Théorème de Riesz pour des processus réels

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

P. Y. G ^LORENNEC J. P ^ELLAUMAIL

Théorème de Riesz pour des processus réels

Annales de l’I. H. P., section B, tome 10, n

^o

3 (1974), p. 355-367

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Théorème ^{de Riesz} pour des processus ^réels

P. Y. GLORENNEC et J. PELLAUMAIL 1. N. S. A., ^Rennes.

Laboratoire de probabilités : E. R. A. 250 Ann. Jnst. Henri Poincaré,

Vol. X, ^n° 3, 1974, p. 355-367.

Section B : Calcul des Probabilités et Statistique.

RÉSUMÉ. - Le but essentiel de cette étude est de prouver

l’analogue

du théorème de Riesz _pour une mesure

stochastique (cf. [8]) ; plus pré-

cisément on montre

qu’on

peut identifier

l’espace

^{des mesures}

stochastiques

en moyenne d’ordre _p à ^un _espace ^« faiblement »

compact d’applications

linéaires continues.

INTRODUCTION

Dans

[8],

^on

^associe,

à certains processus, une mesure

stochastique,

mesure définie ^sur la tribu des

prévisibles

^et à valeurs dans

Lp .

Ceci conduit à ^se demander si on

peut

prouver, pour ^une telle mesure

stochastique,

des

propriétés généralisant

^les

propriétés classiques

^{des mesures définies}

sur la tribu des boréliens de IR.

Le but essentiel de l’étude

qui

^{suit est de}

généraliser

^{les théorèmes de}

Riesz et de Paul

Levy

aux mesures

stochastiques :

^{comme dans le cas}

réel

usuel,

^la démonstration du théorème de

Levy

^ainsi

généralisé (pro- position A-6),

repose ^{sur une}

propriété

^de

compacité

^{« faible ».}

Plus

précisément,

^{on montre}

^{qu’on peut}

identifier

l’espace

^{des mesures}

stochastiques

^en moyenne d’ordre p ^{et un} sous-espace fermé de

l’espace

des

applications

^linéaires continues de Yf dans

~ , P)

^{où Yf}

désigne l’espace

des processus à

trajectoires

continues muni de la norme de la convergence uniforme

(théorème A-2).

3 - 1974.

355

356 P. Y. GLORENNEC ET J. PELLAUMAIL

Au

paragraphe A,

^on prouve ^ces résultats

quand

^{Q est un} espace

quel-

conque.

Au

paragraphe B,

^{on étudie le cas où Q est un} espace

topologique

^et

où les tribus

~r

des événements « antérieurs à t ^» sont liées à la

topologie

donnée sur Q.

On

peut,

^{dans ce} cas, obtenir

quelques

^résultats

complémentaires

^et

choisir,

pour

.~, l’espace

^des processus continus par

rapport

^{à l’ensemble} des deux variables _{t et m,} c’est-à-dire un espace

plus petit

que dans le

cas

général

^{considéré au}

paragraphe

^A.

A. CAS

OÙ

Q EST

QUELCONQUE

A .1. Données et conventions

générales

pour le

paragraphe

^A.

Pour tout ce

paragraphe A,

^{on se donne :}

un ensemble d es temps ^{T =}

[0, 1] J

un espace

probabili.sé (S2, ~, P) complet

- une

famille

croissante de sous-tribus de ~ contenant toutes tous les ensembles de mesure nulle de ~. On suppose que ^cette

famille

^est

continue à

droite,

c’est-à-dire que, pour ^tout élément t de

T, ~t

⁼

~t + .

Par convention

quand

^on

parlera

de processus

adapté, prévisible,

^de

tribu des

prévisibles,

^{etc..., ce sera}

toujours

relativement à la base de _pro-

cessus

(Q, ~,

On

désignera

par ~’ l’ensemble des _processus X déterministes

(c’est-à-dire

que ⁼

quels

que soient t, ^et

co’)

^à

trajectoires

^{continues et}

tels que

Xo

^{= 0.}

On

désignera

^{par ~} l’ensemble des _processus réels borné.s

adaptés

^à

trajectoires

continues, ^et nuls _pour ^{t =} 0 : cet espace ^sera

toujours

^muni de la

topologie

de la convergence

uniforme.

