1. Environ 3,1 % 2. 29
Ex.2 : 1.0,415 (ou 41,5%) 2. 19 205 boites.
Ex.3 : 1.433,3 % 2. 180 intérimaires 3. 11 (ou 1 100%) Ex.4 : 1. 101,7 (au dixième près) 2. 180,96€
Ex.5 : 2008 : 109,8 – 2009 : 126,1 – 2010 : 139,3 Ex.6 : 2005 : 100 – 2008 : 181 – 2012 : 159,28
Ex.7 : 2009 à 2010 : 1 % - 2009 à 2011 : 3,3 % - 2009 à 2012 : 6,9 % Ex.8 : 1. 1580 2.a. 44 ; 70 ; 58 ; 236 2.b. 1,36 (ou 136 %)
Ex.9 : 1. =C2*B3/B2 2. =D2*B3/B2 3. 0,066 (ou 6,6%) Ex.10 : 1. -0,183 (ou -18,3%) 2. -0,096 (soit -9,6%) Ex.11 : 1. 0,259 (ou 25,9%) 2. 0,080 (ou 8%) Ex.12 : 1. -0,113 (ou -11,3%) 2. -0,039 (ou 3,9%)
Ex.13 : 1. coef.mult. : 1,371 – t=0,065 (ou 6,5%) 2. 67,5 milliards d'euros.
Ex.14 : 1. 1717 milliers de cients 2. 12 % 3.a.87 % 3.b. 23 % 3.c. 21 795 milliers de clients 4. peu pertinente (les taux d 'évolution annuels montrent une tendance)
Ex.15 : 1. 480 000 € 2. 0,713 (71,3%) 3.a. 14,4 % 3.b. 588 000 €.
Ex.16 : 1.a. 0,966 (ou 96,6%) 1.b. 34 588 ≈ 35 000 2.a. 0,353 2.b. 16,3 % 3.a. 107 000 3.b. 168 000 4.a. 1 : A=107 000 et 2 : 124 000 4.b.nombre de personnes contaminées au bout de N semaines.
18/20
20/20 - Chapitre n°1 : Information chiffrée
20/20
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