Mathéma tiques,
langage et représentations graphiques
R. BERTRAND,Ingénieur Arts et Métiers,
Directeur du Lycée technique d'Auxerre.
IMPRECISIONS, IMPROPRIETES ET ABUS DE LANGAGE
CE QUE L'ON PEUT LIRE, OU ENTENDRE, A PROPOS D'OPÉRATIONS.
Effectuons le produit (2x + 5) par (x— 2).
En réalité on voulait annoncer une multipli-cation, une opération dont le résultat est appelé « produit ».
Huit facteurs de qirinze plus trois X.
On voulait énoncer, en réalité, l'opération 8 (15
+ 3x) qui est une multiplication des deux facteurs
8 et (15 + 3x).
Mettre un polynômes sous la forme d'un produit de facteurs, ou, ce qui est plus grave, décompo-ser un polynôme en produits.
E n réalité, on se propose de déterminer des élé-m e n t s qui sont les terélé-mes appelés « f a c t e u rs » d'une multiplication donnant comme produit le poly-n ô m e de départ. La multiplicatiopoly-n étapoly-nt, dapoly-ns un certain sens, une opération de composition on p e u t désigner l'opération inverse sous le nom de décomposition, mais décomposition en facteurs, et non en produits.
On divise le membre connu par le coefficient de l'inconnue.
Il s'agit ici d'une description de la phase finale de la résolution d'une équation du p r e m i e r degré. On a abouti à la f o r m e ax = b. Il f a u t alors diviser les deux m e m b r e s p a r u n m ê m e nombre, le coeffi-cient de l'inconnue, transformation qui laisse sub-sister l'équivalence entre l'équation x = b/a, dont
la solution est évidente, et l'équation de départ qui admet alors la m ê m e solution.
L u DANS UN MANUEL AU SUJET DES FONCTIONS.
Une grandeur B est dite fonction d'une grandeur A si à toute mesure x de A correspond une mesure y de B. Un nombre y est fonction d'un nombre x si la connaissance de toute valeur numérique de x permet de calculer la valeur numérique de y. Exemple : y = 3x + 5 est une fonction mathé-matique.
Dans ce qui précède, le mot « fonction » désigne d'abord la propriété caractéristique de la gran-deur B : chacune de ses valeurs correspond à une valeur particulière de l'autre grandeur A. Ensuite, du moins implicitement, ce m o t désigne la relation de correspondance elle-même.
Mais continuons...
Une fonction est croissante quand elle varie dans le même sens que la variable.
Ici, le m o t fonction désigne la grandeur, telle que B, qui possède la propriété précédente.
Représentation graphique de deux séries de nom-bres associés deux à deux : à un couple quel-conque de coordonnées ne correspond qu'un seul point du plan, ce qui justifie la représentation graphique d'un couple de nombres par un point du plan.
Représentation graphique d'une fonction : le calcul de y pour les valeurs numériques entières de x fournit deux séries de nombres associés deux à deux, d'où la représentation graphique en coordonnées rectangulaires. La courbe représen-tative de la fonction y = 2x est une droite ascen-dante passant par l'origine.
Dans cette partie, on retrouve, du moins impli-citement d'après le contexte, le sens de « relation » pour le terme « fonction » : le graphique montre comment est constitué chaque couple de nombres, il représente la relation entre les éléments des deux ensembles de nombres, il représente la fonction.
Nous constatons l'imprécision de la définition du terme. Nous constatons aussi une confusion de sens : le même mot est employé pour désigner tantôt une relation, tantôt un ensemble de valeurs. Cette imprécision, ces confusions sont pédagogi-quement dangereuses.
Voici une autre version.
-1
Une grandeur est fonction d'une autre grandeur quand à chaque valeur de celle-ci correspond une valeur de la première. Une relation quel-conque entre les nombres x et y exprime que l'un de ces nombres est fonction de l'autre. Le nombre x s'appelle la variable, le nombre y
's'appelle la fonction.
Remarquons ici que le terme « fonction » ne doit être introduit qu'à propos d'ensembles de nombres, et non d'un seul couple. Si l'on prend à la lettre le texte cité, on est donc conduit à juger impropre le mot fonction s'il est utilisé pour désigner un seul nombre. Mais le texte peut être interprété ; on peut admettre que y représente l'un quelconque des nombres de l'ensemble auquel est appliqué le nom de fonction. C'est alors u n texte imprécis. Conti-nuons la lecture :
Représentation graphique d'une fonction : une fonc-tion se représente par une ligne, pour obtenir les points de cette ligne il suffit de représenter les couples de nombres correspondants. La ligne formée par tous les points obtenus s'appelle la courbe représentative de la fonction.
Le contexte, ici, semble bien imposer le sens de « relation » pour le terme « fonction » : le gra-phique, pour représenter la fonction, doit être construit de façon à représenter la correspon-dance entre les deux éléments d'un même couple de nombres. Plus loin...
Grandeurs dont les valeurs correspondantes sont liées par une relation de la forme y = ax : étude de la fonction y = ax.
Le texte, ici encore, s'accommode du même sens. Mais, ensuite :
Dans l'étude de toute fonction on suppose que les valeurs de la variable x vcmt en croissant, il faut d'abord examiner si les valeurs de la fonction y vont en croissant ou en décroissant.
