Feuille d’exercices 3

L3B – Topologie 2019-2020

Feuille d’exercices 3

Exercice 1 : Une fonctionf :R−→R est ditecoercive si limx→±∞f(x) = +∞.

1. Montrer qu’une fonction continue et coercive sur R est minor´ee et atteint son minimum.

2. Montrer qu’une fonction continue et minor´ee est coercice si et seulement si l’image r´eciproque de tout compact par f est compacte.

Exercice 2 : Soit K ⊆ R une partie compacte et f : K ⊆ R → K une fonction qui satisfait

∀x, y ∈K avec x6=y , |f(x)−f(y)|<|x−y| .

D´emontrer qu’il existe un unique z ∈ K tel que f(z) = z. Indication : consid´erer ϕ(x) = |f(x)−x|.

Exercice 3 : Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit´e `a R?

x7−→sin(x)/x, x7−→sin(1/x), x7−→sin(x) sin(1/x).

Une fonction v´erifiant la propri´et´e des valeurs interm´ediaires est-elle forc´ement conti- nue ?

Exercice 4 : Soit f la fonction d´efinie sur R par

f(x) =

1

q six∈Q etx= ^p_q avecp∈Z, q∈N^∗ et PGCD(p, q) = 1 0 six6∈Q

Montrer que f est continue en chaque irrationnel et discontinue en chaque rationnel.

Exercice 5 : Soit f : R −→R une fonction continue en 0 et telle que f(x) = f(2x) pour tout x∈R. Que dire de f?

Exercice 6 :Soit f :R−→Rune fonction continue et telle quef(x+y) +f(x−y) = 2 (f(x) +f(y)) pour tous x, y r´eels.

1. Trouver f(0) et la parit´e de f. Donner un exemple d’une telle fonction.

2. Montrer que pour tout r´eel xet tout entier naturel n, f(nx) =n²f(x).

3. Montrer que pour tout rationnel r, f(r) = r²f(1).

4. Conclure.

Exercice 7 : Soit f etg deux fonctions continues de R dans R.

1. On suppose quef etg sont uniform´emement continues. Montrer que la compos´ee g◦f est uniform´ement continue.

2. On suppose que f est uniform´ement continue et born´ee et que g est continue.

D´emontrer que g◦f est uniform´ement continue.

3. Montrer que le produit f g est uniform´ement continu si f et g sont born´ees et uniform´ement continues.

Exercice 8 : Soit f :]a, c[⊆ R → R une fonction telle que les restrictions f|_]a,b] et f|_[b,c[ sont uniform´ement continues. D´emontrer que f est uniform´ement continue.

On se donne S et T deux parties quelconques de R. Est-il vrai qu’une fonction F : S∪T ⊆R→Rdont les restrictions F|_S :S →R et F|_T :T →R sont uniform´ement continues est aussi uniform´ement continue ?

Exercice 9 :Soitf :R→Rune application uniform´ement continue telle que la suite (f(n))_n ∈N tende vers +∞. Montrer que lim+∞f = +∞.

Exercice 10 : Soit f : Q → R une fonction uniform´ement continue. Montrer qu’il existe une unique fonction ˜f d´efinie et continue sur Rtelle que ˜f|Q =f.

Exercice 11 : Soit f : [−1,1]→R la fonction donn´ee par f(x) = ³√

x. Montrer que f n’est pas lipschitzienne mais elle est uniform´ement continue. La fonction f est-elle lipschitzienne sur ]1,+∞[ ?

Exercice 12 : Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de´ fonctions (f_n)_n suivantes :

f_n(x) = sin(nx) n√

x sur R^∗+, f_n(x) = (sinx)ⁿcosx surR.

Exercice 13 : Soit f une fonction continue de R+ dans R, non identiquement nulle, satisfaisant `a f(0) = 0, lim+∞f = 0.

1. Montrer que les suites fn(x) =f(nx) et gn(x) =f(x/n) convergent simplement vers 0 sur R+ , mais non uniform´ement.

2. Montrer que les suites _n¹f_n(x) et ¹_ng_n(x) convergent uniform´ement sur R+.

Exercice 14 : Soit (P_n)_n une suite de polynˆomes `a coefficients r´eels qui converge uniform´ement sur Rvers une fonctionf. Montrer quef est un polynˆome et que, pour n assez grand, le polynome P<sub>n</sub>−f se r´eduit `a une constanteC_n.

Exercice 15 :Soit (f_n)_nune suite de fonctions num´eriques croissantes sur un intervalle compact [a, b].

1. On suppose que la suite (fn)n converge vers la fonction nulle. Montrer que cette convergence est uniforme.

2. On suppose que la suite (f_n)_n converge vers une fonction f continue. Montrer que cette convergence est uniforme.

Indication : subdiviser l’intervalle [a, b] en petits segments.