2011-2012

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ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2011-2012

CONTR ˆOLE CONTINU

Séries numériques, séries entières

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soient x, y ∈ R+∗. Pour tout n ∈ N, on note

un =

xn_{+ y}n

2n .

D´eterminer en fonction de x et y la nature de la s´erie P un.

On représentera les différents cas dans un repère (xOy) du plan.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 2 Pour tout n ∈ N, on pose

un=

1 n3

et l’on note (Sn) la suite des sommes partielles associ´ees `a (un) :

∀n ∈ N, Sn = n X k=1 1 k3.

1. Montrer par un argument g´eom´etrique ou analytique que ∀k > 2, 1 2 1 k2 − 1 (k + 1)2 6 uk 6 1 2 1 (k − 1)2 − 1 k2

2. En d´eduire un encadrement de Sn pour tout n ∈ N∗.

3. Montrer que la s´erie P un est convergente. On note S la somme S = ∞

X

n=1

1 n3.

4. Pour tout n ∈ N∗, on note Rn= ∞

X

k=n+1

1 k3.

(a) Montrer que

∀n ∈ N∗, 1

2(n + 1)2 6 Rn 6

1 2n2

(2)

(b) En déduire un rang n0 ∈ N tel que Sn0 donne une valeur approchée de S à 10

−2 _pr`_es.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 3 On note S(x) la série entière définie par

S(x) = ∞ X n=2 xn n2_{− 1}.

1. Montrer que le rayon de convergence de S est R = 1.

2. Quel est le comportement des séries S(−1) et S(1) ? Justifier. 3. Décomposer la fraction rationnelle _n21₋₁ en éléments simples.

4. En déduire une nouvelle écriture de S(x) comme somme de deux séries entières S1 et S2.

5. Montrer que la série entière S1(x) = ∞ X n=2 xn 2(n − 1) vérifie ∀x ∈] − 1, 1[, S1(x) = − 1 2x ln(1 − x). (On pourra se baser sur le DSE de la fonction ln(1 − x) = −

∞

X

n=1

xn

n ). 6. Montrer que la s´erie S2 v´erifie

∀x ∈] − 1, 1[, S2(x) = 1 2xln(1 − x) + 1 2 + x 4. 7. En d´eduire la valeur de la somme

∞ X n=2 1 n2_{− 1}. ? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 Pour d´eterminer la nature de la s´erie P un, il faut comparer le comportement

du num´erateur `a celui de 2n_{. Or le terme le plus fort du num´}_{erateur est celui correspondant `}_a

la plus grande valeur entre x et y. Ainsi : – Si x > y, on a xn_{+ y}n xn = 1 + y x n → 1 Donc xn+ yn ∼ xn _{et u} n∼ x 2 n

Dans ce cas, la s´erie P un est convergente si et

seule-ment si x < 2. – Si x < y, on a xn_{+ y}n yn = 1 + x y n → 1 Donc xn+ yn ∼ yn _{et u} n ∼ y 2 n

Dans ce cas, la s´erie P un est convergente si et

seule-ment si y < 2. D’o`u le d´ecoupage : 2 2

x

y

y = x

CV

DV

CV

DV

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 2

1. Soit f : t 7→ _t13. La fonction f est positive et d´ecroissante sur l’intervalle ]0, +∞[. Soit

k ∈ N, k > 2. Pour tout t dans l’intervalle [k, k + 1], on a f (t) 6 f (k). Ainsi, Z k+1 k 1 t3dt 6 Z k+1 k 1 k3dt.

En calculant chacune des intégrales, on obtient la borne inférieure cherchée. En effectuant le même travail sur l’intervalle [k − 1, k], on a

(4)

En intégrant cette inégalité sur [k − 1, k] et en calculant les intégrales, on obtient la borne supérieure souhaitée.

2. On obtient un encadrement de Sn pour n ∈ N∗ en sommant les inégalités obtenues à la

question pr´ec´edente.

