FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES

FORMULAIRE DE MATH´EMATIQUES, S´erie STI (toutes sp´ecialit´es)

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES

I. PROBABILIT ´ ES

SiAetB sont incompatibles : P(A∪B) =P(A) +P(B)

Dans le cas g´en´eral : P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

P A

= 1−P(A) ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0

Dans le cas ´equiprobable : P(A) =Nombres d’´el´ements deA Nombres d’´el´ements de Ω

Variable al´eatoire

Fonction de r´epartition : F(x) =P(X≤x) Esp´erance math´ematiques : E(X) =

n

X

i=1

pixi

Variance : V(X) =

n

X

i=1

pi(xi−E(X)) 2 =

n

X

i=1

pixi2−(E(X)) 2 Ecart type :´ σ(X) =p

V(X)

II. ALG ` EBRE

A. Nombres complexes

Forme alg´ebrique : z=x+iy

Forme trigonom´etrique : z=ρ(cosθ+isinθ) =ρe^iθ, ρ >0

M(z)

P Q

~ u

~ v O

θ ρ

−−→OM =x~u+y~v

OP =x=<(z) =ρcosθ OQ=y==(z) =ρsinθ OM =ρ=|z|=√x2 +y2

Op´erations alg´ebriques

z+z⁰= (x+iy) + (x⁰+iy⁰) = (x+x⁰) +i(y+y⁰) zz⁰= (x+iy)(x⁰+iy⁰) = (xx⁰−yy⁰) +i(xy⁰+x⁰y)

.

Conjugu´e

z=x+iy=ρe^iθ ; z=x−iy=ρe^−iθ x= 1

2(z+z) ; y= 1 2i(z−z) z+z⁰=z+z⁰ ; zz⁰=zz⁰ zz⁰=x²+y²=|z|²

1 z = z

zz = x

x²+y² +i −y x²+y² = 1

ρe^−iθ

Module et argument d’un produit, d’un quotient zz⁰= ρe^iθ

ρ⁰e^iθ0

=ρρ⁰e^i(θ+θ0)

|zz⁰|=|z||z⁰| z

z⁰ = ρe^iθ ρ⁰e^iθ0 = ρ

ρ⁰e^i(θ−θ0)

z z⁰ = |z|

|z⁰| zⁿ= ρe^iθn

=ρⁿe^inθ, n∈ZZ In´egalit´e triangulaire

||z| − |z⁰|| ≤ |z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰|

B. Identit´ es remarquables

(valables surCet donc surR)

(a+b)²=a²+ 2ab+b² ; (a−b)²=a²−2ab+b² (a+b)³=a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

(a−b)³=a³−3a²b+ 3ab²−b³

a²−b²= (a+b)(a−b) ; a²+b²= (a+ib)(a−ib)

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C. Trigonom´ etrie

M

P Q

θ

OP = cosθ OQ= sinθ cos 2θ+ sin 2θ= 1 tanθ= sinθ

cosθ, θ6= π 22kπ

Valeurs remarquables

0 π

6

π 4

π 3

π

2 π

sin 0 1

2

√2 2

√3

2 1 0

cos 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

tan 0

√3

3 1 √

3 0

Formules d’Euler cosθ=¹₂ e^iθ+e^−iθ

,sinθ= _2i¹ e^iθ−e^−iθ

Formules d’addition

e^i(a+b)=e^iae^ib

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb sin(a−b) = sinacosb−cosasinb

cos 2a= cos²a−sin 2a= 2 cos 2a−1 = 1−2 sin²a sin 2a= 2 sinacosa

cos²a= 1

2(1 + cos 2a) ; sin²a= 1

2(1−cos 2a)

Formules de Moivre

Pour tout entier naturel non nuln, e^iθn

=e^inθ soit encore (cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ

D. Equations du second degr´ ´ e

Soienta,b,cdes nombres r´eels,a6= 0 et ∆ =b²−4ac.

l’´equationaz²+bz+c= 0 admet : - si ∆>0, deux solutions r´eelles :

z1= −b+√

∆

2a etz2=−b−√

∆ 2a - si ∆ = 0, une solution r´eelle double :

z1=z2=−b 2a

- si ∆<0, deux solutions complexes conjugu´ees :

z1=−b+i√

−∆

2a etz2=−b−i√

−∆ 2a Dans tous les cas : az²+bz+c=a(z−z1) (z−z2). z1+z2=−b

a , z1z2= c a

E. Suites arithm´ etiques, suites g´ eom´ etriques

Suites arithm´etiques

Premier termeu0 ; un+1=un+a ; un=u0+na

1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1) 2

Suites g´eom´etriques

Premier termeu0 ; un+1=bun ; un=u0bⁿ

Sib6= 1, Sn= 1 +b+b2 +· · ·+bⁿ= 1−bⁿ⁺¹ 1−b Sib= 1, Sn=n+ 1

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III. ANALYSE

A. Propri´ et´ es alg´ ebriques des fonctions usuelles

1. Fonctions logarithme et exponentielle ln 1 = 0

lne= 1

ln(ab) = lna+ lnb lna

b

= lna−lnb

Six∈]−∞; +∞[ ety∈] 0 ; +∞[, y= expx=e^x ´equivaut `ax= lny e⁰= 1

e^a+b=e^ae^b e^a−b=e^a

e^b

a^x=e^xlna (a >0) (e^a)^b=e^ab

lna^x=xlna

2. Fonctions puissances x^α=e^αlnx (x >0)

x⁰ = 1

x^α+β=x^αx^β

x^α−β= x^α x^β

(x^α)^β=x^αβ

Sin∈N^∗,x∈[ 0; +∞[ ety∈[ 0; +∞[ y= √ⁿ

x ´equivaut `ax=yⁿ

B. Limites usuelles des fonctions

1. Fonctions

Comportement `a l’infini

x→lim+∞lnx= +∞

x→lim+∞e^x= +∞

x→−∞lim e^x= 0 Siα >0, lim

x→+∞x^α= +∞et siα <0, lim

x→+∞x^α= 0

Croissances compar´ees `a l’infini

x→lim+∞

e^x x = +∞

x→−∞lim xe^x= 0

x→lim+∞

lnx x = 0 Siα >0, lim

x→+∞

e^x x^α = +∞ Siα >0, lim

x→+∞x^αe^−x= 0 Siα >0, lim

x→+∞

lnx x^α = 0

Comportement `a l’origine

x→lim0lnx=−∞

Siα >0, lim

x→0x^α= 0 et siα <0, lim

x→0x^α= +∞

Comportement `a l’origine deln(1 +x),e^x, sinx

h→lim0

ln(1 +h)

h = 1

h→lim0

e^h−1 h = 1

hlim→0

sinh h = 1

2. Suites (S´ERIES STI, sp´ecialit´es g´enie ´electronique et g´enie ´electrotechnique) Sik >1, lim

n→+∞kⁿ= +∞ ; Si 0< k <1, lim

n→+∞kⁿ= 0

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C. D´ eriv´ ees et primitives

1. D´eriv´ees et primitives des fonctions usuelles

f(x) f⁰(x) Intervalle de validit´e

k 0 ]− ∞,+∞[

x 1 ]− ∞,+∞[

xⁿ, n∈N^∗ nxⁿ⁻¹ ]− ∞,+∞[ 1

x − 1

x2 ]− ∞,0[ ou ]0,+∞[ 1

xⁿ, n∈N^∗ − n

xⁿ⁺¹ ]− ∞,0[ ou ]0,+∞[

√x 1

2√x ]0,+∞[

x^α, α∈R αx^α−1 ]0,+∞[

lnx 1

x ]0,+∞[

e^x e^x ]− ∞,+∞[

cosx −sinx ]− ∞,+∞[

sinx cosx ]− ∞,+∞[

2. Op´erations sur les d´eriv´ees

(u+v)⁰=u⁰+v⁰ (ku)⁰=k u⁰ (uv)⁰=u⁰v+uv⁰ 1

u ⁰

=−u⁰ u2 u

v ⁰

=u⁰v−uv⁰ v2 (v◦u)⁰= (v⁰◦u)u⁰ (e^u)⁰=e^uu⁰ (lnu)⁰= u⁰

u, u`a valeurs strictement positives (u^α)⁰=nu^α−1u⁰

D. Calcul int´ egral

SiF est une primitive def, alors Z b

a

f(t) dt=F(b)−F(a) Formule de Chasles

Zc

a

f(t) dt= Z b

a

f(t) dt+ Z c

b

f(t) dt Za

b

f(t) dt=− Z b

a

f(t) dt

Lin´earit´e Zb

a

(αf(t) +βg(t)) dt=α Z b

a

f(t) dt+β Z b

a

g(t) dt

Positivit´e

Sia≤betf≥0, alors Z b

a

f(t) dt≥0

Int´egration d’une in´egalit´e Sia≤betf≤g, alors

Z b

a

f(t) dt≤ Z b

a

g(t) dt

Sia≤betm≤f≤M, alorsm(b−a)≤ Z b

a

f(t) dt≤M(b−a)

Valeur moyenne def sur [a, b] : 1 b−a

Z b

a

f(t) dt

E. Equations diff´ ´ erentielles

Equations´ Solutions sur intervalle ]− ∞,+∞[

y⁰−ay= 0 f(x) =ke^ax

y⁰⁰+ω²y= 0 f(x) =Acosωx+Bsinωx