FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES T 2012

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES – TERMINALES S 2012…

I) PROBABILITES ET STATISTIQUES: A. Généralités

Si A et B sont incompatibles : P(A
B) = P(A) + P(B) Dans le cas général :

P(A
B) = P(A) + P(B) – P(AB) P( = 1 – P(A) ; P(Ω) = 1 ; P(Ø) = 0

Dans le cas équiprobable, P(A) =    Ω Probabilité conditionnelle de B sachant A

PA(B) est défini par P(AB) = PA(B)P(A) Cas où A et B sont indépendants :

P(AB) = P(A)P(B)

Formule des probabilités totales

Si A1 ; … ; An forment une partition de Ω,

P(B) =  _ + _ + … + _  B. Variable aléatoire

Espérance mathématique : E(X) = ∑ _{ }_ Variance : V(X) = ∑ _{ } _   Ecart type σ(X) =   C. Coefficients binomiaux   _  1 !" _{  #}   $ %$_{&  %$  & ;} $ '$ ( 1_{ ( 1)  %}$_{& ( % ( 1&} $ D. Lois de probabilités

Loi de Bernoulli de paramètre  * [0 ; 1] X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilités P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p

E(X) = p ; V(X) = p(1 – p)

Loi binomiale B(n,p), n *
*, p* [0 ; 1] X peut prendre les valeurs entières 0, 1,…, n pour 0 , - , $, P(X = k) =%$-&pk(1 –p)n - k

E(X) = np ; V(X) = np(1 – p)

Loi uniforme sur [0 ; 1]

J étant un intervalle inclus dans [0 ; 1], P(J) = longueur de J

Loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞. dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement Pour 0 , / , 0,  

∈

∈

Loi normale centrée réduite N(0;1)

a<b, p(X*[a ; b]) = 4  √A!# BC CD 9 

pour tout réel α*]0 ; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que p(–uα  X  uα ) = 1 – α

u0,05≈1,96 et u0,01≈2,58. E(X) = 0 et V(X) = 1

Loi normale N(μ ; σ2)

X suit une loi normale N(μ ; σ2) si la variable aléatoire Z = E#F

G suit la loi normale N(0 ; 1) Si la variable aléatoire X suit la loi N(μ ; σ2), alors E(X) = μ et V(X) = σ2

p(X*[μ-σ ;μ+σ])≈ 0,68; p(X*[μ-2σ ;μ+2σ])≈ 0,95 et p(X*[μ-3σ ;μ+3σ])≈ 0,997

E. Statistiques

Moyenne, variance, écart-type N = ∑ $H_{ } ;  =  I∑ $H  ; V(x) =  I∑ $H     =  I∑ $H   σ(X) =   I = J  1,96H #H √ ;  ( 1,96 H #H √ M est

l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95

NO _√ ; O (_√P est l’intervalle de confiance de

p au niveau de confiance de 95%

II) NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE : A. Nombres complexes

Dans le repère orthonormal (O ; QRS, TS) le point M(x ; y) où x et y sont deux réels, a pour affixe z. Forme algébrique

z = x + iy. x = Re(z) = ρcosθ et y = Im(z) = ρsinθ

Module de z :

ρ = OM = |V|   ( W  √VV

Argument de z : arg z = θ [2π]

Forme trigonométrique et exponentielle :

z = ρ(cosθ + i sinθ) = X!Y, ρ>0 Conjugué V = x – iy = X!#Y _{; V ( V}[[[[[[[[  V ( VZ \ Z Produit et quotient zz’ = X!YXZ]^θ_ = XXZ]^ `aθ_ b b_ c] ^` c_d^`_ = ρ ρ_!Y#Y _

zn = (X!Y)n = (X!Y), n entier relatif Propriétés des modules

|VV|  |V||VZ_{|; |V|  |V|; e}b

b_e  _|b|b|__|

Propriétés des arguments arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2π] arg%b

b_& = arg(z) – arg(z’) [2π]

Formules de Moivre et applications Pour tout entier n non nul, !Y)n = !Y soit (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ Formules d’Euler

cos α = 

(!α( !#α, sin α = 

(!α !#α Si A et B ont pour affixe zA et zB alors RRRRRS a pour affixe zB – zA et AB = fVg – Vf

(RRRRRS; ijRRRRRS) = arg%bk#lm ln#lo& [2π] B. Géométrie

Produit scalaire de deux vecteurs non nuls du plan et de l’espace p RRRRRS · pRRRRRS = OA rOBrcosθ p RRRRRS · pRRRRRS  s p r pt uv pRRRRRS !" ptRRRRRRS w$" x! y!y! u!$u p r pt uv pRRRRRS !" ptRRRRRRS uw$" D! u!$u zw$"{/v{!|

Produit scalaire et coordonnées Si QRS et TS admettent pour coordonnées

respectives (x ; y ; z) et (x’ ; y’ ; z’) dans un repère orthonormal de l’espace alors