On ne peut s'étonner si les élèves éprouvent des difficultés pour assimiler ces notions fort impor-tantes. Elles sont pourtant assez simples, si l'on prend la précaution d'introduire quelque clarté dans l'exposé.
TOUJOURS A PROPOS DES FONCTIONS.
Grandeur proportionnelle à plusieurs autres.
La définition donnée dans les manuels apporte, en général, une précision indispensable sur la façon de vérifier la relation de proportionnalité; le sens de l'expression ci-dessus s'en trouve lui aussi pré-cisé. Ne conviendrait-il pas d'inclure cette précision dans l'expression? Le sens exact n'est plus rappelé à propos des applications et on peut lire par exem-ple : par convention l'intérêt est directement pro-portionnel au capital et à la durée de placement.
Or, si l'on prend cet exemple, la proportionnalité de l'intérêt au capital ne peut être vérifiée que pour une durée fixe. La désignation précise de cette catégorie de relations fonctionnelles exige que cette particularité soit signalée. On devrait donc dire : « Grandeur proportionnelle séparément à plusieurs autres. Sinon la notion restera imprécise.
Deux nombres proportionnels.
Il s'agit cette fois d'une faute d'élève.
Elle montre la nécessité de bien préciser que les relations fonctionnelles, et la proportionnalité en particulier, n'interviennent qu'entre deux
en-sembles de nombres, les mesures de deux
gran-deurs par exemple. Pour définir la notion de fonc-tion, ou la notion de proportionnalité, il faut au préalable familiariser l'élève, de façon simple, mais très précise, avec la notion d'ensemble, avec la notion de correspondance entre éléments de deux ensembles et avec la présentation des ensembles associés.
L'EDUCATION MATHEMATIQUE
Nous arrêterons là ces citations. Nous n'avons pas la prétention de présenter un exposé exhaustif qui nécessiterait plus de compétence.
Nous avons choisi les exemples dans le seul domaine de l'algèbre. Traditionnellement, clans l'en-seignement de la géométrie, on met l'accent sur la structure de la démonstration discursive et sur les qualités qu'elle doit présenter pour apporter la preuve formelle. Elle repose sur l'emploi du langage, parlé ou écrit, qui doit être rigoureuse-ment précis dans l'emploi des termes, dans la construction des phrases t dans leur enchaîne-ment. La valeur éducative de cet enseignement
réside dans la discipline de pensée qui résulte de la formation au raisonnement démonstratif.
Il semble que l'enseignement élémentaire de l'al-gèbre ait conservé un tour plus technique, qu'il soit surtout orienté vers l'acquisition des techniques de calcul. Même en s'en tenant à ce seul aspect, il faut bien admettre que les exposés doivent y être tout aussi précis, ne serait-ce que dans leur contenu qui, pour cela, doit être complet, c'est-à-clire qu'aucun élément descriptif ne doit être absent ou seulement ambigu.
Un examen critique montre que l'on s'écarte quelquefois de cette rigueur dans les exposés didactiques et que des « formes » incomplètes, étroites, se perpétuent, souvent p a r tradition sem-ble-t-il. L'habitude fait que l'on n'y prend pas garde. Les conséquences pédagogiques, n'étant gé-néralement pas immédiates, ne sont pas perçues.
Il faut bien craindre, en premier lieu, une influence défavorable sur la compréhension de l'élève. Mais l'efficacité cle l'enseignement élémen-taire de l'algèbre est souvent, et surtout, mesurée par les possibilités d'utilisation des techniques de calcul qu'il procure. Or, c'est l'acquisition de ces techniques qui est certainement la moins troublée par les défauts du langage. L'apprentissage par répétition, qui intervient très largement ici, finit p a r ancrer solidement et valablement les règles exactes, grâce à la valeur de l'exemple, même si le support de la pensée n'est pas absolument cor-rect ou s'il reste sommaire.
Les conséquences des imperfections de tous ordres sont plus sérieuses clans le domaine de la formation de l'esprit et de l'acquisition des idées et des méthodes générales de pensée, objectifs de l'éducation. Les structures mentales acquises par l'étude des mathématiques, les formes de pensée auxquelles elle peut conduire, la discipline intel-lectuelle qu'elle assure, sont très largement utili-sables hors du cadre technique des mathématiques. Or, à cet égard, les apports de l'algèbre peuvent être particulièrement féconds par l'initiation au symbolisme, aux modes d'organisation et de repré-sentation des idées, des connaissances et des actions, à l'usage des divers supports de la pensée indispensables aux opérations intellectuelles de tous ordres. L'éducation mathématique doit viser à la création de ces outils intellectuels : c'est l'as-pect culturel cle l'étude des mathématiques dont découlera sa valeur et son efficacité, d'ordre intel-lectuel, dans de très nombreux domaines d'ac-tivité.
A tous les niveaux, à toutes les étapes de la formation, ces outils doivent rester perfectibles, mais perfectibles par extensions. Il faut éviter que l'élève — et puis l'adulte — puisse se trouver
dans l'obligation de réformer des habitudes intel-lectuelles avant de poursuivre son éducation. Les acquisitions antérieures ne doivent jamais contra-rier les acquisitions nouvelles. Bien au contraire, elles doivent toujours les préparer. L'enseignement doit être conduit en conséquence et avec le souci permanent de ménager les débouchés sur des domaines aussi vastes que possible.
