Applications continues

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´ erentiel

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

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Continuit´ e

Applications continues

Exercice 1 Soit X un espace topologique et f : X → R .

1. Montrer que f est continue si et seulement si pour tout λ ∈ R , les ensembles {x ; f (x) <

λ} et {x ; f (x) > λ} sont des ouverts de X.

2. Montrer que si f est continue, pour tout ω ouvert de R , f

(ω) est un F

ouvert de X (F

= r´ eunion d´ enombrable de ferm´ es).

Exercice 2 1. Soit C l’espace des fonctions continues r´ eelles sur [0, 1] muni de la m´ etrique d

(f, g) = R

0

|f − g| dx, puis de la m´ etrique d

(f, g) = sup

|f (x) − g(x)|. V´ erifier que l’application f → R

0

|f|dx de C dans R est 1-lipschitzienne dans les deux cas.

2. Soit c l’espace des suites r´ eelles convergentes, muni de la m´ etrique d(x, y) = sup

|x(n) − y(n)|. Si on d´ esigne par `(x) la limite de la suite x, montrer que ` est une application continue de c dans R . En d´ eduire que c

est ferm´ e dans c.

Exercice 3 Soit f, g deux applications continues de X dans Y , espaces topologiques, Y ´ etant s´ epar´ e. Montrer que {f = g} est ferm´ e dans X ; en d´ eduire que si f et g co¨ıncident sur une partie dense de X, alors f = g.

Exercice 4 Une application de X dans Y est dite ouverte si l’image de tout ouvert de X est un ouvert de Y ; ferm´ ee si l’image de tout ferm´ e de X est un ferm´ e de Y .

1. Montrer qu’une fonction polynomiale de R dans R est une application ferm´ ee.

2. Montrer que l’application (x, y) ∈ X × Y → x ∈ X est ouverte mais pas n´ ecessairement ferm´ ee (consid´ erer l’hyperbole ´ equilat` ere de R

).

3. Montrer que la fonction indicatrice de l’intervalle [0,

], comme application de R dans {0, 1}, est surjective, ouverte, ferm´ ee, mais pas continue.

4. Montrer que toute application ouverte de R dans R est monotone.

Exercice 5 1. Montrer que f est continue si et seulement si f (A) ⊂ f (A) pour tout A dans X. Que peut-on dire alors de l’image par f d’un ensemble dense dans X ?

2. Montrer que f est ferm´ ee si et seulement si f (A) ⊂ f(A), et que f est ouverte si et seulement si f ( A

) ⊂

◦

f (A).

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Applications uniform´ ement continues

Exercice 6 1. Soit f une fonction r´ eelle continue sur [0, 1] ; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :

∀ε > 0 ∃C

; ∀x, y ∈ [0, 1] |f(x) − f(y)| 6 C

|x − y| + ε.

2. Montrer qu’une fonction f uniform´ ement continue de R dans R v´ erifie pour tout x ∈ R ,

|f(x)| 6 a|x| + b o` u a et b sont des constantes.

Exercice 7 Soit f une fonction continue de ]0, 1[ dans R . Montrer que, si f est uniform´ ement continue, elle est born´ ee. R´ eciproque ?

Exercice 8 Soit f une fonction uniform´ ement continue sur R telle que R

0

f (t)dt converge.

Montrer que f tend vers 0 quand x → +∞. Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x

) n’est pas uniform´ ement continue.

Applications lin´ eaires born´ ees

Exercice 9 Soient E

, E

et F des espaces norm´ es sur R et soit B : E

× E

→ F une application bilin´ eaire. Montrer que B est continue si et seulement s’il existe M > 0 tel que

kB(x)k 6 M kx

kkx

k pour tout x = (x

, x

) ∈ E

× E

.

Exercice 10 Soient E et F deux espaces norm´ es et L : E → F une application lin´ eaire v´ erifiant : (L(x

))

est born´ ee dans F pour toute suite (x

)

de E tendant vers 0 ∈ E. Montrer que L est continue.

Exercice 11 Soient E et F deux espaces norm´ es r´ eels et f : E → F une application born´ ee sur la boule unit´ e de E et v´ erifiant

f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout x, y ∈ E . Montrer que f est lin´ eaire continue.

Exercice 12 Calculer la norme des op´ erateurs suivants : – Le shift sur l

d´ efini par S(x)

= x

, S(x)

= 0.

– X = C ([0, 1]) muni de la norme k.k

et T f (x) = f (x)g(x) o` u g ∈ X.

Calculer la norme des formes lin´ eaires suivantes : – X = C ([0, 1]) muni de la norme k.k

et u(f) = R

0

f(x)g(x) dx o` u g ∈ X est une fonction qui ne s’annule qu’en x = 1/2.

– X = l

et u(x) = P

a

x

o` u (a

) est dans X.

– X = l

et u(x) = P

a

x

o` u (a

) est dans l

.

– X l’espace des suites convergentes muni de la norme sup et u : X → R l’application u(x) = lim

x

.

Exercice 13 Soit X = R [x] l’ensemble des polynˆ omes. Pour P (x) = P

k=0

a

x

on pose kP k = sup

|a

|, U(P )(x) = P

k=1 1

k

a

x

et V (P )(x) = P

k=1

ka

x

.

1. Montrer que k.k d´ efinit une norme et que U et V d´ efinissent des applications lin´ eaires de X dans X.

2. Examiner si U et V sont continues ?

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Exercice 14 Soit l

l’espace des suites r´ eelles muni avec la norme uniforme, i.e. kxk

= sup

|x

|. On consid´ ere l’application A : l

→ l

d´ efinie par

A(x

, x

, ..., x

, ...) = (x

, x

/2, ..., x

/n, ...) . Montrer que :

1. A est injective et continue avec kAk = 1. Par contre, A n’est pas surjective.

2. A admet un inverse ` a gauche mais qu’il n’est pas continu.

Exercice 15 Soit X un espace norm´ e, L : X → R une forme lin´ eaire non nulle et H = L

({0}) son noyau.

1. Montrer que, si L est continue, alors H est un sous-espace ferm´ e dans X. ´ Etablir la relation

dist(a, H) = |L(a)|

kLk pour tout a ∈ X .

2. R´ eciproquement, supposons que le noyau H est un ferm´ e. D´ emontrer alors que dist(a, H) >

0 d` es que a ∈ X \ H et en d´ eduire que L est continue de norme au plus |L(a)|/dist(a, H).

3. Peut-on g´ en´ eraliser ceci a des applications lin´ eaires entre espaces norm´ es ? Exercice 16 Soit X = C([0, 1]) avec la norme kf k = R

0

|f (t)| dt. Montrer que la forme lin´ eaire f ∈ X 7→ f (0) ∈ R n’est pas continue. Que peut-on en d´ eduire pour le sous-espace des fonctions de X nulles en 0 ?

Exercice 17 Soit X = {f ∈ C( R ) ; (1 + x

)|f (x)| soit born´ ee}. On pose N (f ) = sup

(1 + x

)|f(x)|. V´ erifier que N est une norme, puis montrer que la forme lin´ eaire suivante L est continue et calculer sa norme :

L : X → R d´ efinie par L(f) = Z

R

f (x) dx .

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