QRS · TS = xx’ + yy’ + zz’ et }QRS}=√QRS · QRS

QRS et TS sont orthogonaux si et seulement si

xx’ + yy’ + zz’ = 0

Si M(x ; y ; z) et M’(x’ ; y’ ; z’) alors MM’ = ~Z– ( WZ– W ( VZ– V Produit scalaire et norme

u_{•v =} 2 1 (u2 + v2 – u – v2) = 2 1 (u + v2 – u2 _{– v}2₎

Une équation cartésienne du plan P, de vecteur normal QRS (a ; b ; c) est ax + by + cx + d = 0 La droite D de vecteur directeur QRS (α ;β ;γ) passant par A(α’ ;β’ ;γ’) a pour représentation

paramétrique 

  €" ( € W  ‚" ( ‚ V  ƒ" ( ƒ|

III) ALGEBRE, TRIGONOMETRIE : A. Identités remarquables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 – b2 = (a + b)(a – b); a2 + b2 = (a +ib)(a –ib)

B. Equations du second degré

Soient a, b, c des réels, a „ 0, et Δ = b2 – 4ac L’équation az2 + bz + c = 0 admet :

- si Δ > 0, deux solutions réelles

z1 = #9… √∆

 et z2 = #9# √∆



- si Δ = 0, une solution réelle double

z1 = z2 = #9_

- si Δ < 0, deux solutions complexes conjuguées

z1 = #9… √#∆_ et z2 = #9# √#∆_ Dans tous les cas :

az2 + bz + c = a(z – z1)(z – z2)

C. Trigonométrie

Dans le repère (O; pRRRRRRS,pRRRRRS) M a pour coordonnées (cos α , sin α), soit x = cos α , y = sin α.

sin² α + cos² α = 1 tan α = ‡α >ˆ‡α, α „ π .2π3 Formules d’addition

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a Valeurs remarquables 0 Š 6 Š4 Š3 Š2 π sin 0 1 2 √22 √32 1 0 cos 1 √3 2 √22 1 2 0 -1 IV) ANALYSE : A. Dérivées et primitives

1. Dérivées et primitives des fonctions usuelles

f(x) f’(x) k 0 x 1 xn n xn 1  1  Ž, n 
* - Ža

√ 1 2√ ln x 1  ! _! cos x - sin x sin x cos x 2.Opérations sur les dérivées

(u + v) ‘ = u’ + v’ ; (ku)’ = k u’, k constante réelle (uv)’ = u’v + uv’ ; 

‘   ‘Z ‘C ; %’_‘& Z  ’_‘ –’‘Z_‘C ; (eu)’ = u’eu ; (un)’ = nu’un – 1 (ln u)’ = ’Z ’ si u > 0 ; (ln u)’ = – ’Z ’ si u < 0

B. Propriétés algébriques des fonctions logarithme et exponentielle ln x = 4 “ “   , x >0 ; ln 1 = 0 ; ln e = 1 ln ab = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a – ln b log x = ”•  – ; ln/ = n ln a avec n

∈

1. Fonctions Comportement à l’infini lim …∞ln x = +∞ ; …∞lim ! = +∞ ; #∞lim ! = 0 Comportement à l’origine lim  ln x = -∞

Croissances comparées à l’infini lim …∞ ]   = +∞ ; lim #∞! = 0 ; …∞lim ”•   = 0 Limites particulières lim  ”• …  = 1 ; lim ]B#  = 1 ; lim ‡  = 1 2. Suites Si q > 1, lim …∞ž = +∞ ; si -1 < q < 1, …∞lim ž=0 D. Calcul intégral

Si F est une primitive de f, alors 4 O "D"_9 = F(b) – F(a)

Si g(x) = 4 O "D"_ , alors g’(x) = f(x) et g(a) = 0 Relation de Chasles

4 O "D"_> = 4 O "D"_9 + 4 O "D"₉> 4 O "D"_9 = –4 O "D"₉ Linéarité 4 -O " ( -Ÿ "D"_9 = k4 O "D"_9 + k’4 Ÿ "D"_9 Positivité Si a , b et 0 , f alors 0 , 4 O "D"_9 Ordre Si a , b et f , g alors 4 O "D"_9 , 4 Ÿ "D"_9 La valeur moyenne de f sur [a ; b] est



9#4 O "D" 9



E. Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques Premier terme u0 ; un+1 = un + r ; un = u0 + nr ∑ Q  = $ ( 1’ …’_ Ž Suites géométriques Premier terme u0 ; un+1 = qun ; un = u0 qn si q„1, ∑ Q_{ } = u0#¡ Ža #¡ V) SPECIALITE : TS Congruences

Pour tout entier relatif a et b et tout entier naturel non nul p ; n entier naturel supérieur ou égal à 2,

si a ≡ b [n] et a’ ≡ b’ [n] alors

a + a’ ≡ b + b’ [n] ; a – a’ ≡ b – b’ [n] ; aa’ ≡ bb’ [n] ; ap ≡ bp [n]