LA NOTION DE FONCTION.
La notion de fonction est introduite, dans l'en-seignement élémentaire des mathématiques, à pro-pos de l'étude des relations entre deux ensembles de nombres.
Mais les applications des procédés d'étude des relations entre ensembles d'éléments débordent le cadre des ensembles numériques, même si l'on s'en tient au niveau de l'enseignement technique moyen. On les trouve, en effet, à la base des techniques d'organisation qui, dans leurs aspects simples, ressortissent de cet enseignement. Or, le champ d'application de ces techniques englobe la plupart des activités et il importe de leur donner un sup-port intellectuel.
Les études d'organisation conduisent à confron-ter et à relier des ensembles d'éléments de nature très diverse : valeurs (c'est-à-dire nombres), posi-tions, objets, documents, personnes, idées. De tels examens supposent une possibilité de notation symbolique, l'étude des relations nécessite leur représentation, ces supports matériels étant indis-pensables aux opérations intellectuelles. Or, les relations entre éléments de plusieurs ensembles sont susceptibles de modes de représentation indé-pendants de la nature de ces éléments.
Il est facile, à partir de cas concrets, de faire apparaître la notion d'ensemble et la nécessité, dans de très nombreux domaines, de confronter deux ou plusieurs ensembles d'éléments. On peut ainsi montrer que des nécessités pratiques, d'ori-gines très diverses, conventionnelles ou expérimen-tales, conduisent à associer à chaque élément d'un premier ensemble, l'ensemble de départ, un et un seul élément d'un second, l'ensemble d'arri-vée. L'existence des couples ainsi constitués définit
alors une relation entre éléments de l'un et l'autre ensemble, sous la forme d'une relation de corres-pondance. Cette forme de relation constitue, d'une façon très générale, une fonction, ou, pour être plus précis, résulte d'une opération appelée fonction.
Il s'agit d'une fonction numérique si les éléments considérés sont des nombres, par exemple des mesures de grandeurs. Mais en peut construire arbitrairement de telles associations d'ensembles numériques en calculant chaque élément
corres-pondant à partir de l'élément de départ et à l'aide d'une formule algébrique. Il s'agit alors d'une
fonction définie algébriquement et la fonction — la relation de correspondance — est identifiée par la formule utilisée.
L'usage du terme « fonction » doit être stricte-ment réservé pour désigner l'opération, ou la forme de relation entre ensembles, définie ci-dessus. Sous peine de confusion, on ne peut l'utiliser pour dési-gner aussi l'ensemble d'arrivée. Les qualificatifs tels que « numériques » ou « définies algébrique-ment » permettent de préciser des catégories par-ticulières de fonctions.
L'étude des fonctions, dans le cours d'algèbre, est très rapidement limitée au cas des fonctions définies algébriquement. Cette limitation est pro-bablement gênante dans nos classes profession-nelles si elle devient absolue; l'étude risque fort d'apparaître comme un simple jeu de l'esprit purement gratuit. Or l'enseignement donné dans ces classes débouche directement sur la profession, cet aboutissement est préparé par l'introduction de l'étude des techniques dans les programmes. Il est impossible de ne pas prendre en considé-ration l'utilité de l'enseignement des mathéma-tiques, à condition de ne pas l'identifier avec la possibilité d'appliquer des procédés. Dans notre enseignement économique, du moins dans les classes terminales, l'enseignement des mathéma-tiques est confié à des professeurs de sciences et techniques économiques. Ces professeurs connais-sent donc les besoins, il n'est pas possible que leur main droite ignore ce que fait leur main gauche. Ils sont bien placés pour faciliter l'osmose entre les enseignements qui concourent à la formation des élèves.
L'étude d'une fonction suppose évidemment que l'on possède certains renseignements caractérisant les ensembles que l'on doit examiner, permettant de les « connaître ».
Pour connaître l'ensemble de départ, il faut nécessairement :
1° Connaître chacun des éléments ;
2° Savoir dans quel ordre ils se trouvent dis-posés pour constituer l'ensemble. Cet ordre doit résulter d'une convention : par exemple, s'il s'agit de nombres, on utilise en règle générale l'ordre des valeurs croissantes. S'il s'agit d'objets, la règle de classement doit être définie dans chaque cas (ordre alphabétique par exemple à partir du nom ou de l'emploi).
Pour connaître le second ensemble il faut dis-poser des mêmes informations :
10 L'information relative à la nature des éléments est d'origine variable, suivant le cas :
— Calcul, s'il s'agit de fonctions définies algé-briquement ;
— Expérimentation ; •— Convention, etc. ;
2° Par contre, le mode de classement découle automatiquement de celui adopté pour l'ensemble de départ, les éléments d'arrivée devront être dis-posés dans l'ordre des éléments de départ du fait qu'ils leur correspondent.
La pratique des études de fonctions crée ainsi des habitudes intellectuelles d'ordre dans l'analyse des faits, des situations, à condition de ne pas se limiter au cas des fonctions définies algébrique-ment qui concernent uniquealgébrique-ment des ensembles numériques. Elle fait aussi apparaître la nécessité de procédés de représentation matérielle.
