Covariance des perturbations sans masse

formul´ees initialement se trouve donc confirm´ee. Plus sp´ecifiquement, ce sont les com- posantes spatiales h_ij des perturbations qui sont sans masse, alors que les composantes temporelles hτ µ en poss`edent une. Celles-ci poss`edent d’ailleurs toutes la mˆeme masse,

donn´ee par m2 _{= 2H}2

0, ce qui implique que leur masse effective est nulle. Ces composantes

correspondent `a des champs conformes, se comportant comme si elles se trouvaient dans un espace de Minkowski sans expansion.

Les diverses composantes des perturbations m´etriques se divisent donc en deux groupes, les unes ´etant sans masse et les autres sans masse effective. Cette classification des pertur- bations permet d’identifier lesquelles sont susceptibles de contribuer de mani`ere significa- tive `a la partie infrarouge de l’action gravitationnelle. Dans le chapitre pr´ec´edent, on a vu en effet que seuls les champs dont la masse physique est nulle poss`edent une fonction de corr´elation `a deux points qui n’est pas n´egligeable dans l’infrarouge, mais qui augmente au contraire avec le temps. Dans la suite de ce chapitre, on va donc se concentrer sur ces champs sans masse, les seuls qui contribuent dans l’infrarouge, en n´egligeant les compo- santes temporelles des perturbations, hτ µ≈ 0, et en ne conservant que leurs composantes

spatiales [26].

§4.6 Covariance des perturbations sans masse. La premi`ere correction quantique `

a l’action gravitationnelle, celle que l’on cherche `a calculer dans ce chapitre, est donn´ee par la valeur moyenne des termes de deuxi`eme ordre dans l’action, L(2)_{. Il faut donc, pour}

la calculer, connaˆıtre pr´ealablement la valeur moyenne des produits de deux perturbations m´etriques, hµνhρσ. Comme on se propose de n´egliger les composantes temporelles des

perturbations, il suffit de d´eterminer les fonctions de corr´elation `a deux points pour les composantes spatiales, h<sub>ij</sub>h<sub>kl</sub>. Les termes de deuxi`eme ordre dans l’action gravitation- nelle s’´ecrivent alors

1 2κ L (2)_{+ L}(2) J
≈ − 1 8κg µν_∂ µhij∂νhij + 1 16κg µν_∂ µh ∂νh, (4.34)

o`u κ = 8πG<sub>N</sub>. Le facteur de <sub>2κ</sub>1 que l’on a ajout´e dans l’expression pr´ec´edente s’av`ere n´ecessaire d`es qu’on veut comparer l’action gravitationnelle `a celle d’une certaine mati`ere, par exemple un champ scalaire, comme on compte le faire ici.

La trace des perturbations m´etriques est maintenant approximativement ´egale `a celle des seules perturbations spatiales, h = hµµ ≈ hii, du fait qu’on n´eglige les composantes

temporelles. Pour cette raison, il est commode de r´e´ecrire le lagrangien pr´ec´edent en r´eunissant dans le mˆeme terme tous ceux d´ependant de la trace. Pour ce faire, il suffit de red´efinir les perturbations spatiales de fa¸con `a ce qu’elles poss`edent une trace nulle,

¯

h_ij = h_ij − 1

3hδij, (4.35)

o`u la trace de ¯h_ij est approximativement nulle, ¯h_ii= h_ii−h ≈ 0. Dans ce cas, le lagrangien pour les perturbations devient

1 2κ L (2)_{+ L}(2) J
≈ − 1 8κg µν_∂ µ¯hij∂ν¯hij + 1 48κg µν_∂ µh ∂νh. (4.36)

Les deux termes de ce lagrangien sont maintenant ind´ependants, l’un contenant toute la trace et l’autre n’en poss´edant aucune. Il s’ensuit que les champs ¯h_ij et h n’interagissent pas entre eux, de sorte que leurs fonctions de corr´elation peuvent ˆetre calcul´ees s´epar´e- ment. En particulier, leur fonction de corr´elation `a deux points est nulle, car leurs valeurs moyennes dans le vide sont nulles,

h¯h_ij = hhi ¯h_ij = 0. (4.37)

Les fonctions de corr´elation des perturbations originales, celles que l’on cherche `a calculer pour la suite de ce travail, se composent donc de deux contributions, l’une due `a la trace et l’autre aux champs sans trace,

h_ijh_kl = ¯h_ij¯h_kl + 1

9δijδklh

2_{. (4.38)}

Il est clair que les champs ¯hij et h poss`edent des fonctions de corr´elation proportion-

nelles `a celles d’un champ scalaire libre et sans masse, se trouvant dans un espace de Sitter. Toutefois, comme leurs lagrangiens respectifs sont de signes contraires, il en ira de mˆeme aussi pour leurs fonctions de corr´elation `a deux points. On choisit d’exprimer ces fonctions de corr´elation en termes de celle d’un champ scalaire g´en´erique ϕ, d´ecrit par le lagrangien

