TP07

(1)

1èreS - TP07: Vocabulaire des ensembles, quantificateurs.

1. Représentation et notations

A. Diagramme de Venn

Dans un lycée, on note E l'ensemble de tous les élèves du lycée, et S l'ensemble des élèves qui sont en filière S (1ère ou terminale). On peut représenter ces ensembles comme ci-dessous, cela s'appelle un diagramme de Venn:

E

S

Les élèves de S font tous partie de l'ensemble E des élèves du lycée; on dit que l'ensemble S est inclus dans l'ensemble E, et on note

S

⊂

E

.

L'ensemble des élèves du lycée qui ne sont pas en filière S se note

S

: on dit que c'est l'ensemble complémentaire de S dans E.

Question 1 : colorier ou hachurer, sur la figure ci-dessus, l'ensemble

S

.

B. Ecriture sous forme de liste d'éléments

Lorsqu'il est possible de lister les éléments de l'ensemble, on écrit cette liste entre accolades. Ces accolades signifient "ensemble". Par exemple, l'ensemble F des entiers inférieurs ou égaux à 3 est constitué des nombres 0; 1; 2; 3. On écrira: F= {0;1;2;3}. F est l'ensemble, et chacun des nombres 0; 1; 2; 3 est un élément de l'ensemble. Question 2: Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E? ... Quels sont les éléments de l'ensemble

S

? ... Les éléments de l'ensemble d'entiers F sont séparés par des points virgule pour qu'il n'y ait pas de confusion avec la "virgule décimale". L'élément 2 appartient à l'ensemble F. On note: 2

∈

F. Le symbole "n'appartient pas à" se note

∉

Par exemple, 7

∉

F.

On utilise parfois des pointillés pour signifier que l'on poursuit la liste "à l'infini"; par exemple,

ℕ

=

{

0;1; 2;3; 4;...

}

.

∅

représente l'ensemble vide (sans accolades, sinon il s'agit de "l'ensemble qui contient l'ensemble vide en tant que seul élément").

Rappels:

ℕ

=

{0;1; 2;3;...}

est l'ensemble des entiers naturels;

ℤ

=

{...; 3; 2; 1;0;1; 2;3;...}

− − −

est l'ensemble des entiers relatifs;

ℚ

est l'ensemble des nombres rationnels (i.e. les nombres qui peuvent éventuellement s'écrire sous forme de fraction ayant un numérateur et un dénominateur entiers);

ℝ

est l'ensemble de "tous les nombres que vous connaissez officiellement à ce jour". On note * pour signifier que "l'on ne prend pas zéro" dans l'ensemble, + pour signifier que l'on ne prend "que les positifs", et - lorsque l'on ne prend "que les négatifs". Par exemple,

ℝ

*+

=

]0;

+∞

[

.

Attention! Le symbole

⊂

(inclusion) s'utilise entre deux ensembles, tandis que le symbole

∈

s'utilise entre un élément et un ensemble.

Question 3: Dans les expression suivantes, remplacer les pointillés par

∈ ∉ ⊂

; ;

ou

⊄

.

5...ℕ

;

−

5...

ℕ

;

ℤ

...

ℝ

;

−

3...

ℚ

;

+∞

...

ℝ

;

0...ℚ

;

−

2...

ℤ

;

ℕ

...

ℚ

;

4 ...

3 ℚ

; *

0...ℝ

;

−∞

...

ℚ

;

1...ℝ

...

ℚ

ℝ

;

−

5...

ℝ

*− ;

π

...

ℝ

;

ℕ

...

ℤ

;

ℕ

...

ℝ

− ; *

...

+

ℝ

ℤ

;

2...ℚ

;

−

4...

ℚ

*;

8...

ℤ

− ;

ℤ

−

...

ℝ

−; *

...

+ +

ℤ

ℝ

(2)

Question 4: Dessiner ci-dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles

Question 5: Soit E l'ensemble des entiers compris entre naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A

... ...