L'étude des fonctions définies algébriquement doit apparaître comme une préparation à l'étude des fonctions numériques résultant : soit de conven-tions — c'est le cas que l'on rencontre dans les études commerciales ou financières — soit d'études expérimentales. Ce caractère doit être souligné et rappelé fréquemment au moyen d'exemples concrets.
A propos des fonctions d'origine expérimentale, il n'est pas inutile de montrer comment leur com-paraison avec les fonctions définies algébriquement, par les isomorphismes qui apparaissent, permet d'identifier la relation naturelle avec la relation algébrique. Cette dernière met alors en évidence la constance des relations entre les grandeurs qui interviennent dans le phénomène; cette constance conduit à la notion de loi régissant le phénomène étudié.
Les conventions en usage dans les opérations commerciales ou financières introduisent entre les grandeurs mises en jeu — quantités, valeurs — des relations ayant le caractère d'une fonction. Qu'il s'agisse d'intérêt, d'escompte, de taxe, de bénéfice, de salaire, de commission, etc., l'étude doit être conduite par référence à la notion géné-rale de fonction. Il s'agit souvent de fonctions définies par une expression du premier degré, d'où, quel que soit le sujet, la possibilité d'unification des méthodes de représentation et de calcul, et du langage, qui introduit une unité de vue propre à soulager l'élève, en diminuant l'effort de mé-moire. Cette façon d'opérer est d'ailleurs conforme aux objectifs de l'éducation.
A ce sujet, il convient de s'écarter résolument des méthodes utilisées dans les cours dits de « cal-cul commercial », qui ressortissent de l'apprentis-sage des procédés. Il ne semble pas que notre enseignement économique se soit encore complè-tement dégagé, à cet égard, de certaines traditions qui ont eu leur raison d'être à certaines étapes de
l'enseignement professionnel, mais qui sont main-tenant fort éloignées de nos préoccupations.
L'étude des logarithmes, en seconde, permet un retour fort instructif à la notion de fonction. La définition élémentaire classique des logarithmes repose sur la confrontation de deux ensembles numériques :
— D'une part l'ensemble des termes d'une pro-gression géométrique de raison 10 parmi lesquels le terme 1, que l'on a intérêt à noter 10"; un terme quelconque x peut être noté 10y, x = 10y, y étant le rang repéré à partir du terme 1 de rang O ; — D'autre part l'ensemble des termes d'une pro-gression arithmétique de raison 1, parmi lesquels le terme O.
On associe à chaque élément du premier en-semble l'élément y du second, de rang y à partir de O auquel on affecte le rang O; y, image de x dans le second ensemble, est le logarithme de x. Cette définition est étendue au cas où y n'est pas entier p a r insertion de termes complémentaires dans les deux ensembles.
On retrouve l'opération d'établissement d'une correspondance entre éléments de deux ensembles connue sous le nom de « fonction ». Ici, il s'agit d'une fonction numérique, mais qui n'est pas définie algébriquement : on ne peut pas calculer direc-tement y à partir de x à l'aide d'une expression algébrique.
L'importance pratique de cette fonction a conduit à la considérer comme définie, à lui donner un nom : la fonction logarithmique et à convenir d'une notation symbolique particulière de la rela-tion entre x et y = log x. C'est aussi un exemple de fonction qui, pour les applications, ne peut être définie qu'à l'aide de l'idée générale de fonc-tion et ne peut être représentée que :
— Par une table, dont la présentation découle directement de la notion de fonction numérique ; — Ou par son équivalent graphique, l'échelle logarithmique.
Il peut être intéressant d'introduire la notion de fonction inverse. La fonction logarithmique fait correspondre au nombre x le logarithme y. On passe du logarithme y au nombre x p a r l'opé-ration inverse qui, cette fois, peut être définie algébriquement par l'expression x = 10y.
La fonction définie p a r x = lOy est la fonction inverse — fonction = opération —• de la fonction logarithmique y = log x. C'est la fonction exponen-tielle. L'étude de ces deux fonctions n'est pas au
programme de nos sections professionnelles. Mais il n'est pas interdit de les citer, tant est grande leur importance pratique.
Du même point de vue, il est regrettable que l'on maintienne dans la classe de troisième une
distinction arbitraire entre « arithmétique » et « algèbre ». Ce cloisonnement conduit à étudier séparément, hormis quelques liaisons sommaires, la proportionnalité et la fonction définie algébri-quement par une expression du premier degré. Or, pour la clarté de l'exposé, la notion de proportion-nalité gagnerait à être étudiée suivant l'optique des fonctions ; l'enseignement mathématique ne pourrait qu'y gagner en unité et en simplicité.
En insistant sur l'idée de correspondance, qui est à la base de la notion de fonction, on peut conduire l'élève à identifier, dans leur structure, les fonctions numériques avec les fonctions d'élé-ments de nature quelconque que l'on rencontre dans les problèmes d'organisation. Cette identité, une fois acquise, rend intuitive celle des structures des procédés de représentation graphique valables pour les ensembles numériques et pour tout autre ensemble. Elle permet de comprendre la simili-tude des graphiques numériques et des graphiques d'organisation.
Or, le recours aux représentations graphiques, si fécond, doit finalement résulter bien plus d'un état d'esprit, découlant de l'éducation, que d'un simple apprentissage fait à propos de ceci ou de cela, c'est-à-dire à la faveur de circonstances qu'il est impossible de diversifier suffisamment dans des exercices didactiques.
