NOM : PRENOM :
Devoir surveill´e commun n
o1 - TS1 & TS2 - 01/10/16 - Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est autoris´e. Tout r´esultat doit ˆetre soigneusement justifi´e. La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation seront prises en compte dans la notation.
Exercice 1 :
Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite (un) : 1. un=−2n3+ 5n2−4n+ 1
2. un= n2−2n+ 3 4n3+ 5 3. un= 1
n(n2+ 5n−7) 4. un=√
n2+ 1−n
Exercice 2 :
D´emontrer par r´ecurrence que, pour toutn∈N, 6n−1 est divisible par 5.
Exercice 3 :
D´emontrer par r´ecurrence que, pour toutn>1, 1
1×2×3+ 1
2×3×4 +· · ·+ 1
n(n+ 1)(n+ 2) = n(n+ 3) 4(n+ 1)(n+ 2).
Exercice 4 :
On consid`ere une suite (un) d´efinie surNet telle qu’aucun de ses termes ne soit nul.
On d´efinit alors la suite (vn) surNparvn=− 4 un
.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d´emonstration pour la r´eponse indiqu´ee.
Dans le cas d’une proposition fausse, la d´emonstration consistera `a fournir un contre exemple. Une r´eponse non d´emontr´ee ne rapporte aucun point.
1. Si la suite (un) est convergente, alors la suite (vn) est convergente.
2. Si la suite (un) est minor´ee par 2, alors la suite (vn) est minor´ee par 2.
3. Si la suite (un) est d´ecroissante, alors la suite (vn) est croissante.
4. Si la suite (un) est divergente, alors la suite (vn) admet 0 comme limite.
Exercice 5 :
On consid`ere la suite (un) d´efinie paru0= 1 etun+1= 3un−4n+ 2.
1. Calculeru1,u2 etu3.
2. Montrer par r´ecurrence que, pour toutn∈N,un>2n.
3. En d´eduire la limite de la suite (un).
4. Soit (vn) la suite d´efinie parvn =un−2n.
a. D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique.
b. En d´eduire l’expression devn puis deun en fonction de n.
c. Exprimer la sommeSn =u0+u1+u2+· · ·+un= Xn
i=0
ui en fonction de n.
Indication : on regroupera les termes judicieusement de mani`ere `a pouvoir utiliser les deux formules don- nant la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique et celle des termes cons´ecutifs d’une suite g´eom´etrique.
Exercice 6 :
On consid`ere la suite de nombres r´eels (un) d´efinie surNpar : u0=−1, u1=1
2 et, pour tout entier natureln, un+2=un+1−1 4un. 1. Calculeru2et en d´eduire que la suite (un) n’est ni arithm´etique ni g´eom´etrique.
2. On d´efinit la suite (vn) en posant, pour tout entier natureln:
vn=un+1−1 2un. a. Calculerv0.
b. Exprimer vn+1 en fonction de vn.
c. En d´eduire que la suite (vn) est g´eom´etrique de raison 1 2. d. Exprimervn en fonction de n.
3. On d´efinit la suite (wn) en posant, pour tout entier natureln: wn= un
vn
. a. Calculerw0.
b. En utilisant l’´egalit´eun+1=vn+1
2un, exprimerwn+1 en fonction deun et de vn.
c. En d´eduire que pour toutndeN, wn+1=wn+ 2. Que peut-on en d´eduire quant `a la nature de la suite (wn) ? d. Exprimerwn en fonction den.
4. D´eduire des questions 2det 3dque, pour tout entier natureln: un=2n−1
2n . 5. Pour tout entier natureln, on pose :Sn=
Xn
k=0
uk =u0+u1+· · ·+un. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout ndeN:
Sn= 2−2n+ 3 2n .
Bonus :
Soit (un) une suite convergeant vers 2.
Montrer que tous les termes de la suite sont positifs `a partir d’un certain rang.
