d’un faisceau. La limite inférieure de zéro est donc associée à un faisceau parfaitement stigma- tique. Une discussion détaillée sur les différentes catégories de faisceaux (stigmatique, astig- matique simple, astigmatique général) se trouve à l’annexeB.
1.2
Méthode de mesure expérimentale des moments de second
ordre
Lorsque le profil du champ électrique d’un faisceau est connu en amplitude et en phase à un plan transverse donné, il est possible de déterminer toutes les propriétés concernant la propa- gation de ce faisceau à travers un système optique quelconque. Cela est réalisé en calculant les dix moments de second ordre du faisceau, comme il a été présenté à la section précédente. Dans le cas de la réalisation de simulations numériques, on peut facilement déterminer le module et la phase du champ électrique en tout point selon un plan transverse donné, ce qui rend le calcul des dix moments de second ordre réalisable. Cependant, lors des mesures en laboratoire, l’in- formation sur la phase d’un faisceau est difficile à obtenir et des techniques d’interférométrie doivent être utilisées pour y arriver. Au contraire, il est assez simple de mesurer la distribution de densité de puissance I(x,y) dans le plan transverse à l’aide d’une caméra. De ce fait, les techniques permettant de caractériser un faisceau en laboratoire reposent généralement sur la mesure de I(x,y).
Ces techniques sont basées sur le fait que pour tout type de faisceau, la propagation en espace libre des trois moments spatiaux de second ordre peut être décrite par des équations quadratiques. Étant donné ce comportement, on peut obtenir la plupart des moments de second ordre manquants en mesurant hx2i, hy2i et hxyi à différentes positions le long de l’axe z de
propagation du faisceau. En effet, en effectuant une régression de second degré pour chacun des moments spatiaux de second ordre, on obtient les constantes a, b et c correspondant à une fonction quadratique standard. Les trois équations suivantes, qui reprennent les équations
1.34, 1.35 et1.36, permettent de visualiser les moments de second ordre qui sont reliés aux constantes obtenues suite au calcul des régressions de second degré.
hx2i(z) = hx2i1 | {z } ax + 2λhxνxi1 | {z } bx z + λ2hνx2i1 | {z } cx z2 (1.40) hy2i(z) = hy2i1 | {z } ay + 2λhyνyi1 | {z } by z + λ2hνy2i1 | {z } cy z2 (1.41) hxyi(z) = hxyi1 | {z } axy + 2λ hxνyi1+hyνxi1 | {z } bxy z + λ2hνxνyi1 | {z } cxy z2 (1.42)
Grâce aux différents coefficients de la régression de second degré, on peut ainsi déterminer les paramètres hx2i, hxν
xi, hνx2i, hy2i, hyνyi, hνy2i, hxyi, hxνyi + hyνxi et hνxνyi. En pratique, la
mesure des moments spatiaux de second ordre en fonction de la position z peut s’avérer très complexe à réaliser étant donné le grand nombre de paramètres qui peuvent altérer les résultats
[54]. Il est donc nécessaire de suivre les recommandations données dans les normes ISO [45,46] afin de s’assurer de la validité des résultats. De façon générale, la mesure des moments spatiaux de second ordre nécessite d’abord que le faisceau analysé se propage de manière appropriée. En effet, afin d’obtenir une mesure valide, on doit échantillonner le faisceau autour de son étranglement et dans son champ lointain, où la caméra aura parcouru un minimum de deux longueurs de Rayleigh à partir de l’étranglement. Pour ce faire, il est nécessaire de faire passer le faisceau par une lentille convergente de manière à créer un étranglement artificiel. Par la suite, la méthode standard consiste à utiliser une caméra (de type CCD ou CMOS) placée sur un rail motorisé afin de mesurer les trois moments spatiaux de second ordre pour différentes positions le long de l’axe de propagation du faisceau, comme l’illustre la figure 1.6. Ce type de mesure est généralement nommé mesure de la caustique. En effectuant une régression de second degré à partir des résultats obtenus, il est finalement possible de déterminer la plupart des moments de second ordre du faisceau.