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES Le graphique s'oppose :
1° A l'écriture, basée sur un système graphique de notation des sons dont la combinaison constitue le langage ;
2° Au symbolisme algébrique, reposant sur l'em-ploi de signes graphiques ayant une structure ana-logue à ceux de l'écriture, mais dont la signification individuelle est plus étendue.
Le symbolisme de l'écriture est analytique, d'abord dans le mode de notation des mots à partir des sons composants, ensuite du fait de la struc-ture du langage qui opère par groupement de mots pour l'expression.
Le symbolisme algébrique est synthétique, chaque signe peut avoir un sens très complet. Au symbo-lisme algébrique s'apparente le symbosymbo-lisme des signaux; exemple : celui des signaux routiers.
On remarquera l'utilisation, dans tous les cas, d'un signe graphique, c'est-à-dire d'un signe maté-riel s'apparentant à un objet physique. Mais la représentation graphique proprement dite repose sur l'utilisation des propriétés géométriques de
position et d'étendue des signes graphiques. Au contraire, les autres procédés de notation
maté-rielle reposent sur l'utilisation de la forme d'élé-ments géométriques, quelquefois aussi sur les caractères physiques du signe matériel, la couleur par exemple.
L'expression graphique nécessite non seulement la notation d'êtres, mais aussi celle de leurs rela-tions. D'une façon générale, on utilise, dans les graphiques, la notion géométrique de relation de position des symboles pour exprimer leurs rela-tions, ces symboles interviennent à cet effet par leur localisation.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES LIAISONS.
On doit exprimer fréquemment des liaisons. L'élé-ment géométrique le plus simple, pouvant être utilisé comme signe graphique, est le point. La liaison entre deux points sera tout naturellement notée par un segment de droite les reliant.
Ce procédé est étendu aux autres signes gra-phiques. On le trouve employé, p a r exemple :
— Dans les arbres généalogiques ; — Dans les organigrammes.
Il apparaît, plus ou moins implicitement, dans les tableaux synoptiques. Il est utilisé dans les représentations graphiques désignées sous le nom général de graphes.
Dans beaucoup de cas le segment de droite est sous-entendu et la liaison est marquée p a r un ali-gnement suivant une direction générale conven-tionnelle, qui est le plus souvent une direction considérée comme privilégiée : horizontale, ver-ticale.
D'une façon générale, la plupart des relations trouvent une image graphique dans une relation géométrique de position : jonction, alignement, correspondance, superposition, intersection, juxta-position, entre les symboles graphiques des élé-ments considérés.
Le symbolisme algébrique, au contraire, étend l'usage des symboles abstraits et purement conven-tionnels à la notation des relations. Cependant la position prend un sens clans certains cas de sym-bolisation graphique du type algébrique. Elle inter-vient p a r exemple dans notre système de notation graphique des nombres à l'aide cle signes appelés « chiffres », dont la signification dépend de la posi-tion dans l'image graphique du nombre.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA CORRESPONDANCE PAR UN ALIGNEMENT.
Le recours à l'alignement des symboles graphi-ques pour noter une relation d'association, de cor-respondance, entre deux éléments appartenant à des ensembles différents, c'est-à-dire pour noter une fonction liant ces deux ensembles, est d'usage
général. On l'emploie aussi bien en association avec l'écriture, avec la symbolisation des chiffres, avec la symbolisation algébrique ou similaire.
L'exemple le plus simple d'une telle application est la table de fonction, utilisée systématiquement pour la présentation des fonctions numériques en vue de leurs applications. Exemples :
— Tables des carrés, des cubes, des fonctions trigonométriques, tables financières.
Le procédé s'applique aussi au cas des fonctions à deux variables. C'est la disposition des tables dites à double entrée, par exemple de la table de multiplication dite de « Pythagore ».
Cette disposition se retrouve :
— Dans les tableaux d'horaires de trains ; — Dans les emplois du temps, et dans beaucoup d'autres cas où elle peut être associée au symbo-lisme des signaux.
L'alignement est systématiquement utilisé dans toutes les dispositions graphiques connues sous l'appellation générale de « tableau ».
LES ÉCHELLES GRAPHIQUES.
Pour représenter graphiquement un nombre on l'identifie à la mesure d'un élément géométrique. Ceci permet de représenter un nombre soit par la longueur d'un segment de droite, soit par l'aire d'une surface, soit par la mesure d'un angle. On établit ainsi une correspondance biunivoque entre le nombre et l'élément graphique.
L'utilisation de segments de droite permet d'obte-nir l'équivalent graphique de la « liste »,-en colonne ou en ligne, utilisée dans les tables. On établit une correspondance fonctionnelle entre l'ensemble numérique à représenter et un ensemble de seg-ments disposés sur un support orienté, de façon qu'ils aient même origine. La fonction est définie par l'égalité de la mesure du segment au nombre représenté.
On établit du même coup une correspondance fonctionnelle entre l'ensemble numérique et l'en-semble des points, portés par l'axe orienté,
extré-rique, on défini sa correspondance à l'ensemble
ponctuel qui constitue une échelle graphique numé-rique, on dénfii sa correspondance a l'ensemble
des nombres en cotant les points.