L = −1 2g

µν_∂

Ce choix implique que les fonctions de corr´elation `a deux points pour ¯h<sub>ij</sub> seront du mˆeme signe que celle du champ ϕ, alors que celle pour h sera de signe contraire. Plus pr´ecis´ement, en comparant le lagrangien pr´ec´edent `a celui pour la trace des perturbations m´etriques, on en d´eduit que la fonction de corr´elation de cette derni`ere est reli´ee `a celle de ϕ selon

h2_{= −24κ ϕ}2_{. (4.40)}

Quant aux fonctions de corr´elation pour ¯hij, il faut distinguer diff´erents cas. Ces

champs poss`edent en effet une trace nulle, ce qui fait qu’ils ne sont pas tous ind´ependants les uns des autres, ´etant reli´es par la contrainte ¯h<sub>ii</sub> = ¯h<sub>xx</sub> + ¯h<sub>yy</sub> + ¯h<sub>zz</sub> ≈ 0. Or, comme cette contrainte ne concerne vraiment que les composantes diagonales de ¯h<sub>ij</sub>, celles qui se trouvent hors diagonale ne la subissent pas et conservent ainsi leur ind´ependance, `a ceci pr`es qu’elles doivent ob´eir `a la contrainte de sym´etrie propre `a toute m´etrique, ¯h_ij = ¯h_ji. Cela dit, il convient donc de d´ecomposer le lagrangien de ¯h_ij en y s´eparant les composantes diagonales et hors diagonale, et en y regroupant les composantes ´egales,

− 1 8κg µν ∂µ¯hij∂ν¯hij = − 1 8κ X i gµν∂µ¯hii∂ν¯hii− 1 4κ X i<j gµν∂µ¯hij∂ν¯hij. (4.41)

Les composantes diagonale et hors diagonale de ¯hij sont donc ind´ependantes les unes

des autres, leur lagrangien ne comptant pas de termes crois´es. C’est aussi le cas pour les composantes hors diagonale entre elles. Il s’ensuit que les fonctions de corr´elation `a deux points combinant ces diverses composantes les unes avec les autres sont toutes nulles. Par exemple, _¯ h_xx¯h_xy = ¯hxx  _¯ h_xy = 0, _¯ h_xy¯h_xz = ¯h_xy ¯h_xz = 0, (4.42)

et similairement pour les autres fonctions de corr´elation de ce genre. Il serait toutefois erron´e d’en conclure ´egalement que ¯hxx¯hyy

= 0, car ces deux champs ne sont pas r´eellement ind´ependants, ´etant reli´es l’un `a l’autre par la contrainte sur la trace de ¯hij.

Enfin, toutes les fonctions de corr´elation `a deux points restantes, celles qui ne s’annulent pas du fait de l’ind´ependance des champs, sont n´ecessairement proportionnelles `a celle du

champ ϕ. On peut donc condenser toutes les conclusions pr´ec´edentes en ´ecrivant

_¯

h_ij¯h_kl = α ϕ2 δ_ikδ_jl+ δ_ilδ_jk+ β δ_ijδ_kl
, (4.43)

o`u α et β sont deux constantes `a d´eterminer. Pour ´etablir cette expression, on a notamment tenu compte de la sym´etrie de ¯h_ij, de fa¸con `a ce que _¯

h_ij¯h_kl = ¯hji¯hkl. En comparant

le lagrangien pour ¯h_ij `a celui du champ ϕ, on en conclut que _¯

h2_xy = ¯h2_xz = ¯h2_yz = 2κ ϕ2 . (4.44)

Cette nouvelle contrainte permet de fixer la valeur de α, car ¯h2xy

= α hϕ2i selon la d´efinition pr´ec´edente pour la fonction de corr´elation, de sorte que α = 2κ. La valeur de l’autre constante peut ˆetre d´etermin´ee en se servant du fait que la trace de ¯h_ij est approximativement nulle. On a en effet que

_¯

hij¯hkk = 2κ ϕ2

2 + 3β
δij, (4.45)

mais puisque ¯h_kk ≈ 0, il faut alors que β = −2

3. Les fonctions de corr´elation `a deux points

pour les champs ¯h_ij s’´ecrivent donc finalement [25]

_¯ h_ijh¯_kl = 2κ ϕ2  δ_ikδ_jl+ δ_ilδ_jk −2 3δijδkl  . (4.46)

En combinant ces fonctions de corr´elation `a celle pour h, on en d´eduit celles pour les composantes spatiales des perturbations m´etriques originales,

hijhkl = 2κ ϕ2

δ_ikδ_jl+ δ_ilδ_jk− 2δ_ijδ_kl
. (4.47)

§4.7 Fonction pour la premi`ere correction quantique. Dans la suite de ce travail,