Pour tout élément t de

T,

^on

désignera

par

~t

^le sous-espace de ~ consti- tué des _processus h tel.s _que h ⁼ h

On notera

Lp ^l’espace Lp P)

^et

Lp

^{le dual de}

Lp

c’est-à-dire

L~

si _p ⁼ 1 et

L’ - p Lq

^{si p > 1}

et 1 p + - q =

^{1 . Sauf}

^précision contraire, L

^et

Lp

^{seront munis de leurs}

topologies

^usuelles

d’espaces

^{de Banach. On}

notera

Lp ^l’espace Lp

^{muni de sa}

topologie

^{faible et on posera}

f g i

⁼

Rappelons

que la tribu ~’ de

parties

^de

(Q

^x

]0, 1]) engendrée

par les éléments de :~ est la tribu des

prévisibles (cf.,

^par

exemple [4]).

357 THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS

A . 2 . Théorème.

On considère les données et conventions

indiquées précédemment.

^Soit p

un réel avec p ^> 1. Soit m une mesure

stochastique

^{réelle en} moyenne d’ordre p.

Soit

(h, g)

^-~

m(h, g) l’application qui

^{à tout élément}

(h, g)

^de

(~

^x

Lp)

associe le réel

m(h, g)

⁼

E Î g . ]0,

^{1 h .}

dm - Î ]0,1]

^h.

^dm, g

Cette

application

^m

satisfait

^aux conditions suivantes :

(i)

^{elle est} bilinéaire continue

(comme indiqué précédemment,

^{~ étant}

muni de la

topologie

^de la convergence

uniforme

^et

Lp

^{de sa}

^topologie

^u,suelle

d’espace

^de

Banach ) .

(ii)

^{Pour tout élément t de}

T,

^et pour ^tout

couple (h, g)

appartenant ^à

g) = E(g ~

(iii)

^{Pour tout élément H de}

~,

^si

h,

élément de

~,

^est tel que h = h x on a

m(h, 1 H) =

⁰

(où 1 H

^{est considéré comme un} élément de

Lp ) .

Réciproquement,

^{soit m une}

fonction

^réelle

définie

^sur

(~

^x

Lp) ^qui satisfait

^aux

conditions (i), (ii)

^et

(iii) qui précèdent.

^{Alors m induit une mesure}

stochastique

^{m en} moyenne d’ordre _p

unique

^telle que, pour ^tout élément

(h, g)

de

(~

^{x on ait :}

On peut donc

identfier

l’ensemble des mesures

stochastiques

^en moyenne d’ordre _{p à} un sous-espace ~ll

(, R).

^De

plus,

^ce sous-espace ~ ^est

fermé

^{pour la}

topologie

^{de la} convergence

simple

^{donc toute}

partie

^bornée de M est relativement compacte pour ^cette même

topologie.

Preuve :

1)

^{Si m est} une mesure

stochastique,

^on vérifie facilement _que

l’appli-

cation m satisfait aux conditions

indiquées.

^Le

problème

^{est donc de}

prouver la

réciproque.

^Avant

cela,

^et pour éclairer la

situation,

^{nous allons}

associer à m une autre

application ^m.

^On suppose

donc, désormais,

que m est une

application

^{réelle définie sur}

(~

^x

Lp) ^qui

^{satisfait aux condi-}

tions

(i), (ii)

^et

(iii).

Pour tout élément h fixé de

9V, l’application g -~.~ m(h, g)

^{définit une}

forme linéaire continue sur

Lp

c’est-à-dire un élément de

Lp (puisque Lp

^est

réflexif)

que l’on ^notera

m(h) :

^{on a}

donc,

par

définition, m(h, ~) = ~ g ).

L’application

^{h -~}

m(h)

^{est alors une}

application

^définie

sur,

^{à valeurs}

Vol.