Les échelles graphiques fonctionnelles, ensembles ponctuels similaires, font intervenir dans la
corres-pondance « nombre-point » une correspondance
intermédiaire qui est une fonction numérique. Pre-nons l'exemple de la fonction logarithmique, d'uti-lisation fréquente dans ce domaine. La mesure de chaque segment s'identifie avec un logarithme qui correspond lui-même à un nombre de l'ensemble à représenter. Les trois ensembles : nombres, loga-rithmes, segments, sont ordonnés de la même
façon. L'ensemble ponctuel des extrémités des seg-ments constitue une échelle graphique logarith-mique, on définit sa correspondance à l'ensemble
des nombres en cotant les points.
REPRÉSENTATION DES FONCTIONS PAR ALIGNEMENT D'ÉCHELLES GRAPHIQUES.
La correspondance entre deux ensembles numé-riques peut être notée graphiquement en alignant les images ponctuelles de deux échelles graphiques. On trouve sur les règles à calcul u n exemple de cette utilisation pour matérialiser la fonction défi-nie algébriquement par y = x\ Le nombre y, coté sur l'échelle logarithmique dite « des carrés », est lu dans l'alignement du nombre x, coté sur l'autre échelle logarithmique.
La notation des relations fonctionnelles par ali-gnement d'échelles graphiques présente un incon-vénient qui limité les applications. L'ordre de clas-sement des images graphiques des éléments de l'ensemble de départ impose celui des images des éléments d'arrivée, alors que la signification de l'image d'arrivée dépend de la fonction. Le procédé ne peut s'appliquer à toutes les fonctions numé-riques, l'ordre des images sur les échelles graphi-ques étant obligatoirement celui de la suite des nombres.
LE GRAPHIQUE CARTÉSIEN.
Le dispositif connu sous le nom cle « graphique cartésien » repose sur l'utilisation :
1° De deux échelles graphiques généralement perpendiculaires, permettant la notation des en-sembles numériques dont il faut représenter la correspondance ;
2° D'un ensemble intermédiaire d'images ponc-tuelles, chaque point étant l'image graphique d'un couple particulier d'éléments numériques associés, ou, si l'on préfère, l'image de la correspondance établie entre ces deux éléments ;
3° D'une convention de notation de la corres-pondance entre l'image du couple et celle de cha-cun des éléments associés, on utilise à cet effet l'alignement parallèle à l'axe portant l'autre élément.
Remarques :
a) L'indépendance des ordres de rangement des deux ensembles d'image sur les échelles est assurée ;
b) Le procédé est applicable à la représentation
cle la correspondance entre ensembles d'éléments de nature quelconque, les échelles sont alors rem-placées par des « listes » de symboles graphiques ; c) On retrouve la structure géométrique utilisée dans le tableau à double entrée, dont l'utilisation
pour la notation des fonctions à deux variable.' a été signalée. Cela ne doit pas surprendre, le couple est bien fonction de deux éléments appar-tenant à des ensembles distincts ;
d) Lorsque la correspondance résulte d'une
fonc-tion, c'est-à-dire lorsque l'élément d'arrivée est unique, le graphique ne fournit qu'une seule image de couple pour chaque élément de l'ensemble de départ. On peut donc dire que cette image unique caractérise — ou ce qui revient au même repré-sente graphiquement — la fonction qui associe les deux éléments. Le graphique cartésien fournit une image de la fonction ;
e) Cette introduction du canevas sur lequel est
construit le graphique d'une fonction ne fait pas intervenir de condition d'origine commune poul-ies deux échelles. On est conduit à un choix précis de ces origines, et à les confondre au point d'in-tersection des axes supportant les échelles, quand on a le souci de définir un canevas uniforme pour diverses représentations de façon à mettre en évidence l'isomorphisme des fonctions correspon-dantes ;
/) Lorsque la correspondance résulte d'une
cor-rélation on obtient plusieurs images de couples en
regard de chaque élément de l'ensemble de départ.
Autres remarques :
1° La structure du graphique d'une fonction numérique peut apparaître sous un autre aspect. Chaque image d'un couple peut y apparaître comme l'extrémité d'un segment ayant pour origine l'image ponctuelle de l'élément numérique de départ. Ce segment donne une image graphique du second élément numérique du couple, l'élément d'arrivée par la fonction. L'ensemble de ces segments, placés ainsi côte à côte, représente l'ensemble des élé-ments d'arrivée.
Les images ponctuelles des éléments de départ sont ordonnées suivant l'ordre naturel des nom-bres. Par éducation, l'ensemble des nombres nous sert instinctivement d'ensemble de référence pour l'appréciation des relations d'ordre. Sous son nou-vel aspect, le graphique montre comment l'inter-vention de la fonction ordonne les éléments numé-riques d'arrivée.
Par exemple, le graphique expérimental d'une grandeur en fonction du temps est, pour l'esprit, une image graphique fidèle de la succession des valeurs de cette grandeur dans le temps. D'où le sens des termes « accroissement », « diminution », « croissant », « décroissant », lorsque l'observation du graphique porte sur l'ensemble des éléments d'arrivée.
2° On peut donner une autre signification à la courbe lieu des points représentatifs de la fonction,
en abrégé : courbe représentative. Elle constitue une frontière séparant le plan en deux régions : région supérieure et région inférieure. Chacun des points de ces régions est l'image graphique d'un couple d'éléments associés, mais d'un couple qui ne résulte pas de la fonction.