2. Intersection, réunion, "et", "ou"

A. Les conjonctions "et", "ou" en mathématiques

Dans le langage usuel, on emploie les locutions Le mot "et" peut signifier:

- "à la fois", comme dans "cet élève est blond et porte des lunettes" - "et puis", comme dans "l'élève ouvre son cartable et sort sa calculatrice" Le mot "ou" peut signifier:

- "soit l'un soit l'autre, mais pas les deux", comme dans "fromage ou dessert": c'est un " - "soit l'un, soit l'autre, soit les deux à la fois"

"ou" non exclusif.

En mathématiques, "et" signifie "à la fois", et deux.

Exemples: "6 est un nombre pair et un multiple de 3";

"0, 2, 3, 6 sont des nombres pairs ou des multiples de 3" (6 est les deux à la fois).

Question 6: Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou": 1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs ... inférieurs à 10.

2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ... inférieurs à 10. 6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ... par 2.

B. Intersection, réunion

Soient deux ensembles A et B. Les éléments qui appartiennent à A forment un nouvel ensemble (grisé sur la figure), que l'on note inter B"): c'est l'intersection des ensembles A et B.

dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles

Soit E l'ensemble des entiers compris entre -3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A-t-on

E

⊂

F

?

... ...

Intersection, réunion, "et", "ou"

A. Les conjonctions "et", "ou" en mathématiques

, on emploie les locutions "et", "ou".

"à la fois", comme dans "cet élève est blond et porte des lunettes" "et puis", comme dans "l'élève ouvre son cartable et sort sa calculatrice"

deux", comme dans "fromage ou dessert": c'est un "ou exclusif

"soit l'un, soit l'autre, soit les deux à la fois", comme dans "on cherche un traducteur anglais ou allemand" , c'est un

, "et" signifie "à la fois", et le "ou" n'est jamais exclusif: ce peut être soit l'un, soit l'autre, soit les

un multiple de 3";

des multiples de 3" (6 est les deux à la fois).

ses suivantes soit avec "et", soit avec "ou": 1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs ... inférieurs à 10.

2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ... inférieurs à 10. 6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ... par 2.

Soient deux ensembles A et B. Les éléments qui appartiennent à A et à B forment un nouvel ensemble (grisé sur la figure), que l'on note

A

∩

B

("A

des ensembles A et B.

Les éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux, car en maths le "ou" n'est pas exclusif) forment un nouvel ensemble (grisé sur la figure), que l'on note

A

∪

B

("A union B"): c'est la

des ensembles A et B.

ℕ ℤ ℚ ℝ

; ; ;

.

3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers ... ...

ou exclusif".

, comme dans "on cherche un traducteur anglais ou allemand" , c'est un

: ce peut être soit l'un, soit l'autre, soit les

à B (ou aux deux, car en maths le "ou" n'est pas exclusif) forment un nouvel ensemble (grisé

(3)

Question 7: Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents. Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.

Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme ou du basket.

Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer

I

∩

J

puis

I

∪

J

. 1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]

... 2°) I=[-1;+∞_{[ et J=]-2;3]}

...

Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de deux intervalles:

1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.

... 2°) L'ensemble des réels

x

tels que

x >

1

ou

x ≤ −

2

.

...

3. Pour aller plus loin : Quantificateurs: "quel que soit", "il existe"

En mathématiques, on utilise tellement souvent les locutions "quel que soit "et "il existe", que l'on a inventé des symboles pour les représenter. Attention, comme ces symboles sont écrits "en mathématiques", ils ne peuvent pas être utilisés au milieu d'une phrase écrite en français: ils trouvent leur place dans un phrase écrite en mathématiques. Le symbole pour "quel que soit" est:

∀

(un "A" la tête en bas), et le symbole pour "il existe" est

∃

(un "E" en miroir). Par exemple, "quel que soit

x

dans

ℝ

,

x

2 est positif" pourra s'écrire:

∀ ∈

x

ℝ

,

x

2

≥

0

("tout en mathématiques"!). De même, la phrase "il existe un nombre réel pour lequel la fonction

f

s'annule" pourra s'écrire:

∃ ∈

x

ℝ

/

f x

( )

=

0

. Question 10:

1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:

a) Quel que soit le nombre rationnel

x

, ce nombre

x

appartient à l'ensemble des réels .

