D20035. Vingt ans après
Dans un tétraèdre de volume V, 4 arêtes (3 à 3 non coplanaires) ont pour longueurs a, b, c, d. Quelle est la plus grande valeur possible de
V
(a+b+c+d)3 ? Solution
Ce problème était un exercice du concours général 1993.
Si un sommet appartenait à trois ou une seule des 4 arêtes de longueur donnée, 3 de ces arêtes seraient coplanaires ; il y en a deux en chaque som- met du tétraèdre, les 4 arêtes forment un quadrilatère gauche, et j’admets qu’elles se succèdent dans l’ordre a, b, c, d.
Soienteetf les longueurs des diagonales :esous-tendant la paire d’arêtes a, b et la paire d’arêtes c, d. A e donné, les triangles (désignés par leurs arêtes) abe et cde sont indéformables ; le tétraèdre est une pyramide de base abe, sa hauteur est la distance à cette base du sommet commun à c et d; c’est au plus la hauteur abaissée sur e dans le triangle cde. Ainsi, à a, b, c, d, e fixés, le volume maximal sera obtenu quand les plans des triangles abe etcdesont perpendiculaires.
Si l’on fixe seulement a, b, e et la somme c+d, on obtient la plus grande hauteur pourc=d; àa+betedonnés, l’aire de la baseabeest maximale pour a = b. Si l’on fixe seulement le périmètre p = a+b+c+d du quadrilatère gauche, le même raisonnement en supposant fixée la diagonale f montre que a = b = c = d = p/4, et conduit au volume V = e(p2 − 4e2)/96.
Sous la forme 48V /p3 = (2e/p)(1/2 − 2e2/p2), on voit que le carré (48V /p3)2 est le produit des facteurs 4e2/p2 et (1/2−2e2/p2) deux fois, de somme 1. Il est maximal quand ces 3 facteurs sont égaux, et vaut alors 1/27 ; d’où V /p3 =√
3/432 au plus.
Remarque.
Si sont fixées les longueurs a, b, c, d (au lieu de leur somme), le volume maximalV est solution d’une équation obtenue de la manière suivante. Les plans des trianglesabe et cde sont perpendiculaires dans la configuration optimale, où il reste à trouver la meilleure longueure. Le produit des aires de ces deux triangles est 3eV /2, car la hauteur de la pyramide de baseabe est la hauteur du trianglecde abaissée sur sa base e.
Utilisant la formule de Héron pour les aires des triangles, et notante2 =X, on a
(2(a2+b2)X−(a2−b2)2−X2)(2(c2+d2)X−(c2−d2)2−X2)−576V2X
=P(X) = 0.
Le déterminant d’élimination entreP(X) etP0(X) fournit l’équation (de degré 4 enV2) que satisfait V.