358 P. Y. GLORENNEC ET J. PELLAUMAIL

dans

Lp

^et

^qui

^{satisfait aux} conditions

(i’), (ii’)

^et

(iii’)

^suivantes

(qui

^cor-

respondent respectivement

^aux conditions

(i), (ii)

^et

(iii)) :

(i’) ^m

^{est linéaire}

continue,

Jf étant muni de la norme de la convergence

uniforme

^et

Lp

^{étant muni de sa}

^topologie

^{ou, ce}

^qui

revient ici au

même,

de sa

topologie d’espace

^{de Banach}

(cf.

par

exemple [3], chap. IV,

para-

graphe 5, proposition 7),

p. 114.

(ii’)

^{Pour tout élément t de}

T, m(h) appartient

^à

~r, P)

si h appar- tient à

(iii’)

^{Si H}

appartient

^{à ~ et}

^{si h}

^{est un élément} de Jf tel que h. 1 H x

= h,

alors

m(h).

⁼

m(h).

Notons que,

réciproquement,

^{si on se donne une}

application m

définie sur

Jf,

à valeurs dans

Lp

^et

qui

^{satisfait aux} conditions

(i’), (ii’)

et

(iii’) qui précèdent,

alors la fonction réelle

m,

^{définie - sur}

(Jf

^x

Lp)

par

m(h, g)

⁼

( m(h), g ),

^{satisfait aux} conditions

(i), (ii)

^et

(iii).

(Tout

^ce

qui précède

^se vérifie de

façon immédiate).

Pour la suite de la

démonstration,

^{on va utiliser} la fonction

m.

2)

Nous allons maintenant _prouver la

propriété

^{suivante :}

(iv’)

^si

(h")n> o

^{est une suite} d’éléments de

H+

telle

que hn ~

^{0 on a}

(où Il désigne

évidemment la norme de

m(hn)

^dans

Lp).

Pour

cela,

^{nous allons raisonner} par l’absurde en

supposant qu’il

^existe

ë > 0 et une suite _o d’éléments de àf telle que 0 et telle que, pour tout

n, Il m(hn)

^{4e. Soit a la norme de}

^m

c’est-à-dire _{que a} ⁼

Sup . ~ ~ m(h) I

^.

~h~¹ On pose b ⁼

Sup 1.

^.

t, w

Pour tout n >

0,

^soit

6(n)

^le

temps

d’arrêt défini _{par :}

Soit

A(n) = [6(n) 1].

La suite est une suite croissante telle que

A(n) ,~ ~ d’après

^le

théorème de Dini.

Pour tout n >

0,

^soit

u(n)

le processus

hn

^{arrêté à}

6(n),

c’est-à-dire _{que :}

et soit

v(n)

⁼

hn - u(n).

^On

a v(n) ~

^2b.

Les processus

u(n)

^et

v(n) appartiennent

^{à ~.}

De

plus [[ E/a

^{donc :}

THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS 359

Enfin, v(n)

⁼

v(n)

¹ .r donc

On construit alors

l’application

croissante

f

^{de N dans N définie} par récurrence de la

façon

suivante :

f ( 1 ) = 1, puis f (n)

^étant

déterminée,

soit

f (n

⁺

1)

^{un entier}

supérieur

^à

f (n)

tel que

Soit

B(n)

⁼

A[ f (n)]

⁺

1 )].

^{On a}

Pour

alléger

^les

notations,

^on pose ⁼

vLf(n)].

