ARTheque - STEF - ENS Cachan | Mathématiques et enseignement technique.

I I I . - P É D A G O G I E

& ENSEIGNEMENT

T EC H N I Q U E

L — Que la matière et la pédagogie d'une

discipline soient déterminées par le but que doit atteindre l'enseignement de cette disci-pline, est une observation dont la vérité s'impose avec évidence.

L'Enseignement technique a pour objet de mettre l'élève ou l'étudiant en possession d'un métier ou d'une profession d'ingénieur ou de technicien. Quelles que soient son habileté manuelle ou sa puissance imaginative, l'étendue de ses connaissances ou sa finesse et sa sensi-bilité dans la conduite des hommes, un techni-cien est essentiellement, et même exclusive-ment, un homme d'action, un homme qui agit sur les êtres naturels, en vue de les façonner, de les transformer, de créer des êtres nouveaux. Il se distingue ainsi du savant, qui se donne pour but de connaître la nature, nature sen-sible du naturaliste et du physicien et monde des idées aux divers aspects duquel s'attachent la psychologie, les mathématiques, la philo-sophie des sciences. Le savant est en quête de découvertes, le technicien crée et fabrique. Il ne suffit donc pas, pour devenir technicien, d'acquérir, à quelque période de sa vie, les connaissances technologiques propres à une profession. La formation pour l'action résulte d'un effort orienté, poursuivi avec persévé-rance, et, pourrait-on dire, d'une polarisation constante de l'attention vers les problèmes multiples et divers de la profession.

C'est pourquoi les activités intellectuelles du domaine de la logique et .de l'esthétique, que l'Enseignement technique entend ne pas négliger 42

t a n t pour leur valeur humaine que pour leur valeur pragmatique, doivent être suscitées prin-cipalement à l'occasion des exercices scolaires exigés par la formation professionnelle propre-ment dite.

Ce principe pédagogique général imprime sa marque sur l'enseignement des mathématiques plus profondément peut-être que sur celui de toute autre discipline.

II- — L'homme de science, en ce domaine, est celui qui découvre des théories nouvelles ou développe des théories connues.

Le technicien n'aura jamais à exercer en ce sens son génie créateur. Dans l'invention d'un mécanisme ou la fabrication d'un objet, les

Raisonnement mathématique En o n cé analytique E n o n c é géométrique P r o b l è m e physique Solution . analytique \ Bureau Solution

\

n u meri q ue •de E p u r e s ution du •c>yëme calcul

J

B u - ea u : 3_{r q t i è m e} c o n c r e t . . . dj, « D e s s r i i _ ) d'exécution-_^ Aielie^-^ppar-ei "abn Q U I ique Figure I

mathématiques interviennent de façon diffé-rente, au cours d'un processus particulier que nous essaierons de saisir sur un exemple.

« Supposons qu'il s'agisse de construire une turbine hydraulique.

« Du problème posé, défini par un ensemble de conditions techniques, on extraira un pro-blème de mécanique des fluides, c'est-à-dire de physique; celui-ci, par abstraction de cer-tains phénomènes secondaires dont on néglige provisoirement les effets, pourra se réduire, par exemple, à un problème de géométrie; ce dernier enfin conduira peut-être à un problème d'analyse mathématique. Du problème tech-nique, concret, nous sommes ainsi passés à un problème mathématique, abstrait : la partie gauche du schéma ci-dessus (fig. 1) représente cette démarche de la pensée.

« L'énoncé propre de ce dernier problème ignore complètement l'énoncé technique du premier; résoudre ce problème est une question de mathématiques et non plus de technique, et le technicien pourrait, semble-t-il, confier la recherche de la solution à un mathématicien, même si ce dernier n'est guère averti des ques-tions techniques ou ne l'est point du tout.

