Université Bordeaux M1 CSI, Cryptologie
Mathématiques, Informatique Année 2017 – 2018
FEUILLE D’EXERCICES no3 Chiffrement par flot, LFSR
Exercice 1 – Soit m un entier > 2. On définit une suite “pseudo-aléatoire”
(xi)i>0 à valeurs dans Z/mZ par la donnée de x0 et la relation xi+1 = axi +b où (a, b)∈ (Z/mZ)2. On note0,1, . . . , m−2, m−1, les éléments de Z/mZ. Les premiers termes obtenus sont 13,106,12,83,92.
1) On pose yi = xi+1−xi pour tout i > 0. Montrer que pour tout i > 1, on a yi+1yi−1−yi2 = 0.
2) En déduire m.
3) Trouver les trois termes suivants de la suite(xi)i>0.
Exercice 2– On considère la suite a= (ai)i>0 dont les vingt premiers bits sont : 0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0.
On sait que cette suite provient d’un générateur linéaire (LFSR) et que sa com- plexité linéaire est inférieure ou égale à 6.
1) Déterminer les générateurs possibles. Quelle est la valeur du vingt-et-unième bit de la suite ?
2) Quelles sont la complexité linéaire et la période de cette suite ?
Exercice 3 – On considère la récurrence linéaire sur F2
ai =ai−2+ai−4+ai−5+ai−6 pour i>6.
On suppose que la graine (le vecteur initial) est non nulle. Quelle est la période de la suite (ai)i>0?
Exercice 4 – On considère la suite a périodique de période 3 a= 101101101. . .
et la suite b périodique de période 7
b= 001011100101110010111. . .
Soit z =a+b. Trouver la récurrence linéaire la plus courte satisfaite par z.
Exercice 5 – Soient (si)i>0 et(ti)i>0 deux MLS de complexités linéaires respec- tives k etl aveck 6=l. La suite (si+ti)i>0 peut-elle être une MLS ?
Exercice 6 – On considère une récurrence linéaire de la forme : ai =h7ai−1+h6ai−2 +· · ·+h0ai−8 pour i>8.
Si le polynôme h(X) = X8+h7X7+· · ·+h1X+h0 est irréductible, quelles sont les périodes possibles de la suite (ai)?
Exercice 7– On se propose de démontrer le lemme admis en cours : si(si)i>0 est une suite périodique (non nulle) engendrée par un LFSR et de complexité linéaire k alors pour toutm >0, la matrice
M =
sm sm+1 · · · sm+k−1 sm+1 sm+2 · · · sm+k
... ... ... sm+k−1 sm+k · · · sm+2k−2
∈Mk(F2)
est inversible.
La suite (si)i>0 obéit donc à une relation de récurrence linéaire (1) si+k =ak−1si+k−1+· · ·+a1si+1+a0si pour tout i>0.
On va raisonner par l’absurde. Notons V0, V1, . . . , Vk−1 les vecteurs lignes (ou colonnes) de la matrice M et supposons qu’ils soient liés. Notons h le plus petit indice tel que V0, V1, . . . , Vh soient liés. On a donc06h6k−1.
1) Traiter le cas k = 1.
2)On suppose désormaisk>2. Montrer queh>1et qu’il existe(α0, α1, . . . , αh−1)∈ Fh2 différent de (0,0, . . . ,0) tel que
Vh =
h−1
X
j=0
αjVj. 3) Montrer que pour tout06i6k−1on a
sm+h+i =
h−1
X
j=0
αjsm+j+i.
4) Montrer, en utilisant (1), que cette relation est encore vraie pour i = k et même pour tout i>k.
5) En déduire qu’à partir d’un certain rang(si)i>0 obéit à une relation de récur- rence linéaire de longueur < k.
6) Expliquer en quoi cela constitue une contradiction et conclure.
