Les solutions de l’équation caractéristique donnée par l’équation2.15permettent de déterminer les constantes de propagation des différents modes que peut supporter une fibre optique à saut d’indice. Pour chacune des valeurs de v correspondant à l’ordre des fonctions de Bessel, il existe différentes solutions βvm, où m = (1,2,...) correspond à la mième racine de l’équation
caractéristique. Lorsque la constante de propagation βvmd’un mode particulier est déterminée,
il est ensuite possible, à l’aide d’expressions analytiques, d’obtenir chacune des composantes du champ électromagnétique constituant ce mode. Ces expressions, qui sont trop lourdes pour être présentées ici, peuvent être trouvées dans plusieurs ouvrages de référence [57].
Selon la valeur du paramètre ν, différentes familles de modes peuvent être définies. Il s’agit des modes transverses électriques et magnétiques TE et TM ainsi que des modes hybrides HE et EH. Ces familles de modes seront présentées dans les sections 2.3.1 et 2.3.2. De plus, sous certaines conditions, on peut définir une troisième famille où les différents modes sont caractérisés par un champ transverse polarisé linéairement. Il s’agit de la catégorie des modes LP, qui sera abordée à la section2.3.3.
2.3.1 Modes TE et TM
Les modes transverses électriques TE et transverses magnétiques TM sont obtenus lorsque l’ordre ν des fonctions de Bessel de l’équation caractéristique2.15est égal à zéro. En utilisant les propriétés des fonctions de Bessel, l’équation caractéristique devient alors :
" J1(u) uJ0(u) + K1(w) wK0(w) #" J1(u) uJ0(u) +n 2 2 n2 1 K1(w) wK0(w) # = 0 . (2.18)
En observant l’équation précédente, on remarque que l’égalité peut être vérifiée si l’un des deux termes entre crochets est égal à zéro. Par définition, l’équation caractéristique de la catégorie des modes TE0mest donné par :
" J1(u) uJ0(u) + K1(w) wK0(w) # = 0 . (2.19)
De plus, l’équation caractéristique de la catégorie des modes TM0mest donné par :
" J1(u) uJ0(u) +n 2 2 n2 1 K1(w) wK0(w) # = 0 . (2.20)
Contrairement aux modes hybrides caractérisés par un profil de champ électromagnétique complexe (voir section suivante), les modes TE et TM peuvent être décrits par un profil 32
beaucoup plus simple. En effet, on peut démontrer que les conditions suivantes sont toujours respectées pour ces catégories de modes :
— Modes TE0m: Er = Ez = Hφ= 0
— Modes TM0m: Eφ= Hr= Hz = 0 .
Le terme transverse électrique provient donc du fait que la composante longitudinale du champ électrique (Ez) des modes TE est toujours nulle, ce qui fait que le champ peut être décrit par
les composantes transverses Er et Eφ seulement. L’analogue est aussi valide pour le terme
transverse magnétique. Pour terminer, la figure 2.3 illustre les composantes transverses du champ électrique pour les modes d’ordre inférieur TE01 et TM01.
Figure 2.3 – Illustration des composantes transverses du champ électrique du mode TE01
(gauche) et du mode TM01 (droite).
2.3.2 Modes hybrides HE et EH
Dans le cas général où l’ordre ν des fonctions de Bessel apparaissant dans l’équation caracté- ristique 2.15 n’est pas égal à zéro, chacune des composantes du champ électrique (Er, Eφ et
Ez) et du champ magnétique (Hr, Hφ et Hz) est désormais non-nulle. On fait référence aux
modes appartenant à cette situation comme étant des modes hybrides. Les modes hybrides se divisent en deux catégories, selon les composantes Ez et Hz qui les constituent. Lorsque
la composante Ez d’un mode apporte une plus grande contribution au champ électromagné-
tique que la composante Hz, ce mode s’écrit HEνm. Au contraire, lorsque la contribution de la
composante Hz est plus importante que la composante Ez, le mode est désigné comme étant
EHνm.
