Combinaison incohérente de faisceaux pour les
systèmes laser multi-kilowatt
Mémoire
Pier-Luc Fortin
Maîtrise en génie électrique
Maître ès sciences (M.Sc.)
Résumé
Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur le développement de combinateurs de signal permettant de réaliser la combinaison incohérente de lasers à fibre monomodes de haute puis-sance. L’objectif principal est de comprendre l’influence des différents paramètres de concep-tion d’un combinateur sur le facteur de qualité de faisceau obtenu à sa sortie.
D’abord, une première section aborde la propagation des faisceaux laser en espace libre. On y présente comment calculer le facteur de qualité de faisceau en fonction d’un profil de champ électrique donné. Une seconde section s’attarde ensuite aux fibres optiques et introduit les prin-cipales notions nécessaires à la compréhension de ces travaux. Une troisième section porte sur l’utilisation de fibres optiques effilées en tant qu’adaptateurs modaux. On y expose comment faire varier les propriétés des modes en utilisant des composants effilés. L’analyse théorique des combinateurs de signal est ensuite effectuée. Des simulations numériques sont réalisées afin de déterminer l’influence des principaux paramètres de conception sur la qualité de fais-ceau obtenue en sortie d’un combinateur. Le facteur de rétrécissement des fibres optiques, la longueur de la zone de rétrécissement et les propriétés de la fibre multimode utilisée sont analysés en détail. La valeur optimale de chacun de ces paramètres est déterminée pour le cas où 7 fibres de type (15-125-0.10) sont utilisées pour former le combinateur. Il est démontré que la limite théorique de qualité de faisceau d’une telle configuration est de M2 = 2.8. Une
dernière section porte sur la fabrication de combinateurs de signal en laboratoire. Une série de combinateurs à 7 fibres d’entrée dont le facteur de qualité de faisceau moyen est de M2 = 3.95
a été fabriquée. Ces combinateurs sont caractérisés par des pertes d’insertion situées entre 0.9% et 1.3 % et leurs propriétés thermiques démontrent qu’ils pourraient être utilisés pour combiner une puissance totale de 6 kW.
Table des matières
Résumé iii
Table des matières iv
Liste des tableaux vi
Liste des figures vii
Remerciements xiii
Introduction 1
1 Caractérisation des faisceaux laser et propagation en espace libre 9
1.1 Caractérisation d’un faisceau laser par la méthode des moments . . . 10
1.2 Méthode de mesure expérimentale des moments de second ordre . . . 23
1.3 Conclusion . . . 25
2 La fibre optique 27 2.1 La fibre optique à saut d’indice . . . 27
2.2 Équation caractéristique des modes . . . 29
2.3 Classification des modes . . . 32
2.4 Coupure et confinement des modes . . . 35
2.5 Excitation des modes dans une fibre optique . . . 37
2.6 La fibre optique effilée . . . 40
2.7 Relation entre les modes et le facteur de qualité de faisceau . . . 42
2.8 Conclusion . . . 47
3 La fibre optique effilée en tant qu’adaptateur modal 49 3.1 Évolution des modes à l’intérieur d’une fibre optique effilée. . . 51
3.2 Utilisation de fibres optiques effilées en tant qu’adaptateur modal . . . 54
3.3 Conclusion . . . 60
4 Analyse théorique et optimisation d’un combinateur de signal incohérent 63 4.1 Théorie des supermodes . . . 65
4.2 Modélisation et simulation d’un combinateur de signal . . . 71
4.3 Optimisation du facteur de rétrécissement . . . 76
4.4 Optimisation de la longueur . . . 80
4.5 Propriétés de la fibre multimode . . . 83
4.6 Discussion . . . 89 iv
4.7 Conclusion . . . 90
5 Résultats expérimentaux 93 5.1 Choix des paramètres de fabrication . . . 93
5.2 Méthode et données de fabrication . . . 97
5.3 Propriétés du faisceau en sortie des combinateurs . . . 102
5.4 Pertes d’insertion . . . 108
5.5 Performances thermiques. . . 111
5.6 Conclusion . . . 116
Conclusion 119 Bibliographie 127 A Matrices ABCD tensorielles 135 B Classification des faisceaux 137 B.1 Faisceau stigmatique . . . 137
B.2 Faisceau astigmatique simple . . . 138
B.3 Faisceau astigmatique général . . . 140
C Définition des paramètres de simulation dans FIMMWAVE 141 C.1 Conditions d’excitation du combinateur et approche incohérente. . . 141
Liste des tableaux
0.1 Résumé des résultats rapportés dans la littérature concernant les combinateurs
incohérents tout-fibre. . . 6
1.1 Paramètres de la propagation d’un faisceau en espace libre donnés en fonction
des moments de second ordre. . . 20
5.1 Résumé des paramètres de conception sélectionnés pour la fabrication des
com-binateurs de signal et comparaison avec les recommandations théoriques. . . 97
5.2 Facteurs de qualité de faisceau obtenus en sortie des combinateurs de signal de
la série A et de la série B. . . 104
5.3 Pertes d’insertion mesurées pour chacun des six ports de périphérie présents en
entrée de différents combinateurs de la série A. . . 110
5.4 Élévations thermiques (°C) prédites pour une puissance injectée de 6 kW au niveau de l’ensemble de fibres effilées et de l’extracteur des modes de gaine. Les
tirets signifient qu’aucune élévation thermique n’a été mesurée. . . 115
C.1 Paramètres sélectionnés pour le solveur de modes et le propagateur EME afin
d’effectuer les simulations numériques. . . 146
Liste des figures
0.1 Exemple de combinaison incohérente de six lasers à fibre monomodes émettant chacun une puissance de 1 kW. À l’aide d’un combinateur de signal tout-fibre, il est possible d’additionner la puissance de chacun des lasers afin d’obtenir une
puissance résultante de 6 kW à l’intérieur d’une fibre optique multimode.. . . . 4
1.1 Illustration de la propagation des moments de premier ordre à travers un
sys-tème optique quelconque caractérisé par une matrice ABCD. . . 13
1.2 Illustration des axes principaux xp et yp de la distribution de densité de puis-sance dans le plan transverse. L’axe xp est pivoté d’un angle φ par rapport à
l’axe de laboratoire x. . . 15
1.3 Illustration des axes principaux νxpet νypde la distribution de densité de puis-sance en champ lointain. L’axe νxpest pivotés d’un angle φF par rapport à l’axe
νx. . . 17 1.4 Illustration des principaux paramètres physiques définissant la propagation d’un
faisceau en espace libre. . . 20
1.5 Comparaison entre le comportement d’un faisceau gaussien (M2 = 1) et d’un faisceau réel (M2 > 1) lors de leur propagation en espace libre (a) Lorsque les faisceaux ont le même diamètre à l’étranglement, le faisceau réel a une divergence plus élevée que le faisceau gaussien (b) Lorsque la divergence des faisceaux est la même, le diamètre à l’étranglement est plus élevé pour le faisceau
réel que pour le faisceau gaussien.. . . 22
1.6 Illustration de la technique de mesure des trois moments spatiaux de second
ordre en fonction de la position le long de l’axe de propagation. . . 24
2.1 (a) Coupe transverse d’une fibre optique à saut d’indice (b) Profil d’indice de
réfraction correspondant. . . 28
2.2 Illustration du cône d’acceptance du cœur d’une fibre optique à saut d’indice. . 28
2.3 Illustration des composantes transverses du champ électrique du mode TE01
(gauche) et du mode TM01 (droite). . . 33 2.4 Illustration des composantes transverses du champ électrique des modes
hy-brides HEa
11 et HEb11 (haut) et HEa21 et HEb21 (bas). . . 34 2.5 (a)Solutions à l’équation caractéristique 2.15 pour les 12 premiers modes d’une
fibre optique en fonction de la fréquence normalisée V (b) Facteur de confine-ment η des 12 premiers modes d’une fibre optique en fonction de la fréquence normalisée V (Figures tirées de Optical Waveguide Theory, A.W. Snyder et J.D.
Love, 1983) . . . 36
2.6 Fibres optiques effilées obtenues par l’étirement contrôlé d’une fibre optique à
2.7 Évolution du facteur de qualité de faisceau M2
ef f pour les 15 premiers modes calculés dans une fibre optique multimode. Les modes sont classés par ordre décroissant de leurs indices effectifs. La fibre multimode utilisée pour les calculs
est une fibre (95-200-0.22).. . . 43
2.8 Évolution du facteur de qualité de faisceau M2
ef f pour les 600 premiers modes calculés dans une fibre optique multimode. Les modes sont classés par ordre décroissant de leurs indices effectifs. La fibre multimode utilisée pour les calculs
est une fibre (95-200-0.22).. . . 44
2.9 Délai de groupe des 30 premiers modes d’une fibre multimode en fonction du diamètre du cœur de celle-ci pour une distance de propagation de 10 mètres.