Cependant, on peut donner à ces couples, et par suite à leurs images, un sens par rapport à la fonction.
Un point de la région supérieure est l'image d'un couple dont le nombre d'arrivée est supérieur à celui qui résulterait de l'application de la fonction, ou bien d'un couple dont le nombre de départ est supérieur à celui qui serait utilisé dans l'applica-tion de la foncl'applica-tion.
On ferait une remarque analogue pour la région inférieure en remplaçant « supérieur » par « infé-rieur ».
De ce point de vue la courbe apparaît comme l'image graphique d'une limite définie par une relation d'égalité, qui définit aussi la fonction. Les points de la région supérieure sont les images gra-phiques des couples de nombres satisfaisant à une condition de supériorité. Ceux de la région infé-rieure sont les images des couples satisfaisant à une condition d'infériorité. Le recours à un exem-ple de fonction définie algébriquement permet d'expliciter ce point de vue.
L'existence de plusieurs limites distinctes, cor-respondant à plusieurs conditions de supériorité ou d'infériorité, conduit au tracé de plusieurs frontières qui, dans certains cas, délimitent un domaine plan à l'intérieur duquel tous les points représentent des couples de nombres satisfaisant à l'ensemble des conditions.
L'utilisation du graphique permet d'initier les élèves à une catégorie de problèmes, négligés dans l'enseignement traditionnel, mais qui se présentent naturellement dans les études d'organisation. Leur solution présente la particularité de nécessiter un choix préparé par les calculs. Nos élèves des sec-tions économiques ne peuvent ignorer l'importance pratique de tels problèmes.
La méthode graphique permet d'introduire sans difficulté la notion de solution optimale correspon-dant à une condition supplémentaire de maximum ou de minimum. Bien entendu, il ne peut s'agir que d'une initiation; la solution des problèmes réels, où les variables et les conditions sont géné-ralement très nombreuses, nécessite le recours à des méthodes de calcul très particulières. Aussi cette étude ne peut avoir que des objectifs édu-catifs, qui n'en sont pas moins très importants pour des élèves suivant un enseignement mathé-matique en vue d'activités économiques.
Ces deux derniers exemples font apparaître la
pluralité d'aspects qu'un graphique, et plus géné-ralement un ensemble structuré de signes gra-phiques, peuvent présenter à l'observation. Cette pluralité des aspects possibles est une des causes de la fécondité des procédés de représentation graphique comme supports de la pensée.
GRAPHIQUES ET ENSEMBLES STRUCTURÉS DE SIGNES GRAPHIQUES.
On ne peut s'étonner de retrouver, à propos de notation graphique des relations, des procédés applicables indifféremment aux divers systèmes de notation graphique. Dans tous les cas : écriture, symboles, éléments géométriques intervenant par leur grandeur, on utilise en effet cles signes maté-rialisés occupant une position dans l'espace. D'où la validité générale des relations de position entre les signes pour exprimer des relations d'associa-tion entre les signifiés.
Un autre caractère commun est la recherche d'une organisation, d'une structuration de la dis-position des signes graphiques.
Il s'agit, dans tous les cas, de notations dont l'appréhension par l'esprit doit se faire par l'inter-médiaire de la vue. D'où, en premier lieu, le souci commun d'une organisation des éléments graphi-ques et de leur ensemble qui permette une per-ception aussi globale que possible au travers des sensations visuelles globales.
La nécessité d'une organisation structurale cles notations graphiques utilisées comme support de la pensée, l'elficacité de cette organisation à l'égard du travail intellectuel, est aussi la conséquence d'une propriété organique de l'esprit dont les pos-sibilités d'appréhension des informations extérieu-res sont directement influencées par le degré de structuration des perceptions sensorielles, inter-médiaires obligatoires entre le milieu et le cerveau.
La pensée, le travail intellectuel, ont besoin d'un support matériel, d'un support graphique par exemple. Ils sont influencés par la forme de cette notation, la richesse de sa signification, les commo-dités d'analyse ou au contraire de perception glo-bale qu'elle offre. En particulier, la découverte, fondée en partie sur l'intuition, est favorisée par une vue panoramique des idées et de leurs relations et, surtout, par les possibilités de perception des pluralités d'aspect. La déduction est favorisée par une claire vision des enchaînements.
Les commodités des représentations graphiques et de la structuration des textes écrits sont bien connues, ne serait-ce qu'en raison du développe-ment de leur utilisation dans les activités modernes, qu'il s'agisse du domaine scientifique ou écono-mique, de la signalisation routière ou... de la pu-blicité.
Mais il n'est pas inutile d'en détailler les carac-tères en raison des conséquences pédagogiques.
Bien entendu, il ne saurait être question de faire reposer, au niveau de nos classes profession-nelles, l'étude des diverses notations graphiques, des graphiques de fonctions en particulier, sur une théorie générale. Mais comme le professeur doit éduquer l'élève pour le conduire à des idées géné-rales au travers d'applications particulières, il faut qu'il soit lui-même convaincu de la cohérence et de l'universalité des principes qui régissent des formes d'emploi très diverses.
L'INTRODUCTION PÉDAGOGIQUE DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES.