Pour tout n >

0,

^soit

~n

le processus défini par

et

Le processus

appartient

^à

1%Y ;

^en

effet,

^{si c~}

appartient

^à

Q,

^{il existe}

j

^{> n} tel que

a~ ~

^{donc est} la borne inférieure d’une famille

finie de fonctions

continues,

^{à savoir}

On pose

alors,

wn ⁼ On a

donc

Or

^2b

donc ^effet,

^si

^(t, w) appartient

^à

n>0

l’intervalle

stochastique ]~( f [n]), 1 ])J, cv) = 0

pour

k > n, 1 wn(t, w) [

^2b et, ^ou

bien,

pour ^tout k

n, a~) ~ ^2-k

^ce

qui

implique ~ ~ ^{0153) ~ ~ 1,}

^{ou bien il existe un k ~ tel}

^que 0153) ~ > 2 ’B

kn

ce

qui implique wit, ^cv)

^{= 0}

pour j

^k

et w~(t, cc~) ~ ^{2-~ pour j}

^>

^k,

soit 1

_kn

^{0153) ~}

^{1 + 2b.}

La famille

(wn)n>

^{o satisfait donc aux} deux conditions suivantes :

360 ^{P. Y. GLORENNEC} ET J. PELLAUMAIL

On construit alors

l’application croissante g

^{de N} dans N définie _par récurrence de la

façon suivante ; g( 1 )

^{= 1}

puis, g(n)

^étant

déterminé,

^soit

g(n

⁺

1)

^{un entier}

supérieur

^à

g(n)

^tel que

On _pose

wn

⁼

kn

Pour tout n,

W~ appartient

^à

9f, [ m) [

^{5 1 + 4b et}

mais ceci contredit ^le fait que ^{m est} continue.

3) Puisque Lp

^{est un espace}

^réflexif,

^{la condition}

^(iv’)

^{suffit pour}

^pouvoir appliquer

^{la méthode du}

prolongement

de Daniell

(cf. [6]

^ou

[9]) ;

^autre-

ment

dit, l’application m prolonge

^{à une} classe ~ de fonctions stables _par convergence dominée et ce

prolongement

^{satisfait au} théorème de conver-

gence dominée : on notera encore m ce

prolongement.

Ce

prolongement m

^{induit une fonction} à valeurs dans

Lp

^{définie et}

fortement a-additive ^sur fonction _{que l’on} notera m. Il reste à prouver que m ^est bien une mesure

stochastique

^en moyenne d’ordre _p

(cf. [8]-1-B-1 ).

Pour

cela,

^{il faut} prouver les conditions

(i)

^et

(ii)

^de

[8]-1-A-6.

Soit ^{u un} élément de

]0, 1].

^{Soit suite de} fonctions définie _pour

l/n

^u, par :

On pose

g"(t, ~.~)

⁼

h"(t) .

¹ ~~ ^x ~o~ 1» ~

D’après

^{la condition}

(ii’),

^pour

1 ^{- ’}

tout n > - ,

m(g") appartient

^à

Lp(SZ, Fu+1/n, ^P);

^{on en}

^déduit,

^{par conver-}

u

gence

dominée,

que ]0,

ui) appartient.à Lp ^S2,

^{pour tout n}

THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS 361

et donc à

P) puisque

la famille été

supposée

^continue

à droite : ceci _prouve la condition

1-A-6-(ii)

^de

[8].

Par

ailleurs,

^{soit u un élément de}

[0,

¹

[

^{et H un} élément de

~u .

^Soit

(hn)" >

o

la suite de fonctions définie _{par :}

Soit suite de processus définie _par

D’après

la condition

(iii’),

⁼

1 H . m(gn) ;

^{on en déduit par conver-}

gence

dominée,

que

m(H

^x

]u, 1])

⁼

lH.m(H

^x

]u, 1])

^ce

qui

^{est la condi-}

tion

1-A-6-(i)

^de

[8].

^La fonction m est donc bien une mesure

stochastique.

4)

^{On a donc}

prouvé

que l’ensemble des mesures

stochastiques

^en

moyenne d’ordre _p

peut

^{être identifié à un} sous-espace ¹ de

2(Jf, Lp).

On vérifie

immédiatement,

sur les conditions

(ii’)

^et

(iii’),

que ^ce sous-espace est fermé pour la

topologie

de la convergence

simple,

^{.~ étant}

toujours

muni de la norme uniforme et

Lp

^{de sa}

^topologie

^faible.

