EXAMENS ET CONCOURS
A propos d'un «Rappel» dans le sujetdu concours d'entrée aux ENSAM en 1980 parJ. MOU/S Fmax - Fmin &=~=--:--:..:..:.:.;.; Fmin
P
= Fmin (1 + & x) (5)Dans le cas d'une charge variant périodiquement, on
obtient:
I
T .(2) pn =
~.
F(t)n .dt T étant la période.o
Si la charge varie linéairement entre deux valeurs, Fmin et Fmax, en prenant l'origine des dates à l'instant où F = Fmin, et en posant F = Fmin (1 + &t/T) , avec & = (Fmax - Fmin)/Fmin, on obtient, en prenant F comme variable d'intégration:
pn =
-.!....-
f
Fmax Fn . dF &.Fmin F . min F (n+l) F (lJ+l) (3) pn = max - min (n+l) . (Fmax - Fmin)Telle est bien l'expression exacte de la charge équi-valente, parfois appelée charge moyenne pondérée, dans les hypothèses spécifiées dans le,«rappel»,
Or ce n'est pas cette expression qui est donnée aux candidats, mais une autre qui ne lui est pas équivalente. La formule donnée fait-elle alors appel à une autre théo-rie? Ou bien est-ce une approximation, jugée plus pratique du résuItat précédent?
On peut chercher à simplifier l'expression (3) en la mettant sous la forme :
Fmax - Fmin
(4) p = Fmin (1 + x . )
Fmin
Avec les mêmes notations, l'expression(3) devient: F '1 (1 +O.)n+l - 1 pn = min (n+l) & Fmin n+l
!
_ .r(
1+&)- 1 ] riP -
Fmln (n+l) & ou.enposant: soit: (6)c·n
L =(-) P avec, pour les roulements à billes n =3
10 et, pour les roulements à rouleaux n =
"3 .
La formulation d'un sujet d'examen ou de concours est toujours une affaire délicate. Chacun sait qu'il est bien difficile d'arriver à un résultat qui soit à l'abri de toute critique. Le sujet du concours d'entrée aux ENSAM en 1980 n'échappe pas à cette règle, en dépit du soin qu'y ont apporté ses auteurs, et un point en particulier semble appeler quelques remarques, il s'agit d'une note dans une page de documentation (figure 06), dont la formulation est la suivante:
«
RAPPEL:Lorsque la charge appliquéeà un roulement varie linéaire-ment sa valeur moyenne se calcule par la formule:
Fmin + 2 Fmax 3
La question 1.2. qui renvoie à cette figure concerne le galet d'appui qui commande le déplacement du piston plongeur de la pompe doseuse étudiée. On y demande, en particulier, de déterminer la représentation graphique de la variation, en fonction du temps, de l'effort radial sur le roulement de ce galet; de substituer ensuite à ce graphe une <digne brisée» de six segments par cycle (il s'agit en effet d'une fonction périodique), et enfin, «en utilisant cette approximation» de «calculer la charge moyenne supportée par le roulement du galet d'appui (voir figure
06»>.
Justification théorique de la formule proposée.
Il convient d'abord de comprendre le résultat que l'on «rappelle» aux candidats.
La théorie généralement admise pour le calcul des roulements est fondée sur l'hypothèse que la détériora-tion desroulements.est un phénomène progressif et cumu-latif, au moins statistiquement, et qui dépend de la charge supportée par le roulement et du nombre de tours
effec-tués sous cette charge. _
On sait que, sous une charge P constante, la durée nominale (en millions de tours) d'un roulement de capacité dynamique C est: t : date F(t) :charge en fonction du temps to : durée de fonctionne-ment.
Si la charge varie, on peut déterminer une charge, équi-valente en ce qui concerne la durée du roulement, qui est Ptelle que:
(1)
ft
opn =
l
F(t)n.dt to 0En identifiant les expression(5)et(6),on trouve: (1+&)n+l. 1 1 x= ~--"----(n+l) &n+l & 1 [ 1 n+l 1
1
1/n x=(n+l)l/n (&+1) -&n+l 1 &13
Or & peut varier de 0 (lorsque Fmax = Fmin, F étant
c~nstant)à l'infini (lorsque Fmin tend vers 0, Fmax étant
différent de0). .
