Feuille d’Exercices 4

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 4

Suites de fonctions

Exercice 4.1.—Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes : 1. fn(x) =xⁿ, pour x∈[0,1], pourx∈[0, a] aveca <1, pourx∈[0,1[.

2. fn(x) =_1+n|x|^nx , pourx∈R. 3. f_n(x) =^ne_n+x^−x+1, pour x∈R+. 4. fn(x) =^cos(nx)√_n , pourx∈R. 5. fn(x) =_1+x^x2n2n, pourx∈R.

6. fn(x) =^nex_n+x^+xe−x, pour x∈[0,1].

7. f_n(x) =xⁿ(1−x), pour x∈[0,1].

8. fn(x) =e^−nxsin(αnx) pourx∈R+, pour x∈[a,+∞[ (aveca >0), α∈R. 9. fn(x) =x²sin(_nx¹ ), pour x6= 0, fn(0) = 0.

10. f_n(x) =nx, pourx∈[0,_n¹[, f_n(x) = ^n(x−1)_1−n , pour x∈[¹_n,1].

11. fn(x) =√

nx, pour x∈[0,¹_n[, etfn(x) = _(1−n)^n(x−1)√_n, pourx∈[_n¹,1].

Exercice 4.2.—Soit (f_n) la suite de fonctions d´efinies surI=]−π, π[ par :

fn(0) = 0, fn(x) =sin²(nx)

nsin(x), x6= 0.

Etudier la convergence simple ou uniforme de la suite (f_n) sur tout ou partie de l’intervalleI.

Exercice 4.3.—On consid`ere la suite de fonctions num´eriques d´efinie par

f_n(x) = 1 n√

n

1 +nx

1 +n²x², x∈[0,+∞[, n≥1.

Montrer que la suite (fn) converge uniform´ement vers la fonction nulle surR+.

Exercice 4.4.— Soit fn(x) = limm→+∞cos(n!πx)^2m, pour x ∈ R. Montrer que fn converge simplement vers une fonction que l’on d´eterminera.

Exercice 4.5.—Soit (u_n) une suite r´eelle qui converge vers une limiteu₀. Soit la suite de fonctions num´eriques d´efinie par :

fn(x) = 1, x≤un, fn(x) = 0, x > un. La suite (fn) converge-t-elle simplement ?

Exercice 4.6.—On d´efinit sur [0,1] la suite de fonctionsfn par :

fn(x) = 1−xⁿ 1 +x²ⁿ.

Les fonctions fn sont elles continues ? Montrer que la suite (fn) converge simplement mais pas uniform´ement.

Exercice 4.7.— On consid`ere la suite de fonctions fn(x) = xe^−nx2. Montrer que fn converge uniform´ement surR. A-t-on, pour x∈R, f⁰(x) = limn→+∞f_n⁰(x) ? Montrer que la suite (f_n⁰) ne converge pas uniform´ement surR.

Exercice 4.8.—On consid`ere la suite de fonctions (f_n) d´efinie par :







fn(x) =n²x, 0≤x≤ _2n¹ f_n(x) =n²(_n¹ −x), _2n¹ ≤x≤_n¹ fn(x) = 0, x≥ _n¹

Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f. Comparer R1

0 f(x)dx et limn→+∞R1

0 fn(x)dx.

Exercice 4.9.—Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de la limite des suites de fonctions suivantes d´efinies surR:

f_n(x) = r

x²+1

n, g_n(x) = 1

nsin(n²x).

Exercice 4.10.—Soit la suite de fonctions num´eriques d´efinie par

f_n(x) = 1

1 + (n+x)², x∈R.

Montrer que la suite de fonction (fn) converge simplement vers 0 et que la convergence est uniforme surR⁺, mais pas surR.

Exercice 4.11.—Pour n≥1, on notef_n la fonction d´efinie surRparf_n(t) =e^−nt2.

1. Montrer que la suite (fn)n≥1 converge simplement surRvers une limite que l’on d´eterminera.

2. Montrer que la convergence n’est pas uniforme surR, mais qu’il y a convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [a,+∞] ou ]− ∞,−a] pour a >0.

Exercice 4.12.—Montrer que la suite de fonctions (fn)_n≥0 d´efinie surR⁺ par

fn(x) =e^−x

1−x+x² 2 −x³

6 +· · ·+ (−1)ⁿxⁿ n!

converge uniform´ement sur R+ versf :x7→e^−2x.

Exercice 4.13.—Soit (f_n)_n≥0 la suite de fonctions d´efinie surRpar

f_n(t) = nt²

1 +nt sit≥0 etf_n(t) = nt³

1 +nt² sit <0.

Etudier la convergence simple, puis uniforme de cette suite.

Exercice 4.14.—Soitn≥1 etf_n :R→Rla fonction d´efinie par fn(t) =e^t−

1 + t

n ⁿ

sit >−n,fn(t) =e^tsit≤ −n.

1. Montrer que la restriction de f_n `a [0,+∞[ est croissante. En d´eduire que (f_n)_n≥1 converge uniform´ement vers 0 sur tout intervalle [0, a] aveca >0.

2. Montrer que la restriction defn `a ]− ∞,0[ est positive, atteint son maximum en un pointxn

et que la suite (xn)n≥1admet−2 pour limite.

3. En d´eduire que (fn)_n≥1 converge uniform´ement sur ]− ∞,0[.

Exercice 4.15.— Th´eor`emes de Dini.

1.Soit (f_n)_n≥0une suite croissante de fonctions continues de [0,1] dansRqui converge simplement vers une fonction continue sur [0,1]. Montrer que la convergence est uniforme.

2. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions continues et croissantes de [0,1] dans R, qui converge simplement vers une fonctionf continue sur [0,1]. Montrer que la convergence est uniforme.

Exercice 4.16.— Pour n ∈ N, on d´efinit P_n par P₀(t) = 0 pour tout t ∈ [0,1] et P_n+1(t) = P_n(t) +¹₂ t−P_n(t)²

pourt∈[0,1].

1. Montrer que pour toutn∈N,Pnest un polynˆome et que pour toutt∈[0,1], on a 0≤Pn(t)≤

√t.

2. Montrer que (Pn)_n∈N est une suite croissante et qu’elle converge simplement vers une limite que l’on d´eterminera.

3. Montrer que (P_n)_n∈Nconverge uniform´ement sur [0,1].