ARTheque - STEF - ENS Cachan | Frein à mâchoires type Bendix : Problème de statique niveau TS ou Prépa.

(1)

FREIN R

TYPE

Intérêt:

MRCHOIRES

BENDIH

Etudier les performances d'un frein réel

Estimer l'erreur commise en utilisant une méthode de

résolution approchée.

llhtllllllllllléoee:

voir figure 1

rotation du tambour

w

>

0 *

La

s,..,•Mt1 t r i e

du mée: an i smê Permet d'adopter un schéma de ca 1 cul

plan.

*

Le

c-onta-c-t c-irc-ula-ire llllfc-hoire-ta-Mbour

est effectif; en

réalité, le mécanisme est hyperstatique et ce contact ne pourra

s'établir réellement qu'après un temps d'usure.

*

l ·' e t:'f"or t de l'reina ge

déve 1 oppé par 1 e vérin hydrau 1 i que est

F = 4000 newtons. L'action du. ressort de rappel des mâchoires est

négligé.

*

Contac-t ~~t6c-hoire-tambour:

Tambour

g

2 R = 250mm ;

Largeur du contact

1 = 30mm

Facteur de frottement supposé constant

f =

o,J

Mâchoires symétriques <A et A' symétriques) avec

OA = 96mm ;

e = 15• ; a1 = a'1 = a2 = a'2 =a= 65•;

r =90mm

Cal~aler

le

a~aent

de

~reinage

RESOLUTION

Lei de répartitien dea: pr&a:a:iena: de ce1111111taet:

L'usure radiale u en u.n point Q est

Proporti~nnelle ~

la

pression de contact en ce point.

Raisonnons pour la mâchoire tendue figure 2:

QQo / QQ1 = AH / AQ

d'oà a = QQo = AH.QQ1 / AQ

(2)

d'oü la loi de pression= p

=

PH- cos<b-e)

du fait de la symétrie, même type de loi pour l'autre mâchoire comprimée avec: p' = P'M.cos<b+e) et p' maxi pour b

=

-e

Proj/u ~

f

P.ds.cos<b-e) +

f

f.p.ds.sin(b-e)- U- F.cos e 0 (1) Proj/v ~

f

f.P.ds.cos(b-e)-

f

P.ds.sin<b-e)-

W-

F.sin e

=

0

(2) Moment/Oy ~

f

f.R.P.ds +

U.OA

-

F.r =

0 (3)

Posons j

=

b - e Jt = al - e ;

d'oü P = PM.cos j

<1>~U

=

PM-l.R.<f-J2+j1cos2j.dj + f.f-j2+jlsinj.cosj.dj)- F.cos e

d'oà U

=

k.pM.l.R - F. cos e

<3> donne alors PM = E

<r

+

OA

cos e>

1 . R [ k .

OA

+ f . R< s i nJ 1 + s i nJ 2 ) J

le moment de freinage da â la mtchoire tendue est

- E

<

r

+

OA

cos e )

1 + k

OA

Etude similaire en posant J'= b

+

e ; J't

=

•'1 -

e ; J'2 = a'2 + e avec

k'

= 0.25[2<J't+J'2) + sin2J't + sin2J'2- f(cos2J't - cos2J'2>J on trouve= P}M = F

<

r +

OA.

cos e

>

1 . R [ k' .

OA -

f . R .

<

s i nj •

1

+ s i nj ' 2 ) J

et le moment de freinage sur le tambour est=

Mc

= -

F

<

r

+ OA cos e

>

k' OA 1

(3)

~

(4)

---"'";;>-~-...--

u.!

__

.__..

-::c.

(5)

--ftppliicatiens numériques:

OA = 96mm j R = 125mm j 1 = 30mm ; f = 0.3 ; e = 15• ; a = 65•

j = b - e j jl =ai - e =

so•

=

j ' i ; j2 = a2 + e

=

ao·

=

j'2

r = 90mm ;

F

= 4000

N

d'où:

k

=

1.4087

k'

=

1.4087

<

la m1choire comprimée et litt: ot: :al

Pft = 9,7 bars IP'H = 2:8 bars

est beaucoup plus efficace)

=

92:8 .. 6 H_lllll

SOLUTION

APPROCHE~

Rpprauinuillltien: ( 't' igure 5 )

On suppose le point de pression maximale pour b

=

0 < au lieu de b = e ) et la loi P =PM- cos b < au lieu de P =PM- cos<b-e) ). On conserve toutes les données numériques de l'étude précédente.

llech&rche lille la résul.taate des actions réparties

du tamlllunar sur Ilia -.âcluDire teadae ( 11₀ et ll:z ):

Rx

=

1-a+a p.ds.cos b + 1-a+a f.p.ds.sin b

Rz

=

1-~+a f.p.ds.cos b - 1-a+a P.ds.sin

H

Les termes en sin b sont nuls à cause de la symétrie / Ox de chaquè m1choire d'où Rx = PH-l.R <a+ 0,5 sin2a) et Rz

=

f.Rx

La résultante est donc inclinée de~= Arctan(f) sur l'axe Ox. Il reste à déterminer le point d'application Ide cette

résultante < OI = L ) en exprimant l'équivalence au niveau du moment/Oy.

L.Rz = f-a+a f.R.p.ds d'où

L

= 4 R sin a

2a + sin2a

1.020 1.195 1.239 1.273

EquUiillore de la mâchoire tenclllue:

Rx - XA - F

=

0 Rz - ZA

=

0

Mts/Oy = l.Rz- F . r - ZA.d + XA.d = 0 d'où Rz = F < r + b )

L - d + h/f

(6)

Equilillo~re de la nuich•i~re c•mp~rimêe ( f' igu~re fi ): Résultante en l ' avec 01'

=

L et R'z

=

E

<

c + b

>

et Mc

=

- F

<

c

+ b ) d/L + h/L.l/f- 1 llppliicatii•ns numériques: d + h/f - L 1

=

30mm; r

=

90mm; OA

=

96mm; e

=

tS•; R

=

125mm; f

=

o,J;

a

=

65•; F

=

4000 N; d

=

OA.sine

=

24,85mm et h

=

OA.cose

=

92,73mm L

=

149,31mm

Il 'to't:al :approché = 842.8 H _a au 1 i eu de 928,6 N .l'Ill

d'o~ une erreur de 10Y. dans le sens de la sécurité <

surdimensionnement du frein en utilisant la méthode approchée pour obtenir tel couple nominal ).

Mtchoire tendue: PM • E

<

c

+ b

>

f.l.R < a+ 0,5 sin2a><L - d + h/f) PH= 9,87 bars ; erreur <·2Y. en sécurité

Mtchoire comprimée= P'M

=

E

<

r

+ h

>

f.l.R <a+ 0,5 sin2a)(d- L + h/f) P'H

=

2J,2 bars ; erreur de 20,7 Y. en insécurité

CONCLUSIONS

*

On peut utiliser la méthode approchée plus rapide pour évaluer le moment de freinage. Il suffit de prendre la résultante des

forces réparties sur la mtchoire inclinée de~ <angle de

frottement) sur Ox et de disposer du tableau des valeurs de L/R en fonction de a.

L'erreur commise reste faible <lOY.> dans le sens de la sécurité.

*

Par contre, l'erreur commise sur la pression de contact maximale < mlchoire comprimée) est importante < plus de 20Y.) et dans le sens de l'insécurité.