On sait _que toute

partie

^{bornée de}

L:)

^est relativement

compacte

pour la

topologie

de la convergence

simple (cf.,

^par

exemple, [3],

corollaire 3 du théorème

1),

p. 65.

Il en est donc de même de toute

partie

^{bornée de}

^~l

ⁱ

puisque ^{~l est}

une

partie

^fermée. La fin du théorème annoncée s’en déduit en utilisant

l’isomorphisme

^{de i dans .fl}

qui ^{à m}

^{associe m.}

A. 3.

Remarques.

a)

^Si p ⁼

1,

^on peut ^{de même montrer} que

l’espace

^{des mesures sto-}

chastiques

^en moyenne peut ^être identifié à ^un sous-espace ~ de

l’espace

des

applications m

^{continues de J( dans}

P) qui

transforment _{les par-} ties bornées de .~ en

parties

^{bornées et}

équi-intégrables

^de

^!F, P) ;

un tel élément m

appartient

^{à ~l si et} seulement si les conditions

(ii)

^et

(iii)

du théorème

précédent

^sont

satisfaites ; compte

^{tenu du théorème 2-9 de}

[2],

la _preuve de ceci est

rigoureusement identique

^{à celle du théorème}

pré-

cédent.

b)

^Par

définition,

^le théorème

précédent

^montre

qu’on

peut ^identifier

l’espace

^{des mesures}

stochastiques

^d’ordre p à un sous-espace fermé de fonctions aléatoires linéaires continues d’ordre _p

(cf.,

par

exemple [1], exposé 12).

c) D’après

^{le théorème}

précédent,

^{on a identifié}

l’espace

^{des mesures}

Vol. 3 - 1974.

362 P. Y. GLORENNEC ET J. PELLAUMAIL

stochastiques

^en moyenne d’ordre _p comme un sous-espace ~~ de

~(~, LP,

^{il revient au même de dire que cet espace} peut ^être identifié à un sous-espace de

(:~ Q,~ (dual topologique

^{de :~}

Q LP

^{muni de}

sa norme

projective).

d)

^{Il est} bien évident

qu’en

identifiant les mesures

stochastiques

^en

moyenne d’ordre _p, on identifie une classe

importante

de processus, à savoir les processus de

répartition

^en moyenne d’ordre p

(cf. [8]).

A 4 . Notations : et Soit

p >

^1.

Soit X ^un processus réel tel que, pour ^tout élément t de

T, Xt

appar- tient à Soit x la fonction définie sur

l’algèbre engendrée

par les inter- valles de

]0, 1] ]

par

x(]s, t])

⁼

Xi - XS .

On dira _que X

appartient

^à

~P

^{si x admet un}

prolongement

^{à la tribu des}

boréliens de

T, prolongement ~-additif

pour la

topologie

^{de On dira} que X

appartient

^{à si X est un} processus de

répartition

^en moyenne d’ordre p

(çf. [8]).

On a

évidemment Jp

^ce

Rp

^et

^p p’ implique Jp’ ~Jp

^et

Rp’

^c

En

général, ~P

^{est différent de}

.~P ^(cf. [8]), III-F,

p. 84.

A. 5. Notation

~X( . ) :

fonction

caractéristique

^{associée à un processus.}

Soit X un processus appartenant i

(cf précédemment~.

^{On notera}

le « processus »

(non adapté~

^{admettant (l~ comme} ensemble des temps, ba.sé

sur

(S2, ~, P)

_

et

défini

par ⁼

A. 6.

Proposition.

Soient _p > 1 et a > 0. Soit

(X")">o

^{une suite de processus}

appartenant

à

~P ^(resp. ~P) ^(cf

^{A .}

^4),

^{telle que,}

^quels

que soient ^{n >} 0 et h E àf

( resp.

^{h E}

(çf.

°

A .1 ),

’

Il Î Î h.dXn

^dX"

Î Î

^{p a si}

^Sup

^{t, w}

^{h(t, cv) (}

1. Soit X un processus apparte-

tenant à

J1.

