La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies.. Montrer que φ est

(b) ´ Etudier f : on donnera en particulier une expression simplifi´ ee de f sur tout intervalle de la forme ]k, k + 1[ avec k entier puis on pr´ ecisera ses variations, son

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations. Les r´ esultats du cours sont suppos´ es connus et peuvent ˆ etre utilis´ es sans d´ emonstration

Indication : Choisir un domaine sur lequel la fonction h est holomorphe et born´ ee, v´ erifier les hypoth` eses sur h, et d´ eduire un facteur de d´ ecroissance exponentielle

Soit f un morphisme d’anneaux de R ou C dans lui-mˆeme. On a par hypoth`ese f(1) = 1.

Si on ne fait plus d’hypothèse de ce type ou de continuité, le résultat tombe en défaut, et on verra que même le groupe des automorphismes de C, (strictement) inclus

1. L’application n’est pas surjective car f({1, 2}) = 3 = f({3}). N’´ etant pas injective elle ne peut pas ˆ etre bijective. L’application est surjective car pour tout n ∈ N

N’´ etant pas injective elle ne peut pas ˆ

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D É LÉGATION À LA R EC H E R C H E C L I N I Q U E

Toutes les r´ eponses doivent ˆ etre justifi´ ees et la qualit´ e de la r´ edaction sera prise en compte.

La calculatrice n’est pas autoris´ ee, ainsi que les documents de cours et de TD. Chaque r´ eponse doit ˆ etre justifi´ ee. Un soin particulier devra ˆ etre apport´ e ` a la r´ edaction.

2 Vraisemblance d’une hypoth` ese

rr rr rr ˆ ˆ ˆ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r r

[]= 14 () ˆ A , B ˆ C ˆ e a J N A et = = = a a e a = A e ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ () ⎡⎣⎤⎦ a , a = 1 22ˆ 22 () () J J = = d d r E r r × × A E × B () () () Δ Δ A A = Δ B A − ≥ A iC ∫ ∫ J ˆ = d rE ˆ r ×∇ A ˆ + E ˆ × A , i = x , y , z e = e + i e , ˆ e = i e + e ∑ ∫

  () ˆ ˆ e e J = = e ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ i C () 22ˆ 22 J J = = d d r E r r × × A E × B () () () ∫ ∫ J = × ˆ ˆ J J ˆ = = d rE ˆ r ×∇ e × A e ˆ + − E c.c. ˆ × A , i = x , y , z e = e + i e , ˆ e = i e + e ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ L L ⎡⎣⎢⎤⎦⎥ C ˆ ˆ ⎡⎣⎤⎦ = ( − i ) C e e + c.c. × e e

I n t e gr a t i n g St r u c t u r e d D a t a Us i n g Pr o p e r t y Pr e c e d e n c e