2017-2018 MIAN Universit´e Paris Diderot Alg`ebre et Analyse ´el´ementaire
Feuille TD - Suites
Exercice 1. En utilisant la d´efinition de limite, montrer que limn→∞ 2n−1
3n+1 = 23 limn→∞
√n−1−n=−∞
limn→∞(n2−nsinn) = +∞ limn→∞
√
n2−1−n= 0
Exercice 2. Montrer que la suite (un)n∈Nd´efinie parun= (−1)n+n1 n’est pas convergente.
Exercice 3. Soit (un)n∈Nune suite r´eelle et`∈R. Montrer que 1. Siun →`, alors|un| → |`|.
2. Si|un| →0, alorsun→0.
3. Qu’est-ce qu’on peut dire sur (un)n∈Nsi on sait que|un| → |`|?
Exercice 4. Soit (un)n∈Nune suite r´eelle. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Si (un)n converge vers`∈R, alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers`.
2. Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes alors (un)n est convergente.
3. Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes vers`∈Ralors (un)n converge vers`.
Exercice 5. Soit (un)n∈Nune suite convergente.
1. Montrer que si la suite (vn) est born´ee, alors (unvn) est born´ee.
2. Montrer que si pour toute suite born´ee (vn) la suite (unvn) est convergente, alors (un) converge vers 0.
Exercice 6. Soit (un)n∈Nune suite telle queun ≥0 pour toutn∈N. Supposons que limn→∞ √n
un=`∈R. Montrer que
1. si` <1 alors limun = 0.
2. si` >1 alors limun = +∞
Montrer que, si`= 1, les deux cas limun= 0 et limun = +∞sont possibles.
Exercice 7. Calculer la limite des suites suivantes 1. 3n2−2n
2. −2n3+n−3 3. nn−12+2
4. √
n2+an+b−n 5. nq
n+1 n−1−1
Exercice 8 (Nombre d’Euler e). Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe e := limn→∞un, un= 1 +n1n
, n≥1.
1. Montrer pr´eliminairement que un = 1 +Pn
k=1 1
k! ·1· 1−n1
· · · 1−k−1n
, n≥1, 2. Montrer queun< un+1 pour toutn≥1.
3. Montrer que (un) est born´ee, plus pr´ecis´ement 2 < un < 3 pour toutn > 1. [Indication : utiliser l’in´egalit´ek!≥2k−1]. Conclure.
Exercice 9. Soienta >1, b >0. Calculer les limites des suites suivantes : an
nb an
n!
nb n!
nn n!
Exercice 10. Calculer les limites des suites suivantes (o`ua >0) : 1 + ann
, 1−n1n
, 1 + n12
n
Exercice 11. Soita >1. Calculer les limites des suites suivantes : lnn
n
lnn na
lnn!
n
Exercice 12. Soient a, b >0. Montrer que la suiteun = √n
an+bn est convergente et calculer sa limite.
Exercice 13. Soitx∈R, x >0. On consid`ere la suite d´efinie par r´ecurrence
u0= 1, un+1= 1 2
un+ x
un
1. Montrer queun≥√
xpour toutn≥1.
2. Montrer queun est d´ecroissante.
3. Calculer limun.
Exercice 14. Soit (un) une suite r´eelle telle que (i) la suite (u2n) est monotone croissante (ii) la suite (u2n+1) est monotone d´ecroissante
Montrer que (un) est convergente si et seulement siu2n ≤u2n+1pour toutn∈Netu2n+1−u2n→0 pour n→ ∞.
Exercice 15. On consid`ere les suites r´eelles (un) et (vn) d´efinies par
un = 1 + 1 2!+ 1
3!+· · ·+ 1
n!, et vn=un+ 1
n!, n∈N.
Montrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la mˆeme limite.
Exercice 16. Soient 0< a < b. Montrer pr´eliminairement les in´egalit´es suivantes a <√
ab < a+b2 < b.
On consid`ere maintenant les suites d´efinies par r´ecurrence u1=a, v1=b.
un+1=√
unvn, vn+1=un+v2 n Montrer que
1. un< un+1< vn+1< vn pour toutn≥1.
2. les suites un et vn ont mˆeme limite.
Exercice 17. Soientun etvn deux suites telles que :
— un>0 et limun= 1
— |vn|<1
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Il existeN∈Ntel que 2un−vn >0 pour tout n > N.
2. La suite (un+vn) a une limite quandn→+∞.
3. Il existeN ∈Ntel que un+vn>0 pour toutn > N. 4. La suitenun+vn
n+ 1
a une limite quand n→+∞.
5. Il existeK >0 tel queKun+vn>0 pour toutn∈N. Exercice 18. Soitα≥0 et (un) la suite d´efinie par r´ecurrence
u0=α, un+1=√ 2 +un
Montrer que (un) est convergente et calculer sa limite. [Indication : commencer parα= 2.]
Exercice 19. Soit (un) une suite r´eelle et on consid`ere la suite (an) d´efinie par an= u1+...+un n
Montrer que si limun=`alors liman =`. [Indication : commencer par`= 0.]