« La solution analytique du problème abstrait sera suivie, par exemple, d'un calcul numé-rique, ce dernier d'épures, et l'étude se termi-nera au bureau de dessin par l'établissement des dessins d'exécution. L'atelier construira la turbine; c'est alors seulement que le pro-blème technique posé aura reçu une véritable solution, et que l'on sera en mesure de s'assurer, par des essais, si cette solution est acceptable. « Sous réserve de l'excès de schématisation que peut comporter la figure, on aperçoit donc, dans la résolution d'un problème technique, deux cheminements inverses de la pensée. Le

ArWyas Gé o m é t r i e Solution analytique .Solution numérique E p u r e s En o n cé Objet fabrique

premier substitue à l'énoncé concret des énoncés de plus en plus abstraits; chacun de ces énoncés est en réalité celui d'un nouveau problème, plus général que le précédent, mais qui ne représente qu'une partie de l'énoncé de ce dernier : la pro-gression vers l'énoncé le plus abstrait se fait par l'abandon progressif de conditions propres au problème technique considéré. Le second de ces cheminements de la pensée a pour point de départ la solution, généralement formelle, du problème abstrait et il consiste à en déduire, progressivement, des solutions numériques des problèmes que l'on a formulés au cours de la montée vers l'abstraction. Enfin, ces deux cheminements inverses de la pensée sont reliés par le raisonnement mathématique comme par une passerelle — nous retiendrons ce terme pour sa commodité (1). »

Il e s t fréquent que plusieurs problèmes concrets puissent être représentés par les mêmes symboles, par exemple qu'ils conduisent au même énoncé analytique. Ces problèmes cons-tituent une famille de problèmes. On peut en schématiser la structure comme suit (fig. 2). « Les mathématiciens, dès longtemps, ont construit des groupements de problèmes, dont la solution analytique s'obtient par un pro-cessus mental du même genre que ceux que nous venons de voir. Par exemple (fig. 3) les

pro-Logiqus» mathématique

Figure 2

Figure 3

blêmes A15 A2, A3, A4 seront résolus par des

cheminements passant par les points B et B', ou C et C'; il peut même exister une théorie générale plus abstraite schématisée en D et D ' ,

(1) L. Coufflgnal : Rôle du calcul numérique dans

la recherche scientifique et technique. Colloque sur

et de D ' une solution directe peut conduire en

A ' A ' A ' A '

Si. Si. 2, si 3, si. 4.

« Mais il est bien d'autres choses dans les mathématiques. On a imaginé des théories telles que E, F, qui ne sont issues d'aucun pro-blème concret et qui dépendent cependant de la théorie plus abstraite D. Ce sont en quelque sorte des outils préparés par avance pour des t r a v a u x que l'on n'a jamais encore demandés. « Voici inversement, en D" ou en K, K ' des conséquences de la théorie D qui ne se prêtent pas au calcul numérique. Peut-être le pourront-elles un jour. Pour le moment, toutefois, reste en suspens le retour de ces théories abstraites vers le sol, où le technicien fabrique des objets matériels; c'est ce que marquent les points d'interrogation.

« Les théories telles que D, Gl5 G2, s'élèvent

toutes, par des cheminements parfois assez longs, vers la logique mathématique et la topo-logie qui sont le couronnement dans l'abstrait de l'édifice mathématique.

« Inversement toutes les mathématiques peuvent s'en déduire. Mais sans même dire que cet énorme travail de déduction n'est pas fait et que bien des chemins tels que L D ' sont encore interrompus par des points d'interro-gation, de tels cheminements sont complète-ment inutiles aux techniciens : D D ' est pour eux une passerelle et il y aurait intérêt à la recher-cher si, connaissant le cheminement D H L D ' , on ne connaissait que celui-là. Bornons-nous à signaler l'existence de développements qui se représenteraient en N, N ' , et qui ne cherchent aucunement à prendre contact avec la réa-lité (2). »

Ces considérations justifient, nous semble-t-il, de faire une place spéciale aux théories mathématiques qui se prêtent, dans des condi-tions praticables, à la résolution de problèmes techniques. Elles se schématisent par des points situés à l'intérieur d'un contour tel que I.

Le terme de mathématiques utilisables paraît

les caractériser exactement. Il ne faut pas les confondre avec les mathématiques appliquées,

théories telles que D", K, K ' , issues de symboles qui représentent des phénomènes naturels, mais dont le retour au concret est encore incer-t a i n ; ce ne sonincer-t pour le momenincer-t que des ques-tions de mathématiques traitées à l'occasion de problèmes techniques; la mécanique ration-nelle, la théorie des séries trigonométriques ou encore celle des équations aux dérivées par-tielles en offrent des exemples nombreux. Nous

(2) Voir note (1).

les schématiserons par des points situés à l'inté-rieur d'iun contour tel que I I . Le reste repré-sente les mathématiques pures.

Il est bien clair que les mathématiques utili-sables, seules, intéressent le technicien dans sa profession : son but est d'obtenir, par les moyens les plus rapides et les plus simples, les résultats concrets dont il a besoin. Nous avons déjà pro-posé de les définir comme suit : les

mathéma-tiques utilisables sont constituées par les théories

qui permettent, dans un délai raisonnable, de

répondre numériquement à une question

numé-riquement posée (3).

Le physicien, dans la recherche de relations formelles entre les symboles représentatifs d'êtres de la nature, n'aur a point scrupule sans doute d'entrer dans le domaine des mathématiques appliquées. Il serait prudent qu'il n'oublie pas qu'il ne pourra qu'à grand-peine faire usage pratiquement des relations ainsi établies.

I I I . — Notons tout de suite que les mathé-matiques utilisables se prêtent t o u t comme les autres parties des mathématiques à des déve-loppements nouveaux, en liaison, par exemple, avec les problèmes nouveaux que peut poser le développement de la technique. Elles ne constituent donc pas un recueil de procédés de résolution de problèmes catalogués, point davan-tage une mathématique nécessairement prélevée sur les mathématiques existantes et qui, assu-jettie aux formes de raisonnement de ces der-nières, serait originellement énucléée; elles sont matières originales, vivantes, où abondent les sujets de recherche. C'est dire que les déve-loppements théoriques doivent y présenter a u t a n t de rigueur qu'ailleurs; on évite seule-ment qu'ils ne s'égarent dans des voies où s'effacerait leur aptitude à l'utilisation. Mais l'on peut penser, par contre, que des recherches méthodiques permettront de construire un sym-bolisme, et des théories mieux adaptées aux besoins de la physique et de la technique que ne le sont les mathématiques construites j u s q u ' à présent.

IV. — Ainsi, la technique demande des mathématiques qui lui soient propres, à la fois dans leur esprit et dans leur nature.

Sera-t-on surpris que la mise en place de ces mathématiques dans l'esprit des élèves ou des étudiants exige une pédagogie particulière?

(3) L. Couffignal, La révolution numérique des

sys-tèmes d'équations linéaires, Revue scientifique,

Essayons de caractériser les traits généraux de cette pédagogie.

41. — Le schéma de la figure 1 suggère les lignes générales d'un cours de mathématiques utilisables, quels que soient son étendue et le niveau auquel il s'élève : il f a u t enseigner par quels symboles on peut représenter les êtres et les phénomènes naturels, quelles relations on peut établir entre ces symboles et quels sym-boles nouveaux la logique permet d'en tirer, enfin décrire les moyens qui permettent de construire des solutions numériques des pro-blèmes qui se posent naturellement.

42. — Tout d'abord, l'étude du symbolisme mathématique doit être particulièrement soignée. Il est d'usage, par exemple, de fonder sur un exemple concret la définition du nombre entier, celle du nombre fractionnaire et celle des nombres relatifs, puis de définir les nombres irrationnels abstraitement, par des coupures ou des suites. Or, les grandeurs physiques sont presque toujours continues, dans l'art de l'in-génieur : à ce dernier, la signification concrète des nombres irrationnels est donc indispensable. Si l'on s'attache à la mettre en évidence, on découvre entre la suite des entiers et la suite des points d'une demi-droite des analogies qui éclairent la notion de valeurs approchées de la mesure d'une grandeur, et le rôle important du calcul graphique; la place que doit occuper la théorie des nombres irrationnels dans les mathé-matiques du technicien se trouve ainsi mieux précisée (4).

On s'aperçoit alors qu'il ne suffit pas d'un exemple introductif pour justifier la création d'une catégorie de symboles mathématiques ou les lois d'association de ces symboles, ainsi que leur adoption par les mathématiques utilisables. Il faut faire une exploration des techniques et des sciences de la nature afin de caractériser physiquement les êtres représentables par un même symbole, êtres dont l'ensemble constitue ce que l'on peut appeler le domaine d'utilisation,

ou brièvement, le domaine de ce symbole. E n parcourant l'histoire des mathématiques depuis le mfiieu du x v i ne _{siècle, où tout ou à}

peu près a été conservé, on constate que seuls ont survécu les symboles ou les notions qui ont trouvé un, domaine d'utilisation en dehors des mathématiques. E t , prenant un exemple plus précis, si les traités de mathématiques s'étaient

(4) J. Loze et L. Couffignal, Le développement de

la notion de nombre, Technique, Art, Science,

janvier 1949.

attachés à définir le domaine de chaque espèce de vecteurs, sans doute Haeviside n'eût-il ja-mais posé cette surprenante question : « Com-ment se fait-il, dit-il un jour, qu'une grandeur physique que l'on représente par un vecteur n'ait pas toutes les propriétés des vecteurs? » Si nous en venons à la pratique de l'enseigne-ment de ces chapitres, l'exploration, faite avec les élèves, du domaine de chaque notion à l'in-térieur du métier, conduit, par exemple, à ces cahiers de géométrie et d'algèbre des débutants (cl. de 4e _{et de 3}e_{), illustrés de modèles en}

réduc-tion où le goût féminin et la finesse d'exécuréduc-tion s'allient à la réflexion attentive sur le sens et la portée d'une notion mathématique. L'expo-sition réalisée par nos collègues en offre plu-sieurs spécimens. On y voit l'élève à la recherche d'exemples, qui ne sont pas toujours les plus typiques, ou les plus beaux, qui n'épuisent pas les applications d'une notion; mais qu'importe, c'est d'avoir fait cet inventaire elle-même qui a contraint l'élève à comprendre la notion abstraite définie par le professeur, et qui fait la valeur pédagogique de cet exercice : l'intérêt qu'y portent les élèves est une garantie du profit qu'elles peuvent y trouver.

43. — A un niveau plus élevé — et c'est pourquoi je ne m'étendrai pas sur ces exem-ples (5) — la recherche de la signification physi-que des intégrales conduit à une définition com-mune, très simple dans sa généralité parce que concrète, des intégrales d'espèces diverses, d'où ressort une classification de leurs propriétés, et plus de méthode dans l'exposé du calcul inté-gral.

De même, l'étude du rôle des équations différentielles dans les mathématiques utili-sables fait ressortir deux observations :

D'abord, combien est importante l'étude des conditions d'existence des solutions selon les conditions aux limites, le problème de Cauchy ne représentant pas, en général, les problèmes techniques que l'on peut ramener à l'intégration d'équations différentielles ;

Ensuite, que, le nombre des équations dont on sait ramener la résolution aux quadratures étant infime, le problème capital est celui de l'intégration numérique approchée.

C'est la double nécessité d'une représentation correcte des phénomènes et du retour au concret, selon les branches ascendante et descen-dante du premier schéma (fig. 1), qui fixe les traits des leçons sur les équations différentielles.

44. — Dans le même esprit, à un niveau moins élevé, le languissant chapitre dit des « problèmes du second degré » devient le point culminant du cours d'algèbre élémentaire. La variété des problèmes concrets, tirés du métier et, de ce fait, vivants, intéressants, parfois même cap-tivants pour les élèves, offre mille occasions de faire réfléchir. Les professeurs de mathématiques des Établissements d'Enseignement technique vont à l'atelier, au laboratoire, en quête d'énon-cés : leur moisson peut être très riche. Ici encore, l'exposition voisine offre quelques exemples de problèmes réellement posés par le métier, et où l'homme de métier a besoin de mathématiques.

Que l'on me permette, au passage, de revenir un instant sur ce point de pédagogie des mathé-matiques qui f u t si discuté naguère, et auquel a été attaché le mot de « trinomite ». Peut-être, dans un enseignement où l'algèbre veut se suffire, est-il bon de réserver quelques chapitres où l'on s'interdise que le mécanisme du calcul ne chasse les possibilités de raisonnement. E n vue de la formation de jeunes techniciens, la question est autre : la mise en équation d'un problème concret à résoudre par l'algèbre, et l'interprétation concrète des solutions et de la discussion a priori, offrent t a n t d'occasions de faire acte d'intelligence, qu'il est sans risque de systématiser cette discussion elle-même : l'al-gèbre est là ce qu'elle est toujours, en dehors des mathématiques pures : un mécanisme de calcul simple et puissant.

45. — Les mathématiques utilisables font, on l'a vu, une large place au calcul numérique.

A tous les niveaux d'enseignement, nous con-sidérons qu'un problème doit être numérique, partiellement ou entièrement; et nous entendons par là, non pas le calcul in fine de la valeur numérique d'une formule, mais un problème où les résultats du calcul sont exprimés en har-monie avec la précision des données, et con-frontés avec bon sens aux conditions techniques d'utilisation des êtres matériels dont ils mesurent quelque grandeur.

Ici encore, la liaison pédagogique des maîtres des diverses disciplines et la visite des mathé-maticiens aux ateliers sont indispensables.

Non seulement le technicien doit calculer avec exactitude et bon sens : il doit encore cal-culer vite. Des exercices de calcul mental, systématiques ou épars parmi les questions posées au long de la leçon y entraînent les élèves de façon permanente.

Disons encore, qu'il faut prendre le terme de calcul numérique au sens large, et y inclure le

calcul graphique, la nomographie, la nomomé-canique et le calcul ménomomé-canique. La connais-sance de ces disciplines est nécessaire aux tech-niciens, et leur développement d'importance capitale pour les diverses techniques et les sciences de la nature.

46. — L'enseignement de la géométrie, enfin autant que celui de l'arithmétique et de l'al-gèbre, est dominé par le souci de donner aux élèves une connaissance profonde des objets du raisonnement.

La géométrie est d'abord pour eux un moyen de mieux connaître et de mieux décrire les formes des objets matériels qu'ils auront à manipuler et à construire. Elle est un chapitre préliminaire à la physique des solides.

Pour les débutants surtout, c'est dans cet esprit que l'enseignement doit être donné. Des modèles matériels y contribuent utilement : dans les Établissements d'Enseignement tech-nique, le professeur de mathématiques se trouve favorisé, il est vrai, car la présence des ateliers lui permet de faire réaliser à peu de frais des modèles originaux bien adaptés à ses leçons : ce sont surtout de tels modèles que l'on peut voir dans la salle voisine.

Mais ce que l'exposition ne peut dire, c'est le plaisir que les élèves ont éprouvé à les construire de leurs mains.

Le professeur est ainsi à même d'appliquer ce principe, qui pénètre toutes les disciplines de l'Enseignement technique : donner une con-naissance expérimentale d'un objet avant d'en faire la théorie.

C'est dans cet esprit qu'a été établi le pro-gramme de la classe de 5e _{des Collèges}

tech-niques. Il comporte l'étude descriptive des figures géométriques usuelles du plan et de l'espace, et de la terminologie qui s'y rattache : l'année suivante, le professeur sera à l'aise pour faire sentir l'insuffisance de l'étude expérimen-tale de ces figures, et susciter le besoin d'une démonstration de leurs propriétés. E n outre, les professeurs des autres disciplines pourront d'emblée faire usage d'un langage correct, précis, définitif.

C'est dans cet esprit encore que les nouveaux programmes des Ecoles nationales d'ingénieurs d'arts et métiers prescrivent que chacune des configurations fondamentales : droite, angle, plan, droites et plans, cercle, sphère, inter-sections, etc...,' soit étudiée simultanément par les méthodes de la géométrie pure (en révision), de la géométrie analytique (cartésienne et vectorielle) et de la géométrie descriptive : l'étudiant aura ainsi une vue d'ensemble

systé-matique des divers moyens de représenter symboliquement les phénomènes géométriques, et de leur domaine d'utilisation usuelle.

Ce premier aspect de la géométrie correspond à la branche montante de notre schéma; les utilisations si diverses de la géométrie dans le calcul numérique correspondent à la branche descendante : les uns et les autres supposent une connaissance étendue des théories géomé-triques et une habileté suffisante à en résoudre les problèmes. C'est donc surtout à l'occasion de l'étude de la géométrie que se formera le sens mathématique des jeunes techniciens. Les grammes y insistent. E t les exemples de pro-blèmes que vous avez pu voir à l'exposition montrent que, à un certain niveau, le souci de la formation professionnelle devient, voudrais-je dire, comme un fond sur lequel prend tout son relief un enseignement de la géométrie absolu-ment rigoureux et voisin de la géométrie clas-sique.

V. — Une dernière remarque se dégage de la nécessité de donner aux jeunes techniciens une formation mathématique particulière, au moyen d'une pédagogie appropriée : la formation des maîtres doit être en harmonie avec celle que leurs élèves doivent recevoir.

Or, il faut le reconnaître, au niveau d'ensei-gnement le plus élevé, la constatation a été faite maintes fois, avec regret, que les élèves des écoles d'ingénieurs ne trouvent pas dans les Facultés des Sciences un enseignement des mathématiques, de la mécanique, souvent même de la physique, et parfois de la chimie, qui les prépare à cette vie d'action, de lutte contre la matière, peut-on dire, qui sera la leur.

L'psprit des maîtres formés par l'Enseigne-ment supérieur pour l'Enseignel'Enseigne-ment du 2e _degré

ne saurait être différent. Les observations de l'Inspection . générale confirment, hélas ! cette prévision.

C'est pourquoi il est nécessaire, dans les

cir-constances présentes, que la formation des maîtres de l'Enseignement technique soit faite dans des établissements particuliers.

C'est pourquoi aussi une adaptation est nécessaire aux maîtres de formation tradi-tionnelle qui entrent dans l'Enseignement tech-nique. Ils trouvent toujours, d'ailleurs, auprès de leurs chefs et de leurs collègues, l'appui et les conseils les plus judicieux et les plus ami-caux.

Aii niveau où cet effort de formation a été le plus intense, pour les maîtres des Centres d'ap-prentissage, l'enseignement des Ecoles normales nationales d'apprentissage et l'entraînement que l'on y donne à l'autocritique — et à l'auto-perfectionnement qui en résulte — sont d'une étonnante efficacité.

J ' a i fait allusion, il y a quelques instants, à la riche moisson d'exemples et de problèmes que le professeur de mathématiques peut recueillir en visitant les ateliers. Notre collègue, M. Bétrema, a créé, pourrait-on dire, une technique de cette cueillette; l'exercice péda-gogique qu'il a imaginé sous la désignation de <( séances de liaison mathématiques-atelier » s'est révélé particulièrement fécond et a pris place parmi les exercices réguHers de l'Ecole normale nationale d'apprentissage de Lyon, où il enseigne la pédagogie des mathématiques. Si vous le voulez bien, il va compléter lui-même, brièvement, cet exposé, en indiquant comment se réalise l'exercice de liaison mathématiques-atelier (6).

L. COUFFIGNAL,

Inspecteur général

de l'Instruction publique.

(6) L'abondance des matières ne nous a pas permis de reproduire ici in extenso l'exposé de M. Bé-trema. On trouvera dans le prochain numéro le compte rendu d'une séance de liaison de

l'ensei-gnement des mathématiques et des t r a v a u x