On ne saurait attendre l'étude des graphiques de fonctions définies algébriquement, qui est au programme du cours de mathématiques, pour uti-liser la représentation graphique. Bien au contraire, il faut faire intervenir, et dans toutes les disci-plines, l'utilisation didactique des divers procédés, qu'il s'agisse de représentations graphiques d'en-sembles numériques associés ou de tableaux divers considérés comme structurations de notations écrites ou symboliques.
Dans le cours d'algèbre, le principe du graphique cartésien est généralement introduit à partir du système de repérage de la position d'un point dans le plan par ses coordonnées, c'est-à-dire par un couple de nombres. Inversement chaque point est aussi l'image d'un couple de nombres. On utilise ainsi une idée qui est à la base de la géométrie analytique, elle conduit à remplacer l'étude géo-métrique directe d'une courbe p a r l'étude des relations algébriques entre les coordonnées des points de cette courbe.
Ce n'est pas nécessairement le mode d'introduc-tion qui convienne le mieux pour les élèves de nos sections économiques — et même industrielles — qui n'auront jamais à étudier la géométrie ana-lytique. Il peut être préférable de suivre un che-minement plus direct, découlant de la notion même de fonction et qui permet de relier l'étude mathé-matique à l'étude expérimentale antérieure. Il est d'ailleurs très facile de revenir au point de vue de la géométrie analytique par une voie inverse de la présentation classique.
Ainsi que nous l'avons noté précédemment, il faut dans tous les cas, en premier lieu, définir une convention de représentation graphique des nom-bres. Il est utile de montrer que la correspondance établie, sur une échelle graphique, entre l'ensemble des points et l'ensemble numérique à représenter, s'étend à tout autre ensemble correspondant à celui-ci. Par exemple, si l'ensemble numérique est celui des distances d'un mobile à l'origine choisie
sur sa trajectoire, la correspondance fonctionnelle de l'ensemble des points de l'échelle graphique à l'ensemble numérique des distances s'étend aus-sitôt aux positions du mobile sur sa trajectoire.
Une seconde convention permet de représenter la fonction, de représenter graphiquement le mode de formation du couple, où, ce qui est plus intuitif, de marquer le mode de correspondance entre les images graphiques des éléments associés. Cette correspondance est signalée par le point d'inter-section des parallèles aux axes issues des images. La fonction, convention d'association, est représen-tée par une convention graphique de liaison entre les images des associés.
On voit qu'il est indispensable de mettre l'accent sur la signification et le rôle essentiel du point figuratif de la fonction. Même si l'on se trouve en présence d'ensembles continus d'éléments, qui conduisent à un ensemble continu de points figu-ratifs de la fonction, c'est chacun des points de la ligne continue obtenue qui possède individuelle-ment un sens dans la représentation de la fonction.
L'examen global de la courbe ne renseigne que sur l'effet de la fonction vis-à-vis de la structure cle l'ensemble des éléments d'arrivée ordonnés sui-vant l'ordre naturel des nombres. Cet examen global présente un intérêt quand on cherche à identifier une fonction d'origine expérimentale avec une fonction définie algébriquement. L'isomor-phisme de l'ensemble des valeurs expérimentales et de l'ensemble des valeurs calculées apparaît alors clairement du fait de l'identité d'organisation des représentations graphiques.
Mais lorsqu'il s'agit de retrouver un couple dé-terminé, il faut recourir à l'image ponctuelle de la fonction qui le détermine.
Ce que nous avons dit du rôle des échelles per-met de comprendre pourquoi le graphique carté-sien permet de représenter des fonctions liant des ensembles de nature quelconque, non numérique. Il suffit de préciser la convention qui fait corres-pondre à chaque élément un point de l'échelle, une position dans la liste, qui est l'image graphique. Au lieu de représenter par exemple des positions, l'échelle peut aussi bien représenter des objets,
des états, des manières d'être plus généralement des qualités, des idées.
Le dispositif s'applique aussi à la représentation de correspondances non fonctionnelles, qui ne don-nent pas un associé unique à l'élément de départ.
Nous ne développerons pas davantage ce paral-lélisme entre la représentation graphique des fonc-tions numériques et celle des associafonc-tions d'ensem-bles quelconques. La convention de base peut être complétée par celle d'un symbolisme des signaux. On aboutit ainsi à la diversité des graphiques
d'organisation. On pourra se reporter, à ce sujet, à l'article publié dans le n° 131-132, septembre-octobre 1959, de la revue Technique, Art, Science.
Nos programmes d'enseignement ne prévoient pas l'étude systématique et comparée des divers procédés d'expression graphique des informations et de la pensée. Seules quelques catégories par-ticulières font l'objet d'études plus ou moins complètes et indépendantes : écriture du langage (étude ne comportant pas celle de la structuration graphique), graphiques des fonctions numériques (étude essentiellement orientée vers les fonctions
définies algébriquement), cartes géographiques, schémas, dessins techniques. Il n'est pas certain qu'une étude d'ensemble soit nécessaire. Il est par contre indispensable que chaque professeur, dans sa discipline particulière, utilise et fasse uti-liser les divers procédés, et qu'il le fasse ouverte-ment et volontaireouverte-ment dans un but pédagogique nettement explicité. C'est plus particulièrement nécessaire dans nos classes professionnelles dont les élèves doivent être, dès l'école, préparés ration-nellement à l'emploi des moyens d'usage général dans les activités économiques.