Le paramètre x est une fonction uniformément crois-sante de
&
(Pour le vérifier, on peut poser..!.= r, et étudierdx
&
d ; c'est une fonction uniformément croissante de r qui
r . . (n+l)l-1/n. .
vans
de. n qUI est négatifà 0quand r varie de 0'àl'infini: .:; est donc toujours négatif; x est une fonction
'uniformément décroissante de r donc une fonction
uniformément croissante de &=1.).
r
Quand & tend vers 0, on trouve que x tend vers 1/2et
quand
&
tend vers l'infini, x tend vers:1 lIn ( n+l)
1 lIn Donc,v
&
e
[0,co[ ;
1/2~x<
1.
nt
Soit, si n = 3 (billes) : 0,5~x
<
0,,63si n =1013 (rouleaux) : 0,5~x
<
0,642.Si l'on cherche une formule approchée qui ne risque
pas de conduireà surestimer la duréè de vie probable d'un
roulement, on doit retenir une formule qui majore la charge équivalente soit, dans le cas où n = 10/3
P Fmin
+
0,642 (F max - Fmin)P 0,358. Fmin
+
0,642. FmaxLa formule du texte est plus approximative et réserve une marge de sécurité plus importante en adoptant des coefficients plus simples. C'est dire aussi par conséquent que ses résultats sont moins précis. La formule donnée par le catalogue Timken :
F = Fmin
+
0,645 (F max - Fmin)est un peu plus stricte.
Critiquedela formulation du sujet.
L'expression fournie aux candidats n'est donc en
elle-même pas critiquable. Ce que l'on peut regretter est
la façon dont elle a été présentée qui procède, pour employer de grands mots, d'un abus d'autorité, d'un abus de langage, et d'un manque de précision.
Un abus d'autorité. La formule proposée figure certes dans le catalogue SKF mais on ne la trouve ni dans les ouvrages destinés au niveau de nos élèves que sont : «Construction Mécanique» de Géminard et Gros La Faige,
«Éléments
de construction» (tome 3) de Prudhomme, Tourancheau et Kergoat, «Ëléments de : machines» de Nicolet et Trottet ou «Ëléments de machines» de Dobro-volski et collectif, non plus que dans les catalogues SNR (qui donne en revanche la formule exacte (3) ou dans le catalogue TIMKEN qui propose une formule approchée:P = Fmin
+
0,645 (Fmax - Fmin).14
S'agissant d'une formule finalement très approximative utilisée en lieu et place d'une formule d'utilisation assez simple qu'on aurait pu tout aussi bien rappeler aux élèves, il ne semble pas qu'il y ait nécessairement lieu de la
faire
apprendre aux étudiants, ni même nécessairement de la leur signaler,Que l'auteur du sujet l'utilise, c'est une option, parmi d'autres: elle a l'avantage de la simplicité sinon de l'exac-titude. La présenter comme un rappel constitue
cepen-dant un abus d'autorité car cela semble imposerà tous de
l'adopter'. .
Un abus delang~ge. La formule proposée est présentée comme donnant la valeur moyenne, et non comme une approximation majorante de cette valeur moyenne. En contradiction avec ce que les élèves peuvent avoir retenu, elle présente donc de grands risques de semer le trouble dans leurs idées, et de leur faire douter des résultats qu'ils ont retenus, d'autant que son lien avec la formu le théorique n'est tout de même pas évident!
Un manquede précision. Le terme de charge moyenne employé par le sujet n'est pas autrement précisé. Aucune
référence n'est faite à la liaison avec le calcul de durée
du roulement. le candidat pouvait donc .être fondé à se
demander quelle moyenne il allait avoir à calculer, une
fois déterminées les six valeurs moyennes propres à
chaque intervalle de la courbe linéarisée à l'aide de la formu le du texte : moyenne arithmétique ? Moyenne pondérée par l'amplitude des intervalles? Moyenne pon-dérée relative aux puissances n-nième ?.... Et cela d'autant plus que laformule fournie ne correspond pas aux résul-tats théoriques.
Ainsi cet exemple révèle-t-il certains dangers qui guet-tent les auteurs d'un sujet. Il faut se garder de considérer ses propres méthodes, si légitimes qu'elles puissent être, pour universelles, du moins tant qu'elles ne figurent pas explicitement dans le programme de l'examen. Il faut ensuite bien distinguer ce qui est rappel de. connaissances qu'un candidat doit nécessairement avoir étudiées, mais dont on estime inutile qu'il les mémorise, et une informa-tion qu'on lui apporte, un mode de calcul ou une formule empirique ou approchée qu'on lui propose.
Il peut sembler disproportionné d'épiloguer si longue-ment sur un point aussi limité d'un sujet, point qui au demeurant n'a probablement pas eu bien souvent un poids déterminant dans la notation. Mais, outre l'intérêt
qu'il pouvait y avoir à retrouver la justification d'une
for-mule a priori déconcertante, il faut garder présent à
l'esprit qu'un candidat peut se trouver décontenancé, troublé, et par conséquent amoindri, un jour de concours par une telle apparente contradiction et surtout, que ce sont les candidats qui réfléchissent le mieux et qui possè-dent le mieux leur cours qui risquent le plus d'en souffrir.
J.
MOUISProfesseur de Math. Spé. T. Grenoble