Laser
Lentille convergente Cam´era
Rail motoris´e
Figure 1.6 – Illustration de la technique de mesure des trois moments spatiaux de second ordre en fonction de la position le long de l’axe de propagation.
Huit des dix moments de second ordre peuvent être déterminés à l’aide à la méthode décrite précédemment. En effet, les moments hxνyi et hyνxi demeurent couplés et il est nécessaire
d’effectuer une mesure supplémentaire afin de les dissocier. Cette mesure peut être réalisée en brisant la symétrie du faisceau à l’aide d’une lentille cylindrique [46].
En effet, après avoir effectué la mesure des moments spatiaux de second ordre tel que décrit précédemment, une lentille cylindrique de focale f doit être placée à une distance f de l’étran- glement du faisceau. En orientant d’abord l’axe de la lentille selon l’axe x de laboratoire, la mesure du moment spatial hxyih doit être obtenue au plan focal de la lentille. Ensuite, on
doit tourner la lentille de 90° et mesurer le moment hxyiv, encore une fois au plan focal de la
lentille. Avec l’aide les deux nouveaux moments spatiaux obtenus, il devient alors possible de dissocier les moments mixtes hxνyi et hyνxi en utilisant les équations suivantes :
hxνyi = hxνyi1 +hyνxi1 2 + hxyiv− hxyih 2f (1.43) hyνxi = hxνyi1 +hyνxi1 2 − hxyiv− hxyih 2f (1.44) 24
Il est finalement pertinent de noter qu’il est possible d’omettre la mesure des moments mixtes hxνyi et hyνxi lorsque le faisceau analysé est classifié comme étant stigmatique ou astigmatique
simple (voir l’annexeBsur la classification des faisceaux). Dans ces cas spécifiques, on considère que hxνyi = hyνxi = 0.
1.3
Conclusion
L’objectif de ce chapitre a été de démontrer que tout faisceau laser peut être caractérisé par la méthode des moments. En effet, afin de décrire la propagation d’un faisceau arbitraire à travers un système optique quelconque, il suffit de calculer les dix moments de second ordre de ce faisceau dans un plan transverse donné. Les notions qui ont été présentées seront particulièrement utilisées au chapitre 4, qui porte sur l’analyse théorique des combinateurs de signal. Ce chapitre aura pour but de déterminer, par l’utilisation d’un outil de simulation numérique, quel est l’influence des différents paramètres de fabrication d’un combinateur sur le facteur de qualité de faisceau obtenu en sortie de celui-ci. Au terme des simulations qui seront réalisées, on pourra connaître le contenu modal qui se propage dans la fibre multimode en sortie du combinateur, mais le lien entre ce contenu modal et le facteur de qualité de faisceau qui lui est associé devra être déterminé en réalisant une analyse subséquente par la méthode des moments. En calculant les dix moments de second ordre du champ électrique obtenu en sortie de la fibre multimode, on pourra ainsi caractériser le comportement du faisceau issu du combinateur lors de sa propagation en espace libre et déterminer le facteur de qualité de faisceau correspondant. Enfin, les notions présentées sur la caractérisation expérimentale des faisceaux seront utilisées au chapitre 5, qui porte sur la réalisation de combinateurs de signal en laboratoire. Dans ce chapitre, on devra mesurer quel est le facteur de qualité de faisceau en sortie des différents combinateurs qui seront fabriqués. Pour ce faire, on effectuera la mesure de la caustique en utilisant un montage similaire à celui présenté à la figure 1.6afin d’obtenir les moments de second ordre du faisceau.
Chapitre 2
La fibre optique
À plusieurs reprises au cours de ce mémoire, de nombreuses notions concernant les fibres op- tiques seront utilisées afin d’expliquer les divers phénomènes concernant l’évolution du champ électrique à l’intérieur d’une fibre optique effilée ou d’un combinateur de signal. Ce chapitre a donc pour but d’exposer les principaux concepts qu’il est nécessaire de maîtriser afin de bien comprendre le contenu exposé dans ce mémoire.