Alor.s,

^{la suite} o converge ^vers le _processus X au sens

jhdX"

^converge

,faiblement

^dans

LP

^vers

hdX

^{pour tout} élément h de

(resp.

^{de si et}

363 THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS

seulement

si,

pour ^tout élément u de

R, 03C6Xn(u)

converge

faiblement

^dans

Lp

vers Dans ce cas X

appartient

^à

~p ^(resp. ).

Preuve :

1)

La convergence

indiquée

^des

processus (X")

^vers le processus X

implique

évidemment la convergence des « fonctions

caractéristiques

^{» :}

le

problème

^{est de} prouver la

réciproque.

2) D’après

^les

hypothèses,

les processus X"

appartiennent

^{à une}

partie

« faiblement bornée » et donc ^« faiblement relativement

compacte »

^comme

indiqué

^{au théorème A. 2. On}

peut

donc extraire une sous-suite

qui

converge ^« faiblement » vers Y :

d’après

^le

1),

converge ^vers mais ceci

implique

^{X = Y}

(on

prouve facilement _que, comme dans le cas

réel, ~x

caractérise la « mesure » associée au processus

X, qu’il s’agisse

de la mesure

stochastique

^{définie sur} la tribu des

prévisibles

^{ou de la mesure}

définie sur les boréliens de T comme

indiqué

^{en A.}

4).

^{On en déduit} que

.

X

appartient

^à

~p ^(resp. ~p).

^De

^plus,

^toute sous-suite extraite de la suite admet une sous sous-suite

qui

converge ^vers X au sens

indiqué :

on en déduit la même convergence pour la suite initiale

(X")" > o .

A. 7.

Remarque.

Soient _p > 1 et a > 0.

Soit X un processus

qui appartient

^à

~1 .

^Soit

(X")" > o

^{une suite de}

processus

appartenant

^à

~p (resp. ~p)

telle que,

quels

que soient n > 0

Il Il

^{a. On} suppose que, pour ^tout h

appartenant

^à

Jf, MX"

^converge faiblement dans

Li

^{vers La}

proposition qui précède

^montre alors que X

appartient

^à

!/p ^(resp. ~p)

et que, pour ^tout élément h de ~’

(resp.

^de

:~), MX"

^{converge faible-}

ment dans

Lp

^{vers dX.}

B. CAS

OÙ

Q EST UN ESPACE

TOPOLOGIQUE

B . 1. Introduction.

On va supposer, dans ce

paragraphe B,

que Q ^{est un} espace

topologique,

et que les tribus

(~t)

^sont associées à certaines classes de fonctions conti-

nues sur Q.

Vol.

364 P. Y. GLORENNEC ET J. PELLAUMAIL

Pour faciliter la

lecture,

^ce

paragraphe

est, dans une certaine _mesure,

rédigé indépendamment

^du

paragraphe précédent :

ceci conduit à

quelques répétitions

^{de détail.}

’

B. 2. Données et notations _{pour le}

paragraphe

^B.

On _{pose T} ⁼

[0, 1].

^On

désignera

par p ^un réel strictement

supérieur

^{à 1.}

On se donne :

- un espace

topologique Q ;

^on pose Q’ ⁼ Q ^x

]0, 1]

^{muni de la}

topo- logie produit

^{de la}

topologie

^{donnée sur Q et de la}

topologie

^{usuelle sur}

]0, 1],

- une famille croissante de famille de fonctions réelles définies

et continues sur Q.

Pour tout élément t de

T,

^on

désignera

par

~r

la tribu de

parties

^{de Q}

engendrée

par les éléments de

~t .

Pour

alléger l’écriture,

^on

posera % = ~ et

^On

désigne

par P

une

probabilité

^{sur !F.}

On

désignera

^{par H} l’ensemble des

fonctions f

^réelles

définies

^{et conti-}

nues sur

Q’,

^nulles pour ^{t =} 0 et telles _que le _processus

défini

par

Xt(w)

⁼

t)

^soit

adapté

par rapport ^à la

famille

Quand

^on considérera une

topologie

^sur

~t.

