M A T H É M A T I Q U E S
Un problème célèbre :
là Mi:
M l'MIGI
Quelques problèmes a p p a r e m m e n t simples m a i s insolubles tels qu'ils é t a i e n t posés ont soulevé, au cours des siècles, de n o m b r e u s e s r e c h e r c h e s et des discussions passionnées. R a p p e l o n s p a r exemple la q u a d r a t u r e du cercle, la duplication du cube et la trisection d ' u n a n g l e quelconque.
On appelle quadrature, d ' u n e f a ç o n générale, la réduction g é o m é t r i q u e d ' u n e figure curviligne à u n c a r r é de s u r f a c e équivalente. L a q u a d r a t u r e du cercle consiste donc à t r a c e r avec la seule aide de la règle et du c o m p a s o r d i n a i r e u n c a r r é de m ê m e s u r f a c e q u ' u n cercle donné. L a duplication du cube a pour
but d ' o b t e n i r, à l'aide des m ê m e s i n s t r u m e n t s , le côté d ' u n cube double en volume d ' u n cube donné. Le problème de la trisection de l'angle t i e n t en la division d ' u n a n g l e quelconque en trois p a r t i e s égales au m o y e n de la règle et du c o m p a s seulement. L'impossibilité de r é s o u d re de tels problèmes est a u j o u r d ' h u i bien d é m o n t r é e, m a i s il v a s a n s dire que les m a t h é m a t i c i e n s actuels p o s s è d e nt le m o y e n de les résoudre d i f f é r e m m e n t , soit à l'aide d ' i n s t r u -m e n t s spéciaux, soit avec la règle et le c o m p a s d'une
façon approchée, soit p a r le calcul.
Il f a u t signaler à nos élèves que si la solution théorique de c e r t a i n s problèmes est impossible leur solution p r a t i q u e n ' o f f r e a u c u n e difficulté i n s u r m o n -table, car il existe des m é t h o d e s d ' a p p r o x i m a t i o n qui suffisent d a n s tous les c a s a u x besoins des p r a t i c i e n s .
M a l g r é ces réflexions on t r o u v e encore, de t e m p s en t e m p s , d a n s des p u b l i c a t i o n s de v u l g a r i s a t i o n , de p r é t e n d u e s solutions de ces problèmes s a n s démons-t r a démons-t i o n edémons-t s a n s indicadémons-tio n d ' a p p r o x i m a démons-t i o n . E n voici u n exemple.
L ' u n de nos élèves nous a p p o r t e un jour la solu-tion i m p r i m é e s u i v a n t e de la trisecsolu-tion de l'angle.
S O L U T I O N I ( F i g . 1)
Soit l'angle AOB à diviser en t r o i s p a r t i e s égales. Du s o m m e t O décrire une c i r c o n f é r e n c e de r a y o n
Figure 1
quelconque et m e n e r la bissectrice OC de l'angle AOB. Du point de r e n c o n t r e F de cette c i r c o n f é r e n ce avec la bissectrice prolongée et avec une o u v e r t u r e 45
de c o m p a s égale à F A t r a c e r une seconde circon-f é r e n c e . P r e n d r e alors le milieu E du s e g m e n t D F . Mener p a r le p o i n t O la parallèle à E A et la parallèle à E B . Ces parallèles p a r t a g e n t l'angle AOB en trois p a r t i e s égales.
Cette construction n'est qu'approchée. L e m a l h e u r est que n o t r e élève, d a n s l'incapacité d'apercevoi r g r a p h i q u e m e n t l ' e r r e u r commise, a v a i t la conviction que le problème é t a i t t h é o r i q u e m e n t résolu.
Voici une solution d i f f é r e n t e p a r u e en 1947 d a n s la revue « L a N a t u r e », sous la s i g n a t u r e de
A . TCHELTSOFF.