L’ouverture numérique de la fibre est maintenue constante à 0.22. . . 46
3.1 Évolution du diamètre du mode fondamental en fonction des dimensions (a) d’une fibre hautement multimode (100-250-0.22) et (b) d’une fibre monomode (8-200 0.10). Le facteur de rétrécissement maximal est de 10 dans les deux cas. Une double échelle est utilisée afin de représenter simultanément le diamètre du
cœur et de la gaine des fibres optiques effilées. . . 52
3.2 Évolution du profil du mode fondamental lorsque les dimensions d’une fibre
8-200-0.10 sont réduites jusqu’à un facteur de rétrécissement de 10. . . 52
3.3 Évolution de l’indice effectif du mode fondamental (en bleu) et de quelques modes d’ordre supérieur (en noir) à l’intérieur d’une fibre optique effilée. La fibre optique initiale a un diamètre de cœur de 8 µm, un diamètre de gaine de 200 µm et une ouverture numérique de 0.10. Les lignes rouges indiquent les indices de réfraction du cœur et de la gaine. Encore ici, l’utilisation d’une double échelle permet de visualiser simultanément le diamètre du cœur et de la gaine
de la fibre effilée. . . 53
3.4 Soudure entre une fibre monomode (8-200-0.10) effilée et une fibre multimode où le cœur de la fibre multimode est égal au diamètre de sortie de la fibre effilée. (a) La fibre monomode est réduite d’un facteur 5 et soudée avec une fibre multimode ayant un cœur de 40 µm. (b) La fibre monomode est réduite
d’un facteur 2.5 et soudée avec une fibre multimode ayant un cœur de 80 µm. . 56
3.5 Fraction de la puissance transférée dans les différents modes d’une fibre mul-timode en fonction du diamètre de la gaine d’une fibre effilée 8-200-0.10. Le diamètre du cœur de la fibre multimode est toujours maintenu égal au diamètre
de la gaine de la fibre monomode.. . . 57
3.6 Deux façon de faire passer la puissance d’une fibre monomode 8-200-0.10 vers une fibre multimode 100-250-0.22.(a) Configuration optimale utilisant un adap-tateur modal à deux étages et permettant de minimiser la perte de cohérence spatiale. (b) Mauvaise configuration induisant une forte dégradation de
cohé-rence spatiale.. . . 58
3.7 Fraction de la puissance contenue dans les différents modes à la sortie des fibres effilées présentées à la figure 3.6a en fonction de leur longueur. (a) Fibre 8-200-0.10 réduite d’un facteur de 5. (b) Fibre 100-250-0.22 réduite d’un facteur de
2.5.. . . 60
4.1 Schéma d’un combinateur de signal. . . 63 viii
4.2 (a) Supermodes supportés par une fibre multi-cœur formée de sept cœurs mono-modes. (b) Premiers modes de gaine calculés pour la même structure. Le guide d’onde considéré a un diamètre de 100 µm et comprend sept cœurs ayant un
diamètre de 4.5 µm et une ouverture numérique de 0.10. . . 66
4.3 Schéma de la fibre multi-cœur utilisée pour simuler l’évolution des supermodes
dans un guide d’onde dont les dimensions sont réduites. . . 67
4.4 Indices effectifs des supermodes supportés par la fibre multi-cœur représentée à la figure 4.3. Les six ensembles de supermodes issus des six modes initialement supportés par les cœurs sont identifiés. La courbe en bleu met en évidence
l’ensemble de supermodes issus du mode HE11. . . 68 4.5 Agrandissement de la zone où il y a levée de dégénérescence des indices effectifs
des supermodes de l’ensemble 1. La correspondance entre les supermodes et les
modes supportés par un guide d’onde circulaire est indiquée.. . . 70
4.6 (a) Fenêtre de calcul devant être utilisée afin de modéliser l’entrée du combina-teur sans approximation. (b) Approximation de la zone d’intérêt de l’ensemble de fibres effilées. La fenêtre de calcul utilisée peut être réduite pour maintenant
prendre une valeur >100 µm. . . 73
4.7 Arrondissement progressif de l’ensemble de fibres optiques formant le combi-nateur lorsque le niveau de rétrécissement augmente. Le cas de droite illustre
l’approximation d’une fibre multi-cœur utilisée. . . 74
4.8 Représentation des itérations réalisées afin de procéder à l’optimisation du fac-teur de rétrécissement. Le diamètre du cœur de la fibre multimode est toujours
maintenu égal au diamètre de sortie de l’ensemble de fibres effilées. . . 77
4.9 (a) Fraction de la puissance transférée vers les sept modes inférieurs de la fibre multimode en fonction du diamètre final de l’ensemble de fibres effilées. (b) Facteur de qualité de faisceau effectif pondéré M2
ef f en fonction du diamètre
final de l’ensemble de fibres effilées. . . 78
4.10 Deux façon de combiner la puissance à l’intérieur d’une fibre de sortie multi-mode 100-200-0.22 (a) Configuration optimale utilisant le concept d’adaptation modale à deux étages et permettant de minimiser la dégradation de qualité de faisceau. (b) Mauvaise configuration induisant une forte dégradation de qualité
de faisceau. . . 80
4.11 (a) Schéma des simulations permettant de déterminer la fraction de la puissance contenue dans les sept supermodes en sortie de l’ensemble de fibres effilées en fonction de la longueur de celui-ci. (b) Schéma des simulations permettant de déterminer le facteur de qualité de faisceau effectif pondéré M2
ef f en fonction
de la longueur de l’ensemble de fibres effilées. . . 81
4.12 (a) Fraction de la puissance contenue dans les sept supermodes à la sortie de l’ensemble de fibres effilées en fonction de la longueur. (b) Facteur de qualité de faisceau effectif pondéré M2
ef f à la sortie d’une fibre multimode 40-200-0.22
4.13 (a) Exemple d’un cas où l’ensemble de fibres effilées recouvre exclusivement le cœur de la fibre multimode. Le diamètre du cœur de la fibre multimode étant plus grand que le diamètre à la sortie de l’ensemble de fibres effilées, le champ électrique peut être décomposé selon les nombreux modes guidés par le cœur. (b) Exemple d’un cas où l’ensemble de fibres effilées recouvre le cœur et une partie de la gaine de la fibre multimode. Le diamètre du cœur de la fibre multimode étant plus petit que le diamètre à la sortie de l’ensemble de fibres effilées, la décomposition du champ électrique nécessite la contribution des modes de cœur
et des modes de gaine. . . 85
4.14 (a) Fraction de la puissance transférée vers les sept modes inférieurs d’une fibre multimode en fonction du diamètre du cœur de celle-ci. (b) Facteur de qualité de faisceau effectif pondéré M2
ef f en fonction du diamètre du cœur d’une fibre
multimode. . . 86
4.15 (a) Fraction de la puissance transférée dans les sept modes inférieurs de la fibre multimode en fonction de l’ouverture numérique de celle-ci. (b) Facteur de qualité de faisceau effectif pondéré M2
ef f à la sortie de la fibre multimode en
fonction de l’ouverture numérique de celle-ci. . . 88
5.1 Illustration de la méthode d’enroulement utilisée pour maintenir les fibres
op-tiques regroupées. . . 97
5.2 Illustration du processus d’étirement des fibres optiques. . . 98
5.3 Diamètre de l’ensemble de fibres effilées en fonction de la position longitudinale. Ces données ont été obtenues lors de la fabrication d’un combinateur de la série
B. . . 99
5.4 Illustration de la clive réalisée suite à l’étirement des fibres optiques. . . 99
5.5 (a) Illustration de la coupe transverse de l’ensemble de fibres effilées après la réalisation de la clive.(b) Illustration de la coupe transverse d’un ensemble de
fibres effilées lorsque le diamètre de la structure est de 100 µm. . . 100
5.6 Illustration de la soudure entre l’ensemble de fibres effilées et la fibre multimode
de sortie. . . 100
5.7 (a) Illustration d’un alignement typique entre l’ensemble de fibres étirées et la fibre multimode de sortie (56-250-0.22) pour un combinateur de la série A. (b)
Illustration de la soudure résultante. . . 101
5.8 (a) Illustration d’un alignement typique entre l’ensemble de fibres étirées et la fibre multimode de sortie (50-125-0.22) pour un combinateur de la série B. (b)
Illustration de la soudure résultante. . . 102
5.9 Évolution du diamètre du faisceau mesuré à la sortie du combinateur de signal #B10. Les points représentent les données mesurées expérimentalement et la ligne pleine représente la courbe de régression correspondante. Le facteur de qualité de faisceau M2, le rayon de l’étranglement w
0, la position de
l’étrangle-ment z0, la longueur de Rayleigh zR et la divergence Θ sont indiqués.. . . 107 5.10 (a) Illustration de la distribution de densité de puissance I(x, y) à l’étranglement
du faisceau. (b) Illustration de la distribution de densité de puissance I(x, y)
en champ lointain. Ces mesures ont été obtenues pour le composant #A04. . . 107
5.11 Illustration de la méthode de coupure utilisée pour caractériser la perte d’in-sertion d’une des fibres en entrée d’un combinateur de signal. (a) Mesure de la puissance P2 à la sortie du dispositif. (b) Mesure de la puissance P1 à l’entrée
du dispositif. Les flèches symbolisent les extracteurs de modes de gaine. . . 109 x
5.12 Illustration des cinq zones d’un combinateur de signal où on peut observer des
élévations thermiques. . . 111
5.13 Illustration du montage réalisé pour mesurer les performances thermiques d’un des ports en entrée d’un combinateur. Les flèches représentent les extracteurs
de modes de gaine. . . 113
C.1 Profil des supermodes polarisés linéairement supportés à l’entrée de la zone de
Remerciements
Je tiens d’abord à remercier l’entreprise CorActive High-Tech de m’avoir accueilli pendant toute la durée de ma maîtrise et de m’avoir fourni les ressources et le soutien nécessaires afin que je puisse mener mes travaux à terme. J’ai passé de très belles années au sein d’une équipe dynamique dans une ambiance de camaraderie des plus agréables. Merci à tous mes collègues, avec qui j’ai pu avoir des discussions enrichissantes et qui ont su me transmettre leur passion pour l’optique. Je remercie particulièrement Marc-André Lapointe pour toutes les connaissances qu’il a partagées avec moi, pour le temps qu’il a pris à répondre à mes nombreuses questions et pour la confiance qu’il m’a accordée lors de la réalisation de mes travaux.
Je remercie également Sophie LaRochelle, ma directrice de recherche, pour le support et le soutien qu’elle m’a apporté par rapport à l’orientation que je souhaitais donner à mes travaux de recherche. La confiance et la liberté dont j’ai pu bénéficier m’ont permis de me surpasser et de réaliser un projet qui cadre parfaitement avec ce que je souhaitais accomplir pendant mes deux années à la maîtrise. Je souhaite aussi remercier Jean-Noel Maran, Nezih Belhaj et Martin Rochette pour l’évaluation de mon mémoire. Leurs commentaires pertinents ont permis d’améliorer cet ouvrage.
J’aimerais aussi remercier le FRQNT et le CRNSG qui m’offrirent, en collaboration avec CorActive High-Tech, la bourse BMP innovation qui m’a permis de réaliser mes travaux de recherche au sein d’un milieu industriel.
Enfin, je remercie mes parents, qui ont appuyé tous mes choix et qui ont toujours été là pour me soutenir. Les valeurs qu’ils ont su me transmettre m’ont permis de me rendre où j’en suis maintenant. J’aimerais finalement remercier Marianne, mon épouse, pour tout l’appui et le soutien qu’elle m’a apporté au cours des dernières années. Son écoute attentive, ses encouragements et ses conseils judicieux m’ont permis de surmonter bien des embûches. Merci d’avoir été et d’être encore à mes côtés.
Introduction
Dans la dernière décennie, les lasers à fibre optique ont commencé à se tailler une place importante dans le secteur industriel de la transformation des matériaux, notamment pour les applications de découpe et de soudure. Leur haute efficacité optique, leur aptitude à atteindre de très hautes puissances, leur design compact et robuste et leur excellente qualité de faisceau permettent d’atteindre des performances qui ne sont pas envisageables avec d’autres types de lasers [1]. Grâce aux technologies aujourd’hui disponibles, tels que les dispositifs de pompe à haute luminance, les fibres de gain à double gaine dopées aux terres rares ou encore les composants à fibres optiques passifs de hautes puissances (combinateurs de pompes, réseaux de Bragg), il est désormais possible de trouver sur le marché des lasers à fibre monomodes dopés à l’ytterbium émettant des puissances continues (CW) au-delà du kilowatt [2].
Cependant, la puissance qu’il est possible d’obtenir en sortie d’un laser à fibre monomode demeure physiquement limitée par différents phénomènes. Tout d’abord, bien que les fibres optiques offrent une excellente dissipation thermique due au rapport important de leur surface par rapport à leur volume, la grande puissance à laquelle sont soumis la fibre de gain et les composants optiques à l’intérieur de la cavité laser provoque éventuellement des échauffements qui dégradent les performances du laser et qui peuvent causer sa défaillance [3]. Ensuite, les effets non-linéaires, tel que la diffusion Raman et Brillouin, limitent aussi la puissance maximale pouvant être obtenue en sortie d’un laser à fibre monomode [4]. Ces problèmes de non-linéarité ont d’ailleurs mené à la popularisation des fibres optiques à grand champ modal (fibres LMA), où la géométrie de la fibre est optimisée afin d’augmenter le seuil des non-linéarités tout en conservant un régime monomode [5]. Cependant, ce type de fibre présente tout de même des limites lorsqu’un laser est opéré à des puissances au-delà du kilowatt [6]. Enfin, malgré le fait qu’il soit aujourd’hui possible de se procurer des dispositifs de pompe de très haute qualité [7], la luminance associé à ceux-ci limite tout de même la puissance pompe qu’il est possible d’injecter à l’intérieur de la fibre de gain à double gaine [8], ce qui limite par le fait même la puissance du signal en sortie de la cavité laser.
Malgré le développement impressionnant des lasers à fibre durant les dernières années, une de-mande pour obtenir des puissances encore plus élevées persiste. Afin de répondre à ce besoin, la combinaison de faisceau est une solution prometteuse pour contourner les limitations
rencon-trées en utilisant une seule cavité laser. Cette technique, qui consiste à superposer les faisceaux émis par plusieurs lasers individuels, permet d’augmenter significativement la puissance qu’il est possible d’obtenir à l’aide des lasers à fibre optique [9].
De façon générale, le sujet de ce mémoire porte sur la combinaison de faisceaux laser. Plus spécifiquement, le principal objectif consiste à réaliser l’étude des techniques permettant de réaliser des combinateurs de faisceaux compatibles avec les lasers à fibre CW de haute puis-sance présentement disponibles sur le marché. Ces lasers sont généralement caractérisés par des puissances situées entre 500 W et 2000 W, une longueur d’onde d’émission entre 1060 et 1080 nm, une largeur spectrale de l’ordre de quelques nanomètres et un facteur de qualité de faisceau M2 situé entre 1.1 et 1.2 [10,11,12,13].
La combinaison de faisceaux peut être classifiée selon deux principales catégories : la combinai-son cohérente et la combinaison incohérente. Tout d’abord, la combinaison cohérente consiste à exercer un contrôle minutieux de la phase relative entre plusieurs lasers de manière à ce que les faisceaux issus de ceux-ci soient en condition d’interférence constructive [14]. Afin de réaliser ce type de combinaison, la condition de cohérence mutuelle entre les différentes sources en entrée du système doit être satisfaite. Pour ce faire, il est d’abord primordial d’avoir un excellent recouvrement spectral entre les lasers [15]. Ensuite, il est nécessaire que la longueur de cohérence des sources, inversement proportionnelle à leur largeur spectrale, soit plus élevée que la différence de trajet optique entre les faisceaux qui entrent dans le système de combinai-son [16]. Ce dernier critère implique qu’il est plus facile d’effectuer une combinaison cohérente lorsque les sources utilisées ont une largeur spectrale très fine étant donné que les différences de trajet optique permises sont plus élevées [17]. Dans le cas où la condition de cohérence mutuelle entre les sources est satisfaite, le profil spatial du faisceau en sortie du système de combinaison est défini comme étant la somme du champ électrique provenant de chacun des lasers [9]. En ajustant la phase relative entre ces lasers afin de maintenir les champs électriques en interférence constructive, il est ainsi possible d’obtenir un faisceau résultant ayant une lu-minance beaucoup plus élevée que celle des faisceaux en entrée. Outre le fait qu’elle permette d’augmenter la puissance en sortie des systèmes lasers, la combinaison cohérente offre ainsi le potentiel d’obtenir une excellente qualité de faisceau résultante qui prend généralement une valeur similaire à celle des faisceaux en entrée du système. Au cours des dernières années, des niveaux de puissance impressionnants ont été atteints grâce aux techniques de combinaison cohérente. Parmi celles-ci, il est nécessaire de mentionner la combinaison cohérente d’une ma-trice de huit amplificateurs à fibre optique qui a permis l’obtention d’une puissance totale de 4 kW et d’un facteur de qualité de faisceau M2 de 1.25 [18]. Hormis cet exemple, il est aussi
possible de trouver plusieurs autres publications où des puissances au-delà du kilowatt sont atteintes en combinant de façon cohérente des amplificateurs à fibre optique [19,20,21].