ATTENTION : l’encadrement obtenu `a la question pr´ec´_{edente est valable pour k > 2.} Il nous donne donc un encadrement pour la somme

n X k=2 uk : 1 2 n X k=2 1 k2 − 1 (k + 1)2 6 n X k=2 1 k3 6 1 2 n X k=2 1 (k − 1)2 − 1 k2

Les sommes de gauche et de droite sont correspondent à des séries télescopiques. On peut donc les calculer explicitement :

1 2 n X k=2 1 k2 − 1 (k + 1)2 = 1 2 1 22 − 1 (n + 1)2 = 1 8− 1 2(n + 1)2 et 1 2 n X k=2 1 (k − 1)2 − 1 k2 = 1 2 1 12 − 1 n2 = 1 2− 1 2n2

Pour obtenir un encadrement de Sn= n

X

k=1

uk, il faut ajouter `a ces bornes le terme

corres-pondant `a k = 1, soit ₁13 : 9 8 − 1 2(n + 1)2 6 Sn6 3 2− 1 2n2

3. On sait depuis le début de l’exercice que la série P un converge car c’est une série de

Riemann dont l’exposant 3 > 1. On vient par ailleurs de le re-démontrer puisque l’enca-drement précédent montre que la suite (Sn) qui est croissante est également majorée (par

3

2, par exemple).

4. (a) De l’encadrement de uk ´etabli au d´ebut de l’exercice, on peut tirer un encadrement

de Rn : 1 2 ∞ X k=n+1 1 k2 − 1 (k + 1)2 6 ∞ X k=n+1 1 k3 6 1 2 ∞ X k=n+1 1 (k − 1)2 − 1 k2

Il s’agit là encore de séries télescopiques qui se simplifient pour donner l’encadrement cherché.

(5)

(b) Pour tout n ∈ N∗, le reste Rn donne la diff´erence entre S et Sn. Pour que Sn

soit une valeur approchée de S à 10−2 près, il suffit donc que Rn < 10−2. D’après

l’encadrement précédent, c’est le cas dès que _2n12 < 10

−2_.

Or pour que cette dernière inégalité soit vérifiée, il suffit que n > √50 = 7.07. On peut donc prendre n0 = 8.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 3

1. Le rayon est donn´e par la limite n

2_{− 1}

(n + 1)2_{− 1}.

2. – En R = 1, le terme général _n21₋₁ est équivalent à

1

n2 qui est le terme général d’une série

de Riemann convergente.

– En R = −1, on a affaire à une série alternée.

La série entière est donc définie aux bords de l’intervalle de convergence.

3. Le d´enominateur de la fraction rationnel se factorise sous la forme n2− 1 = (n − 1)(n + 1). La th´eorie assure donc qu’il existe des coefficients a et b tels que

∀n 6= ±1, 1 n2_{− 1} = a n − 1 + b n + 1.

Les différentes méthodes permettant de déterminer les coefficients a et b donnent a = 1₂ et b = −1 2, d’où : 1 n2 _{− 1} = 1 2(n − 1) − 1 2(n + 1). 4. D’après la décomposition précédente, on a

∀x ∈] − 1, 1[, S(x) = ∞ X n=2 1 2(n − 1) − 1 2(n + 1) xn = ∞ X n=2 xn 2(n − 1)− ∞ X n=2 xn 2(n + 1)

5. Pour établir l’égalité demandée, on peut déterminer le DSE de la fonctionx 7→ −1₂x ln(1 − x). Puisque ln(1 − x) = − ∞ X n=1 xn n , on a −1 2x ln(1 − x) = 1 2x ∞ X n=1 xn n = ∞ X n=1 xn+1 2n = ∞ X n=2 xn 2(n − 1) en rempla¸cant n par n − 1. = S (x)

(6)

6. Pour établir l’égalité portant sur S2, on peut là aussi calculer le DSE de la fonction

x 7→ 1

2xln(1 − x), toujours `a partir de celui de ln(1 − x) :

1 2xln(1 − x) = − 1 2x ∞ X n=1 xn n = − ∞ X n=1 xn−1 2n = − ∞ X n=0 xn 2(n + 1) en rempla¸cant n par n + 1. = −1 2 − x 4 − ∞ X n=2 xn 2(n + 1) = −1 2 − x 4 + S2(x)

7. Des deux calculs pr´ec´edents, on tire le DSE de S(x) : S(x) = S1(x) + S2(x) = −1 2x ln(1 − x) + 1 2xln(1 − x) + 1 2+ x 4 = 1 2x − 1 2x ln(1 − x) + 1 2+ x 4 = 1 − x 2x ln(1 − x) + 1 2+ x 4 On a alors ∞ X n=2 1

n2_{− 1} = S(1) = lim_x→1S(x). En utilisant les croissances compar´ees, on

montre que lim

x→1(1 − x) ln(1 − x) = 0 et S(1) =

3 4.

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