S O L U T I O N I I ( F i g . 2 )
Pour diviser l'angle AOB en t r o i s p a r t i e s rigou-reusement égales prolonger OB au delà du s o m m e t
et décrire de celuici comme c e n t r e une circonfé -rence de r a y o n quelconque OA. F a i r e alors p i v o t e r
a u t o u r du. p o i n t A un double d é c i m è t r e j u s q u ' à ce que la d i s t a n c e CE soit égale au r a y o n OA. D a n s cette position l'angle C E B v a u t le t i e r s de l'angle AOB. M e n er ensuite p a r le p o i n t O la parallèle à E C et r e p o r t e r au c o m p a s la corde du t i e r s ainsi obtenue. On peut, au lieu du double décimètre, m a r q u e r sur une r é g l e t t e de p a p i e r rectiligne les p o i n t s E C d i s t a n t s du r a y o n de la c i r c o n f é r e n c e et déplacer cette r é g l e t t e j u s q u ' à ce qu'elle p a s s e p a r le point A en m a i n t e n a n t E sur le côté prolongé de l'angle et C sur la c i r c o n f é r e n c e .
D E M O N S T R A T I O N
D a n s le t r i a n g l e isocèle CEO, l'angle CEO est égal à l'angle COE et l ' a n g l e extérieur ACO du m ê m e t r i a n g l e v a u t d e u x f o i s l'angle CEO. D a n s le t r i a n g l e isocèle COA, l'angle CAO, qui est égal à l'angle ACO, v a u t a u s s i deux f o i s l'angle CEO. M a i s l'angle e x t é r i e u r AOB du t r i a n g l e A E O est la s o m m e des a n g l e s CEO et CAO, il v a u t donc t r o i s f o i s l'angle CEO.
Ainsi la c o n s t r u c t i o n I I est exacte, mais, elle nécessite l'emploi d ' u n i n s t r u m e n t s u p p l é m e n t a i r e :
double d é c i m è t r e ou r é g l e t t e de p a p i e r m a r q u é e de deux points.
Cette c o n s t r u c t i o n p e r m e t é g a l e m e n t de recon-n a î t r e le poirecon-nt f a i b l e de la solutiorecon-n p r é c é d e recon-n t e . P o u r que l'angle A E O soit le t i e r s de l'angle donné AOB, il f a u t que la l o n g u e u r E C soit r i g o u r e u s e -m e n t égale au r a y o n OA. Il n ' e n est rien sur la figure 1, les s e g m e n t s E F , E G et l'angle A E C n ' é t a n t q u ' a p p r o c h é s .
On p e u t vérifier f a c i l e m e n t si l'on possède une table des rapports trigonométriques.
E n effet, p a r la t r i g o n o m o t r i e (fig. 3) : A H T g CEO ( t r i a n g l e r e c t a n g l e E A H ) . E H Avec E H = : OH + O F + E F ; P o u r OA = 1, A H = sin ( ^ a n g l e donné), E F = F G = O F cos ~ ( t r i a n g l e r e c t a n g l e O F G ) . sin y D'où finalement t g CEO = —
cos 2 + 1 + cos —
Cette valeur n'est pas égale à tg
Il est possible, à l'aide des expressions qui p r é -cèdent, d'évalue r l ' e r r e u r commise en f o n c t i o n de l'angle j .
S O L U T I O N I I I
L o r s q u e l'angle à p a r t a g e r en t r o is p a r t i e s égales est donné p a r s a valeur en d e g r é s et m i n u t e s p a r exemple, il suffit pour le diviser d ' e f f e c t u er le quotient de sa valeur p a r t r o i s et de c o n s t r u i r e l'angle ainsi t r o u v é au m o y e n de sa t a n g e n t e t r i g o n o m é t r i q u e .
Ces d i f f é r e n t e s solutions ne sont p a s exclusives. N o u s a v o n s voulu r e t e n i r seulement une solution a p p r o c h é e exécutée à la règle et au compas, u n e
solu-tion e x a c t e effectuée avec un instrument supplémen-taire et une solution utilisant le calcul. Il en existe
d ' a u t r e s que l'on peut f a i r e r e n t r e r d a n s l'une ou l ' a u t r e des c a t é g o r i e s p r é c é d e n t e s .