^il

s’agira

^tou-

jours

^{de la}

topologie

^de la convergence uniforme :

l’espace

^{de Banach}

complété de ,

pour ^cette

topologie

^{sera noté}

Quand

^on

parlera

^{de mesures}

stochastiques (cf. [8]),

^{ce sera}

toujours

relativement à la ^« base de processus »

(insistons

^sur

le fait

qu’on prend

^{les tribus}

~r +

^{et non pas} les tribus

Pour tout élément t de

T,

^on

désignera

par

~t

l’ensemble des élément.s h de ~f tels _que

s)

^{= 0 si s > t.}

On notera

Lp ^l’espace Lp ^{(Q, !F, P)}

^{muni de sa}

^topologie

^usuelle

d’espace

de Banach et

L: ^l’espace Lp ^{(Q, ~ , P)}

^{muni de la}

^topologie Lp)

^où

Lp

^{est le dual de}

Lp.

B. 3.

Proposition.

La tribu !F’ de

parties

^de

(Q

^x

T) engendrée

par les éléments de 9f est

la tribu des

prévisibles

relativement à la

famille (ou,

^ce

qui

^revient

au même, relativement à la

famille ).

Preuve. Le fait _{que les} éléments de ~ sont mesurables _par

rapport

à la tribu des

prévisibles

^{est connu. Il}

s’agit

de prouver la

réciproque.

Soient u et v deux éléments de T avec 0 u v 1.

THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS 365

Soit la suite de fonctions définie sur T par

Soit w un élément de T avec w u.

Soit g

^{un élément de}

~W

^{et soit}

la suite de fonctions définies sur

(Q

^x

T)

par

t)

⁼

g(cv) . hn(t).

^Pour

1 ~ ,

- u - w, gn

appartient

^{à Yt.}

n

Le processus défini ⁼

~(0153).

⁼

li m ^t)

^{est donc}

~’-mesurable. Il en

résulte,

par définition de

~ W ,

que H ^x

[u, v]

appar- tient à !F’ si H

appartient

^à

~ w .

^{Mais ceci}

implique

que !F’ contient la tribu des

prévisibles puisque

^{celle-ci est}

engendrée

par les ^«

rectangles »

H ^x

[u, v]

^{avec H E et w u v.}

B . 4 . Théorème.

Le théorème A. 2. reste exact avec les notations et

hypothèses indiquées

en B.2.

Preuve. On considère

l’application ^m

^{comme en A : 2 et on} prouve de même

qu’on

peut

appliquer

la méthode du

prolongement

^de

Daniell,

et donc

prolonger ^m

^{à une classe ~ de} fonctions stables par convergence dominée.

D’après

^la

proposition qui précède, @

^contient les fonctions

1 A

^pour

A le

prolongement m

^{induit donc une fonction} à valeurs dans

Lp(Q., ^{~, P)}

^{définie et} fortement u-additive sur fonction _{que l’on} notera m.

Il reste à prouver que ^{m est} bien une mesure

stochastique.

Soit

(w,

^u,

v)

trois éléments de T avec w u v ; soit H E

~ W .

^Soit

suite de fonctions définie comme dans la _{preuve de} la

proposi-

tion

précédente.

Par convergence

dominée,

^{on a :}

mais pour tout n,

appartient

^à

Lp ^(S2, P) (ii)

et par convergence

dominée).

^{On en} déduit facilement _que

m(H

^x

[u, v])

appartient

^à

Lp ^{(S2, ~~. + ,} P) (c’est

^ici

qu’apparaît

l’utilité de considérer les tribus

Ft+

^{et non} les tribus

Ft). ^Enfin,

^{si K}

appartient

^à

Fu-,

par ^conver- Vol. X, n° 3 - 1974.

366 P. Y. GLORENNEC ET J. PELLAUMAIL

gence

dominée,

^x

]u, v] =

^{lim . x u}

+ 1 , U

^{donc x}

^{]u, v])}

appartient

^à

Lp (Q, !Fv+’ P)

^ce

qui

^est la condition 1. A. 6.