Dans le cas où les lasers à fibre optique de haute puissance sont utilisés dans des milieux industriels, il est nécessaire que l’approche de combinaison de faisceaux utilisée demeure très robuste, stable, peu coûteuse et sécuritaire afin de permettre son implémentation. Dans un tel contexte, la combinaison de faisceau cohérente n’est pas la solution la mieux adaptée. Tout d’abord, les largeurs spectrales des lasers à fibre optique de haute puissance, qui sont de l’ordre du nanomètre, rendent très difficile l’implantation de la combinaison cohérente étant donné le critère de cohérence mutuelle qui doit être satisfait [22]. Ensuite, la combinaison cohérente demande qu’une grande stabilité soit atteinte, où les phases, les polarisations et les amplitudes des différents lasers doivent être contrôlés avec minutie afin que les faisceaux demeurent en interférence constructive [9]. Dans un environnement industriel où les fortes vibrations et les écarts thermiques font partie du quotidien, cette grande stabilité est très difficile à obtenir, ce qui complexifie grandement l’implémentation d’un système de combinaison cohérente. En-fin, la quasi-totalité des démonstrations où des puissances au-delà de 100 W ont été atteintes par combinaison cohérente utilisent une configuration où les phases des différents lasers sont modulées de façon active grâce à une rétroaction provenant de l’image du faisceau résultant sur un détecteur [14]. Outre les coûts additionnels engendrés par la présence de ce système de rétroaction, la nécessité d’imager le faisceau sur un détecteur nécessite que celui-ci soit échan-tillonné et se propage dans l’espace libre sur une certaine distance. Cette dernière implication n’est pas idéale dans les applications industrielles, où des solutions utilisant l’optique guidée uniquement (solutions tout-fibre) sont préférables.
Contrairement aux méthodes de combinaison cohérentes, les méthodes de combinaison inco-hérentes sont beaucoup mieux adaptées au contexte industriel décrit ci-dessus. Il est possible de définir la combinaison incohérente comme étant une combinaison où les différents fais-ceaux ne respectent pas la condition de cohérence mutuelle. Cela peut être dû au fait que les largeurs spectrales des sources sont trop importantes, ou que celles-ci opèrent à différentes longueurs d’onde. Dans un tel cas, il n’est plus possible de maintenir le champ électrique en condition d’interférence constructive en ajustant la phase relative entre les différentes sources. La grande stabilité qui était recherchée dans le cas de la combinaison cohérente devient donc beaucoup moins importante pour la combinaison incohérente, ce qui relâche grandement cer-taines contraintes et permet d’effectuer des combinaisons de hautes puissances de manière très stable. Il existe plusieurs techniques de combinaison incohérente. L’une d’entre-elles, nommée combinaison spectrale, consiste à superposer plusieurs sources émettant à des fréquences dif-férentes grâce à un élément sensible aux longueurs d’onde, tel qu’un réseau de diffraction ou un miroir dichroïque [23]. Il est ainsi possible d’orienter différents faisceaux dans la même direction de manière à obtenir une excellente qualité de faisceau et une puissance très élevée, parfois au-delà du kilowatt [24,25,26]. Cependant, les éléments sensibles aux longueurs d’onde qui sont utilisés dans les techniques de combinaison spectrales doivent être utilisés dans un arrangement où le faisceau se propage en espace libre et où un alignement très précis doit être réalisé [27], ce qui n’est pas une situation souhaitable lorsque la combinaison de faisceau doit
être implémentée dans un milieu industriel. De plus, la nécessité de devoir utiliser plusieurs lasers émettant à des fréquences différentes est un prérequis difficile à satisfaire puisque la longueur d’onde d’émission d’un laser à fibre est un paramètre qui ne peut pas être modifié aisément. Puisque l’objectif de ce projet est l’étude des méthodes de combinaison de faisceau permettant l’adaptation directe avec les lasers présentement sur le marché, il est possible d’af-firmer que les méthodes de combinaison incohérentes spectrales ne sont pas les mieux adaptées à ce contexte.
Il existe néanmoins d’autres méthodes de combinaison incohérente permettant de mieux ré-pondre aux besoins énoncés précédemment. Parmi celles-ci, la combinaison incohérente réalisée à l’aide d’un combinateur tout-fibre figure parmi les solutions les plus robustes, les moins coû-teuses et les plus sécuritaires permettant de combiner les faisceaux provenant de plusieurs lasers à fibre de haute puissance. Le combinateur tout-fibre est un composant fabriqué à par-tir d’un ensemble de fibres optiques qui sont fusionnées ensemble et rétrécies de manière à ce que la puissance contenue à l’intérieur de celles-ci converge vers le cœur d’une fibre multi-mode. De cette manière, la puissance laser demeure confinée en permanence à l’intérieur d’un guide d’onde, d’où le fait que la méthode soit particulièrement stable et robuste. La figure
0.1 présente un exemple où un combinateur tout-fibre est utilisé afin de combiner de façon incohérente six lasers monomodes émettant chacun une puissance continue de 1 kW.
Laser `a fibre 1 2 3 4 5 6 Combinateur tout-fibre Fibres optiques Fibre multimode de sortie Puissance = 1 kW Puissance=6 kW monomodes Faisceau r´esultant
Figure 0.1 – Exemple de combinaison incohérente de six lasers à fibre monomodes émettant chacun une puissance de 1 kW. À l’aide d’un combinateur de signal tout-fibre, il est possible d’additionner la puissance de chacun des lasers afin d’obtenir une puissance résultante de 6
kW à l’intérieur d’une fibre optique multimode.
Les performances d’un combinateur tout-fibre peuvent être caractérisées par deux principaux éléments. Le premier de ces éléments est la perte d’insertion du composant. En effet, le fait de réduire un ensemble de fibres afin que celles-ci puissent être soudées à une fibre multimode provoque nécessairement une perte de signal plus ou moins importante. Bien que ces pertes engendrent évidemment une réduction de l’efficacité du système laser, elles sont aussi associées aux échauffements observés dans le combinateur. Étant donné la puissance importante qui passe par le combinateur, il est évidemment souhaitable de maintenir des pertes minimales afin que le composant puisse supporter des puissances de plusieurs kilowatts sans qu’il n’atteigne une température pouvant causer sa défaillance. Le second élément permettant de caractériser 4
les performances d’un combinateur est la qualité du faisceau obtenu à la sortie de celui-ci. En effet, la méthode de combinaison incohérente à l’aide d’un composant tout-fibre a la caractéristique, comme on le verra au chapitre 4, de provoquer une dégradation plus ou moins importante de la qualité de faisceau entre l’entrée et la sortie du système de combinaison. Il est cependant pertinent de noter que dans les applications industrielles de transformation des matériaux impliquant des puissances au-delà du kilowatt, il n’est pas favorable que le facteur de qualité M2 des faisceaux utilisés soit égal à l’unité. En effet, des facteurs de qualité M2 au-delà
de 8 sont généralement recherchés dans ce type d’application [1]. Cela peut être expliqué par le fait qu’un faisceau ayant un facteur de qualité supérieur à 8 présente généralement un profil spatial qui se rapproche de la forme carré (top-hat). Le profil carré ayant une décroissance beaucoup plus abrupte qu’un profil gaussien (M2=1), il est plus facile de délimiter la zone
irradiée lors du traitement des matériaux, ce qui permet d’augmenter la qualité du procédé. La dégradation de qualité de faisceau causée par l’utilisation d’un combinateur de faisceaux tout-fibre est donc un phénomène positif dans le domaine d’application visé, pour autant que cette dégradation demeure bien contrôlée et que celle-ci ne soit pas trop sévère.
À ce jour, le nombre de publications concernant la combinaison incohérente de faisceaux à l’aide d’un composant tout-fibre demeure limité. Parmi celles-ci, il est nécessaire de mention-ner l’impressionnante démonstration par IPG Photonics d’un laser émettant une puissance continue de 100 kW avec un facteur de qualité de faisceau M2 de 46.5 [28]. Ce laser a été
réalisé par la mise en cascade de plusieurs combinateurs de faisceaux tout-fibre. Ensuite, il convient de citer une étude qui a été réalisée en considérant le facteur de qualité de faisceau directement à la sortie des combinateurs lorsque ceux-ci ne sont pas soudés à une fibre multi-mode de sortie. Des facteurs de qualité de faisceau M2 de 3.6 et de 2.3 ont été obtenus pour
des combinateurs à sept et trois ports d’entrée, respectivement [22]. Enfin, il est possible de trouver quelques publications où des configurations conventionnelles sont utilisées, c’est-à-dire lorsqu’un seul combinateur ayant un nombre d’entrées donné est soudé à une fibre multimode à la sortie de laquelle les propriétés du faisceau sont mesurées, tel qu’il a été présenté à la figure 0.1. Ces différents résultats sont synthétisés au tableau 0.1.
Lors de la conception d’un combinateur de signal tout-fibre, il est nécessaire de déterminer plusieurs paramètres, tels que les propriétés des fibres en entrée et en sortie du composant, le facteur de rétrécissement des fibres d’entrée ainsi que la longueur du combinateur. Or, ces différents paramètres de conception sont généralement donnés au compte-goutte dans les publications mentionnées précédemment, notamment en ce qui a trait à la longueur et au facteur de rétrécissement. De ce fait, il est impossible de reproduire avec exactitude les résultats rapportés ou encore d’analyser les données afin de faire ressortir certaines tendances concernant les performances des combinateurs en fonction des paramètres de conception. De plus, la plupart des démonstrations où des combinateurs de faisceaux ont été fabriqués sont basées sur des fondements théoriques peu rigoureux ou encore inexistants. Par exemple, Jäger
ttNombre de portstt Puissance (W)test M2test Pertestest Réf.test 7 5700 4.6 < 2% [29] 7 4200 7.3 ≤ 2% [30] 7 2500 6.5 4.6% [31] 7 500 10 1% [32] 3 150 11 2% [33] 3 n.d. 4.4 3.8% [34]
Tableau 0.1 – Résumé des résultats rapportés dans la littérature concernant les combinateurs incohérents tout-fibre.
et al. [29] ont basé leur analyse théorique en considérant l’évolution du mode fondamental à l’intérieur d’une simple fibre optique effilée sans considérer la structure complexe de l’ensemble des fibres d’entrée formant le combinateur, où il est nécessaire de prendre en compte les effets de couplage entre les différents cœurs adjacents. Ensuite, Shamir et al. [34] ont avancé l’hypothèse que des fibres de sortie à gradient d’indice avaient le potentiel d’engendrer une bien meilleure qualité de faisceau que les fibres à saut d’indice. Cependant, les fibres à gradient d’indice utilisées dans la démonstration avaient une bien meilleure intégrale de recouvrement avec le champ électrique à la sortie du combinateur que les fibres à saut d’indices utilisées, ce qui rend ses conclusions discutables. Enfin, une autre publication concernant l’analyse théorique des combinateurs de faisceaux tout-fibre présente des modélisations de propagation du champ électrique dans un combinateur à trois ports en considérant un guide d’onde constitué de trois cœurs dans une gaine infinie [35]. Or, c’est justement le fait que la gaine ait des dimensions finies qui permet aux supermodes initialement guidés par les cœurs de se transformer pour devenir similaires aux modes d’une fibre multimode conventionnelle [36].
L’objectif principal de ce mémoire consiste à combler le vide théorique qu’il existe présentement dans la littérature par rapport à l’influence des paramètres de conception des combinateurs tout-fibre sur le facteur de qualité de faisceau résultant en sortie du système. Au terme de l’étude qui sera réalisée, il sera ainsi possible de comprendre les enjeux concernant le choix des fibres d’entrée et de leur facteur de rétrécissement, de la fibre multimode de sortie et de la longueur du combinateur. Il sera aussi possible de définir la limite théorique du facteur de qualité de faisceau qu’il est possible d’atteindre lorsque tous les paramètres de conception sont optimisés. Suite à cette étude, il deviendra possible de vérifier expérimentalement les résul-tats obtenus au cours de l’analyse théorique. Des combinateurs de faisceaux tout-fibre seront donc fabriqués en utilisant les paramètres de conception optimaux afin de valider que ceux-ci 6
permettent d’obtenir un facteur de qualité de faisceau qui se rapproche de la limite théorique ayant été définie. De plus, les combinateurs fabriqués devront être caractérisés par des pertes d’insertion et des performances thermiques qui leur permettent d’être utilisés dans des appli-cations de hautes puissances. Plus précisément, l’objectif visé est que ces combinateurs aient des pertes d’insertion plus faibles que 2% et que leurs performances thermiques permettent la combinaison d’une puissance totale de 6 kW.
Ce mémoire se divise de la manière suivante. Dans un premier temps, le chapitre 1porte sur la caractérisation des faisceaux laser et leur propagation dans l’espace libre. Dans ce chapitre, les lois qui gouvernent la propagation d’un faisceau arbitraire dans l’espace libre sont données. Cela permet d’établir les bases concernant l’analyse du facteur de qualité de faisceau en fonc-tion du profil du champ électrique supporté par la fibre multimode en sortie du combinateur. Par la suite, le chapitre 2 s’attarde aux fibres optiques. Des concepts très utiles concernant l’excitation des modes dans les fibres optiques, les fibres optiques effilées ou encore la relation entre le contenu modal et le facteur de qualité de faisceau sont présentés. Ensuite, le cha-pitre 3porte sur l’étude des fibres optiques effilées pour les applications d’adaptation modale. Il est possible de considérer que la fibre optique effilée est un cas simplifié du combinateur tout-fibre, et son analyse permet l’introduction de certains concepts qui servent de base pour l’analyse subséquente des combinateurs tout-fibre. Le chapitre 4 s’attarde ensuite à l’analyse théorique des combinateurs de faisceaux tout-fibre. C’est dans ce chapitre qu’il est possible de déterminer l’influence des différents paramètres de conception sur le facteur de qualité de faisceau résultant à la sortie du combinateur de faisceaux. Par la suite, le chapitre5porte sur les méthodes de fabrication expérimentales des combinateurs tout-fibre et présente les divers résultats expérimentaux obtenus lors de la fabrication de combinateurs. Les principaux résul-tats présentés portent sur le facteur de qualité de faisceau obtenu en sortie des combinateurs, les pertes d’insertion des composants et les performances thermiques de ceux-ci.
Pour terminer, il est nécessaire de préciser qu’il existe présentement une demande croissante provenant de l’industrie de la transformation des matériaux afin que des systèmes laser entre 3 et 6 kW soient obtenus par la combinaison de six lasers monomodes de 500 W ou de 1000 W. Pour ce type de systèmes, il est courant d’utiliser un combinateur tout-fibre à sept ports d’entrée et d’injecter le signal provenant des six lasers dans les fibres en périphérie du com-binateur. La fibre centrale est quant à elle utilisée pour mesurer la fraction de puissance qui retourne dans le système laser due à la réflexion du faisceau sur les matériaux qui sont usinés. De ce fait, l’étude de combinateurs tout-fibre ayant sept ports d’entrée sera privilégiée au cours de ce mémoire, et les simulations et expérimentations qui seront réalisées considéreront que des puissances égales sont injectées dans les six fibres de périphérie du combinateur et jamais dans la fibre centrale.
Chapitre 1
Caractérisation des faisceaux laser et
propagation en espace libre
L’application principale des lasers à fibre optique de haute puissance est le traitement des ma-tériaux. Ce domaine peut se diviser en de nombreuses sphères incluant la découpe, la soudure, le perçage, ou encore le marquage. Chacune de ces sphères nécessite l’utilisation d’un laser ayant des propriétés particulières, et celles-ci peuvent différer énormément d’une application à l’autre. Parmi les différentes propriétés qui doivent être déterminées lors de la sélection du type de laser optimal, on retrouve généralement la puissance, la longueur d’onde, le régime d’opération et les caractéristiques du faisceau généré. Ce dernier point constituera d’ailleurs l’objet du présent chapitre. Il est en effet possible, selon le type de faisceau généré par un laser, d’effectuer des tâches particulières. Par exemple, le perçage de matériaux demande l’utilisa-tion d’un faisceau capable de former une tache focal très petite afin de concentrer la puissance en un point bien précis. [37]. Dans d’autres cas, il est nécessaire de générer une tache focale démontrant une forme particulière afin d’optimiser les procédés de traitement des matériaux. Par exemple, l’utilisation d’un faisceau ayant une forme annulaire est parfois le choix optimal afin d’effectuer certaines tâches [38]. Ces exemples démontrent qu’il est primordial de savoir comment mesurer et prédire le comportement des faisceaux générés en sortie des systèmes laser afin que ceux-ci soient utilisés de façon efficace.
Ce chapitre se divise en deux sections principales. Tout d’abord, la section 1.1s’attarde aux principes de la propagation d’un faisceau laser arbitraire en espace libre. Dans cette section, nous définirons précisément le facteur de qualité de faisceau, dont il sera question tout au long de ce mémoire. Nous décrirons aussi comment caractériser complètement un faisceau laser à partir du profil du champ électrique dans un plan transverse quelconque, tel qu’à la sortie d’une fibre optique. Ensuite, la section1.2sera dédiée à la caractérisation expérimentale d’un faisceau laser. Les techniques utilisées afin d’obtenir les différents paramètres de propagation de ce faisceau y seront exposées.
1.1
Caractérisation d’un faisceau laser par la méthode des
moments
Comme il a été mentionné en introduction de ce mémoire, l’objectif principal du projet présenté est d’évaluer l’influence des différents paramètres de conception d’un combinateur de signal sur la qualité de faisceau résultante en sortie d’un système laser. Avant toute chose, il est donc nécessaire de comprendre la signification du facteur de qualité de faisceau et de donner une définition rigoureuse de ce paramètre. Pour ce faire, il est essentiel d’étudier la théorie de la propagation d’un faisceau de forme arbitraire en espace libre. Dans cette section, il sera démontré comment on peut obtenir les principales caractéristiques concernant la propagation d’un faisceau à travers un système optique quelconque à partir du profil du champ électrique de ce faisceau dans le plan transverse. Cela permettra ainsi de prédire le comportement du faisceau généré par un laser à fibre pour lequel le profil du champ électrique dans la fibre de sortie est connu.
Pour débuter, il est nécessaire de mentionner que les équations qui seront données dans le texte qui suit ne sont valides que dans l’approximation paraxiale, qui suppose une faible divergence du faisceau par rapport à son axe de propagation. Cette approximation est généralement respectée lorsque le diamètre du faisceau à l’étranglement est beaucoup plus grand que la longueur d’onde, ou encore lorsque le faisceau diverge à un angle beaucoup plus faible que 30° [39]. De plus, les équations ne sont pas valides lorsque le champ électrique présente une discontinuité ou lorsqu’il se propage à travers un système optique présentant des aberrations. Considérons tout d’abord qu’à une position quelconque selon l’axe de propagation z d’un faisceau, le profil transverse du champ électrique, caractérisé par un module et une phase, puisse être écrit par E(x,y). En calculant la transformée de Fourier de E(x,y), on peut obtenir EF(νx,νy), qui permet de caractériser le faisceau dans le domaine des fréquences spatiales [40].
L’équation1.1montre la relation de Fourier qui existe entre E(x,y) et EF(νx,νy).
EF(νx,νy) =F{E(x,y)} =
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
E(x,y)e j2π(xνx+yνy) dxdy (1.1) Dans l’équation 1.1, x et y représentent les coordonnées transverses perpendiculaires à l’axe de propagation du faisceau, alors que νx et νy représentent les coordonnées des fréquences
spatiales correspondantes. La distribution de densité de puissance dans le plan transverse I(x,y) et la distribution de densité de puissance dans le champ lointain IF(νx,νy) [40] sont
définies à partir des deux représentations précédentes du champ électrique de la façon suivante :
I(x,y) = E(x,y)E∗(x,y) =|E(x,y)|2 (1.2)
IF(νx,νy) = EF(νx, νy)EF∗(νx, νy) =|EF(νx,νy)|2 (1.3)
Dans les équations précédentes, l’astérisque dénote le conjugué complexe. Notons que I(x,y) correspond au profil du faisceau qui est mesuré en laboratoire alors que IF(νx,νy) correspond
à l’énergie associée à chaque fréquence spatiale constituant le faisceau. Selon le théorème de Parseval, on peut démontrer que l’intégrale d’une fonction au carré est égale à l’intégrale de la transformée de Fourier de cette fonction au carré. De ce fait, il est possible de définir la variable I0, qui peut être obtenue par l’intégrale dans le domaine spatial ou fréquentiel :
I0 = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ I(x,y) dxdy = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy) dνxdνy . (1.4)
Notons que I0 représente la puissance du faisceau et agira comme facteur de normalisation
dans les équations qui seront présentées dans ce chapitre. En utilisant les définitions présentées dans les équations1.1à1.4, on peut démontrer que tout faisceau laser peut être caractérisé, à l’aide de la méthode des moments, par un ensemble de dix moments indépendants de second ordre [41]. L’analyse de la propagation d’un faisceau par la méthode des moments provient de l’étude des faisceaux partiellement cohérents à l’aide de la fonction de distribution de Wi-gner. Cette fonction permet d’obtenir une description généralisée et complète de tout faisceau monochromatique cohérent ou partiellement cohérent se propageant dans un système optique quelconque [42]. Une discussion plus poussée sur la fonction de distribution de Wigner va au-delà des objectifs de ce texte, mais une description détaillée se retrouve dans les références suivantes [43, 44]. La caractérisation d’un faisceau à l’aide des dix moments de second ordre est devenue très courante dans les dernières années, et cette méthode a récemment été admise comme étant un standard international et a été publiée dans les normes ISO-11146 [45,46,47]. Cette section se divisera comme suit. Tout d’abord, la sous-section 1.1.1présentera la défini-tion des quatre moments de premier ordre d’un faisceau ainsi que leur significadéfini-tion physique. Ensuite, la sous-section1.1.2 introduira les dix moments de second ordre de la distribution de Wigner et illustrera comment il est possible de relier ces moments aux paramètres physiques d’un faisceau. Par la suite, la sous-section 1.1.3 montrera comment on peut propager un fais-ceau à travers un système optique quelconque en utilisant la matrice des moments de second ordre, ce qui permettra d’introduire le facteur de qualité de faisceau.
1.1.1 Moments de premier ordre
Les moments de premier ordre se divisent en deux catégories : les moments spatiaux de premier ordre et les moments angulaires de premier ordre.
Moments spatiaux de premier ordre
Les moments spatiaux de premier ordre hxi et hyi peuvent être mesurés directement en labo-ratoire en recueillant la distribution de densité de puissance I(x,y) dans le plan transverse à l’aide d’une caméra. Ces moments sont calculés à l’aide des équations suivantes :
hxi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ I(x,y) x dxdy (1.5) hyi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ I(x,y) y dxdy . (1.6)
Les moments spatiaux de premier ordre permettent de définir le barycentre du faisceau dans le plan transverse, c’est-à-dire la moyenne pondérée de la distribution de densité de puissance selon les directions x et y. Le barycentre du faisceau sera utilisé comme position de référence lors du calcul des moments de second ordre.
Moments angulaires de premier ordre
Les moments angulaires de premiers ordre hνxi et hνyi sont définis de la même manière que
les moments spatiaux, en substituant la distribution de densité de puissance dans la plan transverse I(x,y) par la distribution de densité de puissance en champ lointain IF(νx,νy). De
plus, on peut trouver une forme équivalente en fonction du champ électrique dans le plan transverse en utilisant les propriétés de dérivation des transformées de Fourier [48,49], comme le montrent les équations suivantes :
hνxi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy) νx dνxdνy = −j 2πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ E(x,y)∂E ∗(x,y) ∂x dxdy (1.7) hνyi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy) νy dνxdνy = −j 2πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ E(x,y)∂E ∗(x,y) ∂y dxdy . (1.8) Les moments angulaires de premier ordre peuvent être reliés à la direction de propagation moyenne du faisceau. En effet, en multipliant ces moments par la longueur d’onde λ du signal, on obtient les directions de propagation hθxi et hθyi du barycentre du faisceau selon les axes
xet y, comme le montrent les équations suivantes : 12
hθxi = λhνxi hθyi = λhνyi . (1.9)
Tout comme dans le cas de la propagation des rayons en optique géométrique, la propagation des moments de premier ordre peut être caractérisée par l’utilisation d’une matrice ABCD décrivant un système optique quelconque exempt d’aberrations [49], tel que l’illustre l’équation
1.10. hx2i hy2i hθx2i hθy2i ! = A B C D ! hx1i hy1i hθx1i hθy1i ! (1.10) Dans l’équation précédente, les indices 1 et 2 dénotent les moments de premier ordre à l’en-trée et à la sortie du système, respectivement. Les matrices ABCD pour différents systèmes optiques peuvent être trouvées dans plusieurs manuels de référence [39, 50]. Enfin, la figure
1.1illustre la propagation des moments de premier ordre dans un système optique quelconque caractérisé par une matrice ABCD.
hθ
x1i
A
B
C
D
hx
1i
hθ
x2i
hx
2i
I
1(x, y)
I
2(x, y)
Figure 1.1 – Illustration de la propagation des moments de premier ordre à travers un système optique quelconque caractérisé par une matrice ABCD.
1.1.2 Moments de second ordre
Comme il a été mentionné plus tôt, on peut décrire la propagation d’un faisceau arbitraire en espace libre par un ensemble de dix paramètres indépendants, qui constituent les moments de second ordre de la distribution de Wigner. Ces moments de second ordre se divisent en trois catégories : les moments spatiaux, les moments angulaires et les moments mixtes.
Moments spatiaux de second ordre
Les moments spatiaux de second d’ordre hx2i, hy2i et hxyi, tout comme les moments spatiaux
de premier ordre, se mesurent directement en laboratoire en recueillant la distribution de densité de puissance I(x,y) dans le plan transverse à l’aide d’une caméra. Il s’agit des seuls moments de second ordre qui sont directement mesurables. Ceux-ci se calculent à l’aide des équations suivantes :
hx2i = I1 0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
I(x,y)(x− hxi)2dxdy (1.11)
hy2i = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
I(x,y)(y− hyi)2dxdy (1.12)
hxyi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
I(x,y)(x− hxi)(y − hyi)dxdy . (1.13) Puisque les moments spatiaux de premier ordre hxi et hyi apparaissent dans les équations précédentes, ceux-ci doivent être déterminés préalablement au calcul des moments spatiaux de second ordre.
On obtient plusieurs propriétés concernant le faisceau analysé à partir des trois moments spatiaux de second ordre donnés précédemment. Tout d’abord, à l’aide des moments hx2i et
hy2i, les rayons du faisceau w
x et wy selon les axes x et y sont obtenus en utilisant l’équation
suivante :
wx = 2phx2i wy = 2phy2i . (1.14)
Ensuite, il est commun que la distribution de densité de puissance dans le plan transverse ne soit pas de forme circulaire, mais plutôt elliptique. Lorsque cette situation se manifeste, il est pertinent d’obtenir l’orientation de l’ellipse par rapport aux axes x et y selon lesquels la mesure a été réalisée. Le moment hxyi permet d’obtenir cette orientation par l’utilisation de l’équation1.15, où φ représente l’angle du grand axe de l’ellipse par rapport à l’axe x.
φ = 1 2arctan 2hxyi (hx2i − hy2i) (1.15) On peut définir un nouveau système de coordonnées en pivotant le système d’axe utilisé pour mesurer le faisceau (les axes de laboratoire) d’un angle φ, de manière à ce que le rayon du faisceau prenne sa valeur maximale et minimale selon les nouveaux axes. Les axes xp et yp
de ce nouveau système de coordonnée sont nommés axes principaux du faisceau [45], et sont illustrés à la figure 1.2. Il est parfois pratique d’utiliser les axes principaux pour la mesure expérimentale des propriétés d’un faisceau, tel qu’il sera présenté à la section1.2.
x
y
x
py
pφ
I(x,y)
Figure 1.2 – Illustration des axes principaux xp et yp de la distribution de densité de
puissance dans le plan transverse. L’axe xp est pivoté d’un angle φ par rapport à l’axe de
laboratoire x . Moments angulaires de second ordre
Les moments angulaires de second ordre se calculent à partir de la distribution de densité de puissance IF(νx,νy) en champ lointain. Ces moments sont directement reliés à la divergence
du faisceau et, contrairement aux moments spatiaux et mixtes de second ordre, sont invariants lors de la propagation du faisceau en espace libre. Les moments angulaires de second ordre hν2
xi, hνy2i et hνxνyi sont donnés par les équations suivantes :
hνx2i = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy)(νx− hνxi)2dνxdνy (1.16) hνy2i = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy)(νy− hνyi)2dνxdνy (1.17) hνxνyi = 1 I0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ IF(νx,νy)(νx− hνxi)(νy− hνyi)dνxdνy . (1.18)
En appliquant les propriétés de dérivation des transformées de Fourier, on peut relier directe-ment les modirecte-ments angulaires de second ordre au profil du champ électrique E(x,y) dans le plan transverse. Les équations précédentes peuvent donc prendre les formes alternatives suivantes [48,49] :
hνx2i = 1 4π2I 0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∂E(x,y) ∂x 2 dxdy (1.19) hνy2i = 1 4π2I 0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∂E(x,y) ∂y 2 dxdy (1.20) hνxνyi = 1 4π2I 0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∂E(x,y) ∂x ∂E∗(x,y) ∂y dxdy . (1.21)
À l’aide de ces trois nouveaux moments, on obtient des propriétés physiques supplémentaires par rapport au faisceau analysé. Tout d’abord, à l’aide des moments hν2
xi et hνy2i et de la
longueur d’onde λ du signal, les demi-angles de divergence du faisceau Θx et Θy selon les axes
xet y se calculent en utilisant les équations suivantes [51] : Θx = 2λphνx2i Θy = 2λ
q hν2
yi . (1.22)
La divergence est une propriété très importante permettant de définir l’élargissement du profil d’intensité d’un faisceau lors de la propagation. Une description plus détaillée de la divergence sera donnée dans la sous-section1.1.3portant sur la propagation des moments de second ordre. On remarque que plus les fréquences spatiales constituant un faisceau sont élevées, plus les moments angulaires de second ordre augmentent, ce qui a pour effet d’élargir la divergence du faisceau. Afin qu’un faisceau diverge peu, il est donc nécessaire que son profil du champ électrique soit lisse et sans changements abruptes, de manière à ce que la puissance demeure distribuée dans de faibles fréquences spatiales dans l’espace de Fourier.
Tout comme dans le cas des moments spatiaux de second ordre, il est commun que la distribu-tion de densité de puissance en champ lointain IF(νx,νy) soit de forme elliptique. Il est alors
pertinent d’obtenir l’orientation de l’ellipse par rapport aux axes νx et νy. Le moment hνxνyi
permet d’obtenir cette orientation par l’utilisation de l’équation1.23, où φF représente l’angle
du grand axe de l’ellipse par rapport à l’axe νx.
φF = 1 2arctan 2hνxνyi (hν2 xi − hνy2i) (1.23) Encore ici, on peut définir un nouveau système de coordonnées en pivotant le système d’axe utilisé pour décrire les fréquences spatiales d’un angle φF, de manière à ce que la divergence
du faisceau prenne sa valeur maximale et minimale selon ces nouveaux axes. Les axes νxp et
νyp de ce nouveau système de coordonnées sont nommés axes principaux de la divergence du
faisceau, et sont illustrés par la figure1.2. Tout dépendant des propriétés du faisceau, les axes principaux de I(x,y) et de IF(νx,νy) peuvent ne pas coïncider [47].
ν
xν
yν
xpν
ypφ
FI
F(ν
x, ν
y)
Figure 1.3 – Illustration des axes principaux νxp et νyp de la distribution de densité de
puissance en champ lointain. L’axe νxp est pivotés d’un angle φF par rapport à l’axe νx.
Moments mixtes de second ordre
Les quatre derniers moments de second ordre nécessaires pour décrire un faisceau sont les moments mixtes hxνxi, hyνyi, hxνyi et hyνxi. Ces moments sont reliés aux propriétés de la
phase du faisceau dans le plan transverse et sont donnés par les équations suivantes : hxνxi = j 4πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
(x− hxi)hE∗(x,y)∂E(x,y)
∂x − E(x,y) ∂E∗(x,y) ∂x i dxdy (1.24) hyνyi = j 4πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
(y− hyi)hE∗(x,y)∂E(x,y)
∂y − E(x,y) ∂E∗(x,y) ∂y i dxdy (1.25) hxνyi = j 4πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
(x− hxi)hE∗(x,y)∂E(x,y)
∂y − E(x,y) ∂E∗(x,y) ∂y i dxdy (1.26) hyνxi = j 4πI0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
(y− hyi)hE∗(x,y)∂E(x,y)
∂x − E(x,y)
∂E∗(x,y) ∂x
i
dxdy . (1.27) À l’aide des quatre moments présentés ci-dessus, on obtient d’autres propriétés concernant le faisceau analysé. Tout d’abord, à l’aide des moments hxνxi et hyνyi et de la longueur d’onde
λ du signal, le rayon de courbure effectif du front d’onde du faisceau selon les axes x et y se calcule en utilisant les équations suivantes :
Rx= hx 2i λhxνxi Ry = hy 2i λhyνyi (1.28)
Ensuite, les moments hxνyi et hyνxi permettent de déterminer le paramètre de torsion t, relié
au moment orbital angulaire du faisceau et responsable de la rotation de la phase de certains faisceaux lors de leur propagation [52] :
t = λ hxνyi − hyνxi . (1.29)
1.1.3 Matrice des moments de second ordre et propagation d’un faisceau en espace libre
Matrice des moments de second ordre
Les dix moments de second ordre définis à la section précédente peuvent être placés dans une matrice 4 x 4 qui contient toute l’information permettant de caractériser un faisceau. La matrice P ainsi obtenue est nommée matrice des moments de second ordre ou encore matrice des variances : P= hx2i hxyi λhxν xi λhxνyi hxyi hy2i λhyν xi λhyνyi λhxνxi λhyνxi λ2hνx2i λ2hνxνyi λhxνyi λhyνyi λ2hνxνyi λ2hνy2i . (1.30)
À l’aide de la matrice des moments de second ordre, il est possible de propager un faisceau à travers un système optique arbitraire en utilisant la relation suivante :
P2 = S· P1· ST . (1.31) où S= Axx Axy Bxx Bxy Ayx Ayy Byx Byy Cxx Cxy Dxx Dxy Cyx Cyy Dyx Dyy . (1.32)
Dans l’équation 1.31, P1 et P2 représentent respectivement la matrice P à l’entrée et à la
sortie du système, S représente la matrice ABCD tensorielle décrivant le système optique analysé et ST représente la matrice transposée de S.
À l’aide des équations précédentes, il devient aisé de propager un faisceau à travers un système optique formé non seulement d’éléments circulaires, mais aussi d’éléments cylindriques orientés 18
de manière arbitraire. L’annexeAprésente des exemples de matrices ABCD tensorielles pour quelques systèmes optiques communs.
Propagation en espace libre
Afin d’étudier la propagation d’un faisceau arbitraire en espace libre, il est nécessaire d’utiliser la matrice ABCD correspondant à la propagation dans l’air (n0= 1) sur une distance L :
Sespace libre= 1 0 L 0 0 1 0 L 0 0 1 0 0 0 0 1 . (1.33)
En substituant la matrice précédente dans l’équation 1.31, on peut écrire les trois moments spatiaux de second ordre hx2i
2, hy2i2 et hxyi2 en fonction des dix moments de second ordre
initiaux :
hx2i2 =hx2i1+ 2λhxνxi1L + λ2hνx2i1L2 (1.34)
hy2i2 =hy2i1+ 2λhyνyi1L + λ2hνy2i1L2 (1.35)
hxyi2 =hxyi1+ 2λhxνyi1+hyνxi1L + λ2hνxνyi1L2 (1.36)
On peut remarquer un fait très intéressant en observant les équations précédentes. En effet, peu importe le type de faisceau qui est analysé, il est toujours possible de décrire la propagation des moments spatiaux de second ordre à l’aide d’équations paraboliques. Cela implique que tout faisceau peut être caractérisé par une position où la largeur est minimale et autour de laquelle les moments de second ordre augmentent de manière quadratique. On fait référence à la position où la largeur du faisceau est minimale comme étant l’étranglement du faisceau. La figure 1.4 illustre l’évolution du rayon wx(z) d’un faisceau laser quelconque lors de sa
propagation libre selon l’axe z. D’abord, le paramètre w0x représente le rayon du faisceau à
l’étranglement et z0xreprésente la position de l’étranglement. On observe ensuite la longueur
de Rayleigh zRx, qui est définie comme étant la distance entre l’étranglement et l’endroit où
le faisceau s’est élargi d’un facteur√2. La longueur de Rayleigh permet de définir une limite entre le champ proche, où le faisceau ne diverge pas beaucoup, et le champ lointain caractérisé par une divergence plus importante. Enfin, on peut observer la divergence Θx qui, comme il a
x
z
z
0xΘ
xz
Rx√
2w
0xw
x(z)
w
0xFigure 1.4 – Illustration des principaux paramètres physiques définissant la propagation d’un faisceau en espace libre.
Après quelques manipulations des équations1.34et1.35, le rayon du faisceau à l’étranglement ainsi que la position de l’étranglement peuvent être déterminés en fonction des moments de second ordre et selon les axes x et y. Ces paramètres, ainsi que les principaux paramètres de la propagation d’un faisceau en espace libre, sont donnés au tableau1.1.
Paramètres Axe x Axe y
Rayon (w) 2phx2i 2phy2i Demi-angle de divergence (Θ) 2λphν2 xi 2λ q hν2 yi Rayon de courbure (R) 1 λ hx2i hxνxi 1 λ hy2i hyνyi Rayon à l’étranglement (w0) 2 s hx2i −hxνxi2 hν2 xi 2 s hy2i −hyνyi 2 hν2 yi Position de l’étranglement (z0) − 1 λ hxνxi hx2i − 1 λ hyνyi hy2i Longueur de Rayleigh (zR) 1 λ s hx2i hν2 xi − hxνxi2 hν2 xi2 1 λ s hy2i hν2 yi− hyνyi2 hν2 yi2
Tableau 1.1 – Paramètres de la propagation d’un faisceau en espace libre donnés en fonction des moments de second ordre.
Pour tout faisceau, le produit du rayon à l’étranglement et du demi-angle de divergence cor-respondant est invariant lors de la propagation de ce faisceau à travers un système optique stigmatique (formé seulement d’éléments sphériques) [53]. Étant donné cette propriété, le fac-teur de qualité de faisceau, dénoté par le symbole M2, est défini selon les axes x et y de la manière suivante : Mx2= π λw0xΘx ≥ 1 M 2 y = π λw0yΘy ≥ 1 (1.37) Les paramètres M2
x et My2 possèdent une limite inférieure qui est égale à l’unité.
Théori-quement, cette valeur minimale est atteinte lorsque le profil du faisceau analysé est de forme parfaitement gaussienne. En effet, la propagation des faisceaux gaussiens constitue le cas théo-rique idéal, et tout faisceau laser réel est caractérisé par un facteur de qualité de faisceau plus élevé que 1. On peut considérer que les valeurs M2
x et My2 indiquent "de combien de fois" un
faisceau réel a un produit w0Θplus élevé qu’un faisceau gaussien à la même longueur d’onde.
Ainsi, lorsque deux faisceaux de même longueur d’onde ont un rayon w0 identique à
l’étrangle-ment, celui possédant le facteur de qualité de faisceau le plus élevé est caractérisé par un angle de divergence plus prononcé. De même, lorsque deux faisceaux de même longueur d’onde ont un angle de divergence identique, celui possédant le facteur de qualité de faisceau le plus élevé est caractérisé par un rayon à l’étranglement plus important. La figure1.5permet d’observer ces deux cas de figure, où les propriétés d’un faisceau parfaitement gaussien (M2 = 1) sont
comparées aux propriétés d’un faisceau laser réel (M2 > 1).
Invariants du système
À partir de la matrice P des moments de second ordre, définie à l’équation 1.30, et de la loi de propagation qui lui est associée, on peut déterminer deux paramètres qui demeurent invariants lors de la propagation d’un faisceau dans tout système optique sans aberrations. D’abord, le premier invariant est le facteur de qualité de faisceau effectif M2
ef f, obtenu à l’aide de l’équation suivante : Mef f2 = 4π λ hdet(P)i 1/4 ≥ 1 . (1.38)
Tel que mentionné plus tôt, les facteurs de qualité de faisceau M2
x et My2 sont seulement
invariants lorsque le système optique est constitué d’éléments sphériques. Au contraire, le facteur de qualité de faisceau effectif M2
ef f défini par l’équation1.38demeure invariant lorsque
des éléments cylindriques ayant une orientation quelconque sont introduits dans le système. Tout comme dans la section précédente, la valeur minimale de 1 est atteinte dans le cas où le profil du faisceau analysé est parfaitement gaussien.
(a) M2= 1 M2> 1 (b) M2> 1 M2= 1
Figure 1.5 – Comparaison entre le comportement d’un faisceau gaussien (M2 = 1) et d’un faisceau réel (M2> 1) lors de leur propagation en espace libre(a) Lorsque les faisceaux ont
le même diamètre à l’étranglement, le faisceau réel a une divergence plus élevée que le faisceau gaussien(b)Lorsque la divergence des faisceaux est la même, le diamètre à
l’étranglement est plus élevé pour le faisceau réel que pour le faisceau gaussien. Le second invariant du système est nommé l’astigmatisme intrinsèque et est dénoté par la variable a. Ce paramètre est obtenu à l’aide de l’équation suivante :
a = 8π2 " hx2ihνx2i−hxνxi2 +hy2ihνy2i−hyνyi2
+2hxyihνxνyi−hxνyihyνxi
#
−(Mef f2 )2 ≥ 0 .
(1.39) Comme son nom le suggère, l’astigmatisme intrinsèque permet de caractériser l’astigmatisme d’un faisceau. La limite inférieure de zéro est donc associée à un faisceau parfaitement stigma-tique. Une discussion détaillée sur les différentes catégories de faisceaux (stigmatique, astig-matique simple, astigastig-matique général) se trouve à l’annexeB.