Tout d’abord, la section 2.1 présentera la fibre optique à saut d’indice et les différents pa- ramètres permettant de caractériser celle-ci. La section 2.2 introduira ensuite l’équation ca- ractéristique qui permet de résoudre les différents modes supportés par une fibre optique à saut d’indice. Par la suite, la section 2.3 portera sur la classification des modes, alors que la section2.4abordera les concepts du confinement et de la coupure d’un mode. Pour continuer, la section 2.5 portera sur l’excitation modale et illustrera comment déterminer la puissance se propageant dans chacun des modes en fonction du champ électrique injecté dans une fibre optique. La section 2.6présentera ensuite le concept de fibre optique effilée, qui sera grande- ment utilisé dans les chapitres 3 et 4. Pour terminer, la section 2.7 abordera le sujet de la relation entre le contenu modal se propageant dans une fibre optique et le facteur de qualité de faisceau correspondant.
2.1
La fibre optique à saut d’indice
Les fibres optiques à saut d’indice sont les fibres optiques les plus connues et sont couramment qualifiées comme étant des fibres "standard". Ces fibres sont constituées d’un cœur cylindrique de rayon a ayant un indice de réfraction n1 entouré par une gaine de rayon b ayant un indice
de réfraction n2 plus faible que celui du cœur. Notons que dans la plupart des cas, b a.
La gaine est entourée à son tour par un revêtement de polymère, qui a généralement un indice de réfraction n3 plus élevé que celui du cœur et de la gaine. La figure 2.1 illustre une
coupe transverse d’une fibre optique à saut d’indice ainsi que le profil d’indice de réfraction correspondant.
(a)
a
b
Gaine Coeur Revˆetement de polym`ere (b)n(r)
r
a
b
n
1n
2n
3Figure 2.1 –(a) Coupe transverse d’une fibre optique à saut d’indice(b)Profil d’indice de réfraction correspondant.
Une manière simplifiée d’expliquer le fonctionnement des fibres optiques est de considérer que la lumière est guidée dans le cœur par réflexion totale interne. Un rayon lumineux qui frappe l’interface entre le cœur et la gaine avec un angle plus élevé que l’angle critique θc peut ainsi
être guidé par le cœur. Cet angle critique est déterminé en utilisant la loi de Snell-Descartes, et est donné par l’équation2.1.
θc= arcsin
n2
n1
!
(2.1) Après quelques manipulations simples, on peut déterminer que la lumière incidente sur une fibre avec un angle plus faible que l’angle θ0 pourra être guidée dans le cœur de cette fibre.
L’angle θ0 est déterminé à l’aide de la relation suivante, et est illustré à la figure2.2.
sin θ0<
q n2
1− n22 (2.2)
θ0
Figure 2.2 – Illustration du cône d’acceptance du cœur d’une fibre optique à saut d’indice. Enfin, il est courant d’exprimer l’angle d’acceptance du cœur d’une fibre optique à l’aide de l’ouverture numérique NA, donnée par l’équation ci-dessous :
N A = q
n2
1− n22 . (2.3)
Avant d’aborder la section portant sur l’équation caractéristique des modes supportés par une fibre optique, il est pertinent de définir deux derniers paramètres. Le premier est la fréquence normalisée V de la fibre optique :
V = 2π
λ aN A . (2.4)
La fréquence normalisée, qui est seulement fonction des caractéristiques de la fibre et de la longueur d’onde λ du signal injecté, constitue un élément clé dans l’analyse théorique des fibres optiques. Dans le cas des fibres à saut d’indice, ce paramètre permet notamment de déterminer le nombre de modes supportés par la structure.
Définissons finalement la différence d’indice normalisée ∆, qui est donnée par l’équation 2.5. Ce paramètre permet de décrire l’importance du saut d’indice d’une fibre optique.
∆ = n 2 1− n22 2n2 1 (2.5) Notons que tout au long des chapitres qui sont présentés dans ce mémoire, la notation utilisée pour qualifier une fibre optique sera de la forme (diamètre du cœur - diamètre de la gaine - ouverture numérique). Par exemple, une fibre optique qui a un diamètre de cœur de 10 µm, un diamètre de gaine de 125 µm et une ouverture numérique de 0.08 sera dénotée (10-125-0.08).