(ii)

^de

[8].

Par

ailleurs,

pour ^toute fonction

réelle g

^{définie sur}

Q,

^soit

S(g) - ~ cc~ :

^7~

0 } .

^{Soient w, u et u} trois éléments de T tels que

w u u. Soit ~ la classe des

fonctions g appartenant

^à

L~ P)

telles que

m(g .1 ~", "~)

^{= 1} n,

n) .

^°

En utilisant la condition

(iii)

^et les processus ^on prouve, par convergence

dominée, que L

^{contient les fonctions} g pour

On vérifie facilement

que L

^{est une classe monotone}

(croissante

^et

décroissante) (par

convergence dominée et parce que m ^est

continue).

^On

en déduit

que L

^{contient les fonctions}

1 H

pour H élément de

Fw

^{et donc}

pour H élément de Ceci _prouve la condition 1.

A . 7 . (i’)

^de

[8]

^{et donc}

la condition 1. A . 6.

(i)

^de

[8].

La fonction m est donc bien une mesure sto-

chastique.

On achève la démonstration comme en A. 2.

B. 5.

Remarque.

La

proposition

^{A. 6 et} la remarque A. ⁷ du

paragraphe précédent,

^restent

évidemment exactes sous les

hypothèses adoptées

^{dans le}

présent

para-

graphe.

B. 6.

Remarque :

^{cas où Q est}

compact.

Supposons

^Q

compact.

Soit m une mesure réelle définie sur la tribu des

prévisibles (pour

^l’inté-

rêt d’une telle mesure, cf.

[5]

^{dans le cas}

positif

^ou

[8]

^{dans le cas}

général).

Pour tout élément h de

1%9,

^soit

m(h)

⁼

l’application h

^-~

m(h)

ainsi définie est linéaire et continue étant

toujours

muni de la

topo- logie

^{de la} convergence

uniforme). Réciproquement,

^{soit m une forme}

linéaire définie et continue sur alors il existe une mesure réelle

unique

définie sur la tribu des

prévisibles,

^et telle que, pour ^tout élément h de

Yt, m(h)

⁼

(on

prouve ^cette

réciproque

^{à l’aide du}

prolongement

de

Daniell).

Notons _que m

peut charger

^des processus évanescents même si

m(h)

^{= dm est} nul pour ^tous les éléments évanescents h de K.

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section

367 THÉORÈME DE RIESZ POUR DES PROCESSUS RÉELS

B. 7.

Contre-exemple.

Le but du

contre-exemple qui

^{suit est de montrer} que la _remarque

qui précède

^n’est

plus

^{exacte si S2 n’est} pas compact. ^Plus

précisément,

^on peut alors trouver un élément du dual de ~

qui

^n’induit pas une mesure sur la tribu des

prévisible.s.

On

prend

^{Q =} N muni de la

topologie

^{discrète. Soit Gll un} ultra-filtre

sur N. A tout élément h de on associe

m(h) = lim ^{h 1 (n)}

^où

^{h 1 (n)}

désigne

la valeur du processus h à l’instant ^{t =} 1 et au

point

^{m = n. m est}

évidemment un élément du dual ~’ de ~ et

pourtant

^{m ne} satisfait pas à

l’analogue

de la condition

(iv’)

utilisée dans la preuve du théorème A . 2.

En

effet,

^soit

(hn)

^la suite de processus définis _par,

quel

que soit t,

hn(t, m) =

¹

si n et ⁼ 0 si 03C9 n. On a

h" ~

^{0 et lim}

.m(hn)

^{= 1.}

BIBLIOGRAPHIE

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^t. 16, 1971, ^n° 8, p. 1227-1236, ^Bucarest.

[10] ^E. THOMAS, L’intégration par rapport ^à une mesure de Radon vectorielle. Ann. Inst.

Fourier, Grenoble, ^t. 20, fasc. 2, ^1970.

(Manuscrit reçu le 9 octobre 1974)

Vol. X, n° 3 - 1974.