Lorsqu’une fibre optique est parfaitement circulaire, il existe, pour chacun des modes hybrides, deux solutions pour lesquelles la constante de propagation est la même et où les profils du champ électromagnétique sont identiques, mais orientés différemment. Ces modes sont cou- ramment désignés comme étant les modes pairs (HE/EH)a
νm et les modes impairs (HE/EH)bνm.
La figure 2.4illustre la composante transverse du champ électrique des modes hybrides HE11
HE
a11
HE
b11HE
a21HE
b21Figure 2.4 – Illustration des composantes transverses du champ électrique des modes hybrides HEa
11 et HEb11 (haut) et HEa21 et HEb21 (bas).
2.3.3 Modes polarisés linéairement
Dans une fibre optique à saut d’indice, l’écart entre les indices de réfraction du cœur et de la gaine est généralement très faible, ce qui fait que la différence d’indice normalisée ∆ est beaucoup plus petite que l’unité. La valeur de ∆ pour une fibre typique à saut d’indice est de l’ordre de 10−3. Dans un tel cas, on peut utiliser l’approximation de faible guidage. Les
fondements de cette approximation proviennent du fait que l’équation caractéristique 2.15
prend une forme similaire pour toutes les familles de modes lorsque la différence d’indice entre le cœur et la gaine est très faible. Cette forme est donnée par l’équation suivante :
Jl(u)
uJl−1(u)
=− Kl(w)
wKl−1(w) (2.21)
où l est un entier qui peut prendre différentes valeurs selon la famille de modes analysée :
l =
1 pour les modes TE et TM ν + 1 pour les modes EH ν− 1 pour les modes HE .
En observant l’équation précédente, on constate que les familles de modes {TM0m, TE0m,
HE2m } et {HEν+1,m, EHν−1,m (ν ≥ 2) } ont toutes le même ensemble de solutions, ce qui
fait que leur constante de propagation βνm est la même. On dit alors que ces modes sont
dégénérés. Étant donné cette caractéristique, une nouvelle famille de modes peut être définie, formée à partir du nombre azimutal l et du nombre radial m, qui correspond à la mième racine
de l’équation caractéristique 2.21. Cette famille est obtenue en superposant linéairement le champ électromagnétique des différents modes dégénérés supportés par la fibre optique. On 34
obtient ainsi une base modale alternative, pour laquelle les champs transverses des différents modes sont polarisés linéairement. Ces nouveaux modes sont désignés à l’aide de la notation LPlm. Les règles suivantes sont alors utilisées afin de définir les différents modes LP supportés
par une fibre optique :
— Tout mode LP0mprovient d’un mode HE1m
— Tout mode LP1mprovient de la combinaison des modes TE0m, TM0m et HE2m
— Tout mode LPνmavec ν > 1 provient d’une combinaison des modes HEν+1,met EHν−1,m.
Il est possible de démontrer, dans le cas de l’approximation de faible guidage, que les compo- santes longitudinales Ezet Hzdu champ électromagnétique des différents modes sont beaucoup
plus faibles que les composantes transverses [57]. Dans un tel cas, on peut approximer que la composante longitudinale du champ électrique des modes LP est nulle. En considérant le fait que la polarisation de ces modes est linéaire, le champ électrique des modes LP s’écrit sous la forme scalaire suivante :
ψlm = E0 Jl(ur/a) Jl(u) sin(lφ) cos(lφ) pour r < a Kl(wr/a) Kl(w) sin(lφ) cos(lφ) pour r > a (2.22)
où ψlm représente le profil d’amplitude du mode LPlm et E0 représente l’amplitude complexe
du champ électrique. L’équation2.22contient un terme en sinus ou en cosinus, ce qui démontre que chacun des modes LPlm peut posséder deux profils différents de champ électrique, sauf
dans le cas des modes LP0m. De plus, pour chacun des profils de champ électrique, le champ
peut être polarisé selon deux directions perpendiculaires différentes. Il existe donc un total de quatre distributions de champ électrique possibles pour chacun des modes LPlm (ceux-ci sont
dégénérés quatre fois), sauf dans le cas des modes LP0m, où il n’en existe que deux (ils sont
dégénérés deux fois).