... b) Il existe un nombre entier naturel

n

tel que le carré de

n

soit égal à 4.

...

2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole

⊂

.

... 3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3. ... ...

(4)

1èreS - TP07: Vocabulaire des ensembles

Question 1 : colorier ou hachurer, sur la figure ci

Question 2: Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn

Ce sont tous les élèves du lycée.

Quels sont les éléments de l'ensemble

S

Question 3: Dans les expression suivantes, remplacer les pointillés par

5 ∈ ℕ

;

− ∉ ℕ

5

;

ℤ

⊂

ℝ

;

− ∈ ℚ

3

;

+∞ ∉

⊂

ℚ

ℝ

;

− ∈ ℝ

5

*− ;

π

∈ ℝ

;

ℕ

⊂

ℤ

;

Question 4: Dessiner ci-dessous (au crayon) le diagramme de Venn

Question 5: Soit E l'ensemble des entiers compris entre naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A

E = {-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5}

F = {nϵ_{N / 3|n et n≤10} = {0;3;6;9}}

E

⊄

F

Question 6: Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou": 1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs

2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3

Question 7: Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents. Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font

Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme ou du basket.

Vocabulaire des ensembles, quantificateurs

colorier ou hachurer, sur la figure ci-dessus, l'ensemble

S

. E

S

Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?

S

? Les élèves qui ne sont pas en S.

les expression suivantes, remplacer les pointillés par

∈ ∉ ⊂

; ;

ou

⊄

.

+∞ ∉ ℝ

;

0 ∈ ℚ

;

− ∈ ℤ

2

;

ℕ

⊂

ℚ

;

4

3 ∈ ℚ

;

0 ∉

ℕ

ℤ

ℕ

⊄

ℝ

− ; * +

⊄

ℝ

ℤ

;

2 ∉ ℚ

;

− ∈ ℚ

4

*;

8 ∉ ℤ

−

ℕ

ℤ

ℚ

ℝ

Soit E l'ensemble des entiers compris entre -3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A-t-on

E

⊂

F

?

Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou": 1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs OU inférieurs à 10.

2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 OU inférieurs à 10. 6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ET par 2.

Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents. dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font

dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme ou du

quantificateurs - CORRIGE

), quels sont les éléments de l'ensemble E?

*

∉ ℝ

;

−∞ ∉ ℚ

;

1∈ ℝ

−

ℤ

;

ℤ

₋

⊂

ℝ

₋;

ℤ

₊

⊄

ℝ

*₊

correspondant aux ensembles

ℕ ℤ ℚ ℝ

; ; ;

.

3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers

Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents. dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.

(5)

Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer

I

∩

J

puis

I

∪

J

. 1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]

[2;3]

I

∩

J

=

;

I

∪

J

=

]1;5, 5]

2°) I=[-1;+∞[ et J=]-2;3]

[ 1;3]

I

∩

J

= −

;

I

∪

J

= −

] 2;

+∞

[

Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de deux intervalles:

1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.

]2;

+∞ ∪ − ∞

[ ]

;3]

2°) L'ensemble des réels

x

tels que

x >

1

ou

x ≤ −

2

.

]1;

+∞ ∪ − ∞ −

[ ]

; 2]

Question 10:

1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:

a) Quel que soit le nombre rationnel

x

, ce nombre

x

appartient à l'ensemble des réels .

,

x

∀ ∈

ℚ

∈

ℝ

b) Il existe un nombre entier naturel

n

tel que le carré de

n

soit égal à 4.

2

/

4 n

n

∃ ∈

ℕ

=

2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole

⊂

.

⊂

ℚ

ℝ

3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3.

{

/ 2 | et 3|n

} {

/ 6 |

}

E

=

n

∈

ℕ

n

=

n

∈

ℕ

n

Remarques:

La barre / signifie "tel que", on peut aussi écrire une virgule, ou bien l'abréviation "t.q.".

La barre | signifie "divise" (c'est-à-dire que cette division "tombe pile"): 3|n, "3 divise n" signifie que n est divisible par 3 On voit dans certains ouvrages post-bac des "intervalles d'entiers" bien pratiques, notés: