REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS EN MATHEMATIQUES ET EN PHYSIQUE
Michèle ARTIGUE Université Paris VII
Résumé:
Les représentations graphiques de fonctions qui constituent des objets de connaissance dans l'enseignement des mathématiques, fonctionnent comme outils dans l'enseignement de la physique. Après avoir précisé leur statut dans l'une et l'autre discipline, nous présentons les données issues d'un test "Dérivation-Intégration à vue de graphe" passé par une centaine d'étudiants de prem ière année de DE U G. Puis nous analysons ces données en nous référant aux pratiques d'enseignement.
cette ccnfrontat erl evidence jeu·, clistincts qiJe nous alions es:;ayer ,je cel'ner ici. 11- LES REPRESENTATIONS GRAP~:I0U~S DE FONCTIONS EN P~lYSIQG~
En physique, les représentations grap~iques ne constituent pas § propre~enc parler
un objet d'enseignement. Pa contre, elles fonctionnent CClji~e des outils. A ce tf-tre, l'enseignant attend de ses è1èves certaines compétences. Résumons-les br~ève ment( l) :
a) Savoir donner l'apidernent l'allure des courbes représentatives des fonctions é1e-rnentaires et placer ces cowrbes les unes par rapport aux aut~es- Savoir tracer les
representations 9raphiques de
xHif(x)\ , xHf(x"a) , xHf(x)+d , xhf(a-x) , xl-7f(ax) , x...,afix)
à partir de celle de x,-,f(x; en utilisant translations, SYlT1étri~'s, horn(lthéties,
affinités.
b) Savoir combiner 'lis à 'lis de ces fonctions un langage algébr1~ue, gnphique et verbal. Par exemple
savoir lire une représentation graphique, savoir trouver ll
equation d'une courbe à parti r de quelques ,'enseignements, savoir comparer une fonction donnée par un tableau de valeurs
a
des fonctions de réf~rence simples.c) Savoir déduire d'une repr~:entationgraphique des informations sur les dérivées premiéres et secondes de la fonction qu'elle représente, ses primitives.
d) Pour les représentations paramétriques, savoir distinguer les graphiques corres-pondant aux lois ~oraires de ceux correspondant aux trajectoires, savoir déduire des représentations graphiques des fonctions
u .... x (u) Uh'y(u)
la courbe representant les variations de y en fonction de x et la dater.
e) Pour les fonctions de plusieurs variables, savoir tracer, interpréter et combl-ner les représentations graphiques des fonctions obtenues en fixant certaines des variables.
Netons d'une part que toutes ces comp~tences interviennent dans certains manue1s de l'enseignement secondaire dès le niveau de la seconde, d'autre part que l'ensei-gnant de physique, se posant en utilisateur des représentations graphiques, a ten-dance â estimer que leur développement systématique est l'affaire du professeur ace mathematiques. Qu'en est-il effectivement?
III- ~"s f:EPRC:Sc~;T~TJOI:SGRAPHIQ:JES DE FONCTIONS EN MATHEf1ATlQUES
en
mathématiques, l'apparition des representations graphiques de fonctions comme et jets d'enseignement remonte au siècle dernier pour ce qui concerne les grandes ecoles. Au début du sibclE. cet enseignement slétend aux terminales des lycées. lJens ies p,-ograC",mes de 1970, le terme figure en premier cycle en sixième et ertrnisiè~e et revient comme un leitmotiv i'" long des programmes du second cycle.
Par contre, le rôle que l'on entend faire jouer aux reprèsentations graphiques d"
fonctions y est nettement moins explicite. Le paragraphe le plus conséquent se trouve dans les instructions des classes de terminale. Il y est conseillé d'utili-ser les representGtiors graphiques pour illustrer les concepts de continuité et de tie:"ivabilite et les auteurs precisent aussi "qu'il est indispensable que les
élè-VES d'Jna section Ler~inalesaèhent étudier de façon prompte et sûre des fonctions
60nnees par des expressions simples: quotient de deux fonctions polynomes, fonc-tions circulaires! foncfonc-tions logarithmes et exponentielles, ainsi que des composées. de ces diverses fonctions ..11.
L'analyse des manuels révéle, elle, une conception relativement homogène: les re-presentations graphiques sont concentrées dans les chapitres consacrés aux notions de continuit~, dérivabilité et dans ceux concernant les ètudes de courbes. Dans le premier ca~ ell~servent ~ illustrer le cours, ce en accord avec les instructions du programme, dans le second cas, la reprèsentation graphique est l'ultime étape d'une étude systématiquement menée suivant le programme canonique en sept points (defini~on,continuitè ... ), programme qui permet de passer d'une fonction définie par une expression algèb,-ique
a
sa représentation graphique par l'intermédiaire de l'outil, tableau de variation.Un recensement des exercices et problèmes confirme cet état d'esprit. La plupart obéissent au schema suivant:
- étude d'une fonction définie par une expression algébrique,
Étude précise au voisinage de ql'elques points particuliers (variante fréquente recherche des tangentes passant par un point ou de direction donnée),
- rE~rêsentatio~ graphique,
et, en sus, dans les problèmes récapitulatifs de fin d'annèe, le calcul de l'aire comprise ent'"e la courbe, l'axe des abscisses et deux paralléles à l'axe des
ordon-nées.
La représentation graphique constitue ici l'aboutissement. Il s'agit de condenser dans l'espace clos et contraint du graphe les informations recueillies lors de l'è-tude de la fonction. Ceci s'opère selon un système de codes décrit par J.Rogalski
alors essentieilemc'nt [fJanipulée ccrin1::: ur,e cD'J('be du-dessus de1laxE: des 7:<1 car ote: qui est souvent implicitement er jeu ne concerne pas la fonction proprement dite
mais concerne oe façon dominante la variable".
Notons que ce rôle de résumé de llinfonl1ation est un rôle que jouent 50c~alement de plus en plus les représentations graphiques (pas seulement les représentations gra-phiques de fonctions). Leur succés peut s'expliquer par leurs capacités effectives de condensation visuelle de l'information, mais ces mêmes caractéristiques visuelles leur conférent une apparence de transparence dont il importe de ne pas être duce (cf Janvier-1978) .
Au début de llensEignement supérieur, pour autant que lion puisse en juger en lia=:-sence d1études systémetiques, il ne semble pas qu'il y ait rupture du statut des rE-présentations graphiques dans ,lenseignement des mathémôtiques. L10bjet dlenseigr.e-ment s'enrichit des courbes paramétrées, des courbes définies en coordonnées polai-res. Les méthodes d1étude reproduisent fidèlement celles r::ises en place dans l'en-seignement secondairE. Les courbes dèfinies par une équation implicite, qui se
Drê-tent mal à une telle adaptation, sont trés peu abordées au niveau du DEUG. On peut d'dineurs se demander en quoi cette extension de l'objet d'enseignement est la ré-ponse à des besoins d'utilisation précis. Ne serait-elle pas tout autant une réocmse aux phénoménes d'obsolescence du savoir analysés par O.Schneider (1979) ?
Quoi qu'il en soit, il r'essort de ce qui pl"écède oue les représent3tions grapniques de fonctions, au niveau de llenseignement mathêmatique(2) fonctionnent peu comfne des outils dont la validité serait reconnue et l'efficacité exploitée. leurs statuts en
mathêmatiques et en p~ysique sont donc l-§solument distincts. IV- TESTS SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS
Nous avons fait passer à des éléves de terminale C et de DEUG SSM première année, un certain nombre de tests visant à déterminer dans quelle mesure ils maîtrisaient les compétences a et c citées au paragraphe Il (Artigue-Szwed-1982). Ces tests Gui se voulaient exploratoires n'ont concernê qu'une population réduite mais les résul-tats en sont néanmoins percutants. ~Jous ne présenterons ici que 1'2 te~t Hdérivation
intégration à vue de graphe" passé par 89 étudiants de DEUG. IV-) Enoncé du test
Pour l a fonction f dOllt le gr'aphe figure à la PçlJe suivante~ on demandait: "Er quels points f est-e~le dè~ivable. d0riva dl-aite) dêrivable ~ gauche? DonnC:')~lialiure du graphe de fI
Donner l'allurE:' du graphe L1E 12 L:Hlction
11
aiEnt url statlJt :iiff&rent. ~ent iJOst§ricur au deug.
au
IV-2 ; Résultats
-79 étudiants ont abordé le tracé de la dérivée et 75 l'ont terminé; 35 ont abordé celui de l'intégral e et 29 l'ont achevé.
On a les répartitions suivantes ; a) Dérivation;
- Intervalle J-4,2C
III
La classe 1 correspond aux tracés corrects. Nous avons distingué deux catégories dans les tracés incorrects en séparant (classe II) ceux pour lesquels l'erreur se situe uniquement dans un mauvais positionnement de l 'horizontale sur J-4,-2[ .
- Intervalle] 2,5 [
77%
Ici encore, la classe 1 correspond aux tracés corrects et pour la classe II, l'in-correction porte uniquement sur les valeurs de f'(3) et f'(5).
g
Plus précisément, si l'on procède par éliminations successives en suivant la hiérar-chie de critères ci-dessous, on obtient, en nombre d'étudiants, la suite décroissan-te suivandécroissan-te ;
Signe de f-'---)(63~Sensde variation de f~>(47)->Sautde 1 en x~2~(31HConcavité de f'--->(23)-'lValeurs en 3 et 5~10)
b) Intégration Globalement on a ;
La classe 1 représentant les tracés corrects et la classe II les tracés incorrects achevés. Et, en considérant uniquement les 29 tracés achevés, on a sur l'intervalle
[-2,+2J
La classe 1 correspondant toujours aux tracés corrects, tandis que les tracés de la
classe II sont affines sur [-2,+21 sans respecter la pente. Ces résultats correspondent à l'élimination successive suivante
Tracé continu de g-.>(16)-> Sens de variation de g-?(9)---f'ente SUI' [-2,+2J·->(6)-7
Valeur de g(-2)-?(3) IV-3 : Commentaires
Les pourcentages de réussite sont, dans l'un et l'autre cas, trés faibles et les résultats montrent que seules les parties affines des graphes sont à peu prés con-venablement traitées (avec un net avantage à la dérivation sur l'intégration]. ~e plus, on note chez les étudiants une tendance très nette à se réfugier dans des procédures algébriques très peu intègrent ou dérivent réellement à vue de graphe la procédure majoritaire consiste à utiliser le graphique pour déterminer une ex-pression algébrique de la fonction sur chaque tronçon, puis i travailler exclusi-vement sur les expressions obtenues.
Ceci explique le faible pourcentage de tracés de l'intégrale (le calcul des primi-tives étant beaucoup moins ma'trisé que celui des dérivées) et le nombre de tracés discontinus (beaucoup d'étudiants oubliant, par' exemple, de comptabiliser les aires partielles déjà calculées),
De plus, dans les cas fréquents de conflit entre les données numériques calculées et les données graphiques, rien sur les copies ne pennet d i~fé(er que le conflit potentiel ait été actualisé. Tout se passe comme si, une fOlS 1.- relais pris par
les procédures algébriques, 'e graphe était occulté.
Mais ceci n'est-il pas simplement le reflet d'un enseignement oL les procédul'es a'i-gébriques ont le monopole de la rigueur et 00 les représentations graphiques de fonctions sont enfennées dans un statut qui les nie comme outils?
V- CONCLUSION
Nous avons essayé de mettre en évidence les différences de statut des représenta-tions graphiques de foncreprésenta-tions existant entre l'enseignement des mathématiques et ce-lui de la physique, la nécessité de se référer à ces statuts dans toute interpréta-tion des comportements des élèves. Le fait qu'un étudiant puisse jongler avec les
rebroussements de première et de seconde espèce sans savoir reconnaître l'équatior' d'un cercle, paramétrer un segment de droite, tracer le graphe d'une fonction sim-ple sans dérouler in extenso le programme canonique d'étude est peut-être aberrant mais s'inscrit dans un système d'enseignement,
Llanalyse menée permet également de supposer qu1une résorption du ïa~us exist3nt
entre l'objet d'enseignement mathématique et 11 outil des sciences prlJsiq~es ne
pourra se faire par :.m sim~~le replâtrage comme celui lui consisterait} irr:ro-:Ju1 ponctl1ellement dans l'enseignement des iTIathÉITlâ~~qu'2sdes exc ~ces du ~jpe os C:'L<f
~roposés dans les tests. ~lle passe, à mon avis) nécessa-j(2:nEi-i: ;Jôr J'lE ('up-::Jr'~ contrat régissant cet enseignement.
Ceci ouvre à la recher'che en didactique dans ce domaine ,_:2 :~ulti~·1e': ;~'e:·";ç,çCL qu'il s;agisse
- de déterminer, d'ici quelques années, si les modifications intervenues ~ Dartir de 1930 dans les programmes du second cycle(3) ont réellement amené une modifica-tion du statut des représentamodifica-tions graphiques,
- de déterminer, dans une perspective d' ingénérie didactiq0e, les contraintes que devr2.ient satisfaire des situations d'enseigne'lent suscêptibles de modifier ce statut. Nous avons abordé cette question e~piriquementdans le DEUG expérimental de Paris 7
a
travers l'étude qualitative des équations différentielles.BIBLIOGRAPHIE
r'1.Artigue (1982) : "Une expérience de coordination de l'enseignement des mathéma-tiques et de la physique en DEUG SSM" Séminaire de didactique et pédagogie des mathématiques - N" 28 - Publ ications de l'Université de Grenoble
M,Artigue, E,Saltiel, L,Viennot (1980) : "Fonctions et représentations graphiques" Publ ications IREM Pans Sud (réedition 1982)
M,Artigue, T.Szwed (1982) : "Représentations graphiques" Publ ications IREf1 Paris Sud
J,Bertin (1974) : "Sémiologie graphique" Mouton-Gauthier-Villard Paris
C,Janvier (1978) : "The interpretation of complex cartesian graphs representing situations Studies and teaching experiments" Thèse Université de Québec -~~ontrea l
J.Rogalski (1982) : "Les représentations graphiques dans l'enseignement" Cours la deuxiéme école d'été de Didactique des Mathématiques (non publié)
a,Schneider (1979) : "Le passage des équations numériques aux équations paramétri-ques en classe de seconde" Publications de l 'IREM d'Aix-Marseille
(3) Extraits du nouveau programme de seconde:
"Exemples de fonctions introduits par des procédés très divers
- formules explicites, tableaux de données numériques, touches de la calculatrice - états de systèmes physiques, biologiques,.,
Représentations graphiques - Leur exploitation - Fonction définie par une représen-tation graphique.,.
Etude des variations et représentations graphiques des fonctions
x~ax+b , x-,>Ix\ , x~x2 ,x->'f;(, x-71/x
Exemples d'autres études de variation se ramenant à celles-ci (changements d'échel-les, util isation de transformations algébriques et géométriques)","