IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ ann´ee TD de math´ematiques n◦ 12
TD n
◦12. Suites R´
ecurrentes.
Exercice 1 L’objectif de cet exercice est d’´etudier les suites r´ecurrentes v´erifiant la relation
un+1=
r un+ 1
2 .
On va voir que le comportement de ce type de suites d´epend du premier terme u0. Remarquons
que du fait de la racine carr´ee, tous les termes sont positifs, quelque soit u0>0.
1. ´Etude de [x 7→ 1 2x
2]
(a) ´Etudier et tracer la courbe de la fonction "
f : x 7→r x + 12 #
. (On travaillera unique-ment avec x > 0).
(b) Pour quelles valeurs de x a-t-on f (x) < 1 ? f (x) = 1 ? f (x) > 1 ? 2. Quelques exemples
(a) Tracer sur le graphe de f la droite d’´equation y = x. (b) Tracer sur le dessin l’´evolution de (un) si u0=
1
2. Que constate-t-on ?
(c) Tracer sur le dessin l’´evolution de (un) si u0= 3
2. Que constate-t-on ?
(d) Que se passe-t-il si u0= 1 ? Retrouver ce r´esultat par le calcul.
3. 0 < u0<1
(a) Montrer par r´ecurrence que si 0 < u0<1, alors un<1 pour tout n.
(b) Montrer que si 0 < u0<1, alors (un) est croissante.
(c) Que peut-on en conclure ? 4. Effectuer le mˆeme travail pour u0>1.
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Exercice 2 Tracer les graphes des suites r´ecurrentes suivantes.
(un) : u0= 4 un+1= 1 √un (vn) : v0= 1, 2 vn+1= 1 v2 n (wn) : w0= 2 wn+1= 1 wn ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 1
