Feuille 3

(1)

Université de Rennes 1 2011-2012

Magistère de mathématiques L3-Topologie

Feuille 3 :

Espaces vectoriels normés

Exercice 1. Démontrer que dans tout espace normé on a si x 6= 0 et y 6= 0 x kxk− y kyk ≤ 2kx − yk kxk .

Exercice 2. On considère E = R[X] et A une partie non vide de R.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur A pour que kP k = sup{|P (x)| | x ∈ A} soit une norme sur E.

2. La condition précédente étant vérifiée, donner une condition nécessaire et suffisante pour que φ définie par φ(P ) = P (0) soit continue sur E. Indication : On considèrera des poly-nômes de la forme : X2−b2

b2

n

, b = sup_A|a|.

Exercice 3. Sur C[X] on considère la norme définie par kP k = sup |ai| si P (X) =Pni=0aiXi.

Pour tout x₀ _{on considère l’application linéaire φ : C[X] → C définie par φ(P ) = P (x}₀). Déterminer les x0 pour lesquels φ est continue et calculer alors sa norme.

Exercice 4. Montrer que l’application

N : R2→ R, (x, y) → N(x, y) = sup

t∈[0,1]

|x + ty|

est une norme sur R2. Dessiner la sphère unité.

Exercice 5. Pour quelles valeurs du réel λ définit-on une norme sur R2 par Nλ(x, y) =

p

x2_{+ 2λxy + y}2_?

Comparer les deux normes N_λ et N_µ.

Exercice 6. Soit A une partie non vide et bornée d’un espace normé E. Montrer que toute demi-droite d’origine a dans A rencontre la frontière de A. En déduire que A et F r(A) ont le même diamètre.

Exercice 7. Soit Rn[X] ⊂ R[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré n au plus.

Montrer que

P → sup

x∈[0,1]

|P (x)| = kP k

est une norme ; on note, en particulier, En ⊂ Rn[X] l’ensemble des polynômes normalisés

(co-efficient 1 pour le monôme maximal) de degré au plus n. Montrer qu’il existe a(n) ∈ R∗+ tel

que

∀P ∈ En kP k ≥ a(n).

(2)

Exercice 9. Dans l’espace des fonctions continues définies sur [0, 1] à valeurs dans R, muni de la norme k · k∞, on considère une famille (f1, . . . , fp) ∈ Epet on définit l’application N : Rp → R

par N (x1, . . . , xp) = k p X i=1 xifikL∞.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que N soit une norme sur Rp_.

Exercice 10. Soit C l’espace vectoriel des suites convergentes de nombres réels et C0 le

sous-espace des suites convergentes vers 0. On munit C et C0 de la norme `∞.

1. Montrer que C₀ est fermé dans C.

2. On définit une application T de C dans C0 en associant à la suite (xn) la suite (yn) définie

par y₀ = lim

n→∞xn et yn= xn−1− limn→∞xn pour n ≥ 1.

(a) Montrer que T est linéaire continue et calculer kT k. (b) Montrer que T est bijective.

(c) Montrer que pour tout x ∈ C, kT (x)k ≥ 1₂kxk. (d) Conclure que C et C0 sont isomorphes.

Exercice 11. On considère l’application linéaire de R3 dans R2 de matrice1 2 3 4 2 4

dans les bases canoniques. Calculer la norme de cette application dans les cas suivants :

1. R3 et R2 sont tous deux munis de la norme `∞. 2. R3 est muni de la norme `1 _{et R}2 de la norme `∞.

3. R3 est muni de la norme euclidienne et R2 de la norme `∞.

Exercice 12. Une base de Kn étant fixée, R = R ou C, on considère les normes |X|₁= n X i=1 |x_i| et |X|_∞= sup i∈{1...n} |x_i| .

Dans M_n_{(K), on leur associe les normes} kAk_p = sup

|X|_p=1

|AX|_p p ∈ {1, ∞} .

Vérifiez que pour A = (aij) on a

kAk₁= sup j X i |aij| et kAk∞= sup i X j |aij| .

En déduire que sup_jP

i|aij| et supi

P

j|aij| définissent des normes d’algèbre sur Mn(K).

Exercice 13. Calculer les normes des formes linéaires suivantes sur C([−1, 1]) muni de la norme de la convergence uniforme.

(3)

1. R1 0 f (x) dx 2. R1 −1sign(x)f (x) dx 3. R1 −1f (x) dx − f (0)

4. f (a)+f (−a)−2f (0)_a2 , où a ∈]0, 1] est une constante.

5. P∞ n=1 (−1)n n2 f ( 1 n).

Exercice 14. Montrer que si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé alors F est un sous-espace vectoriel de E. Donner un exemple ou F 6= F . Montrer l’équivalence ◦

F 6= ∅

⇔ (F = E).

Exercice 15. Pour A et B deux parties d’un espace vectoriel normé (E, k k), on note A + B = {x + y, x ∈ A, y ∈ B}.

1. Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert. 2. Vérifier que si A et B sont convexes, A + B est convexe. 3. Montrer que si A est compact et B est fermé, A + B est fermé.

4. Dans le cas de R2 considérer l’exemple A = R−× {0} et B =(x, y), y ≥ 1_x, x > 0 .

5. Montrer que si A et B sont fermés et si de plus la somme S : (x, y) ∈ A × B → S(x, y) = x + y ∈ E est propre (au sens où S−1(K) est compact si K est compact) alors A + B est fermé.

Exercice 16. Théorème de Cayley-Hamilton : On travaille dans M_n_{(C) et pour une} matrice A on note PA(X) son polynôme caractéristique : PA(X) = det (XId − A).

1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C). (Indication,

on travaillera sur la forme trigonalisée.)

2. En déduire que pour toute matrice dans Mn(C), on a PA(A) = 0. Que peut-on dire pour

les matrices de M_n_{(R) ?}

Exercice 17. Montrer que dans un espace vectoriel normé (E, k k_E), on ne peut avoir deux applications linéaires continues u et v telles que

u ◦ v − v ◦ u = Id. (On vérifiera un◦ v − v ◦ un_{= nu}n−1_).