Primitives
1`ereST I2D1 Rappel sur les d´ eriv´ ees
Deux exercices d’entraˆınement, sous forme de QCM : QCM 1 et QCM 2
et une s´erie d’exercices de calculs de fonctions d´eriv´ees compl`etement corrig´ee et d´etaill´ee sans oublier, bien sˆur, l’ application `a l’´etude du sens de variation de fonctions
2 Primitive d’une fonction
D´efinition On appelle primitive d’une fonction f sur un intervalle I, toute fonction F dont la d´eriv´ee sur I est f.
En d’autres termes,
F primitive de f ⇐⇒ F′ =f Exemples :
a) F(x) =x3 est une primitive de f(x) = 3x2, car F′(x) = 3x2.
b) Une primitve de f(x) = 6xest F(x) = 3x2 car, on a bien F′(x) = 3×2x= 6x=f(x).
Les fonctions d´efinies par F(x) = 3x2+ 12 et F(x) = 3x2−25 sont aussi des primitives de f car la d´eriv´ee d’une constante ajout´ee est nulle.
c) Une primtive de la fonction f(x) = 2x−5 est donn´ee par F(x) = x2−5x car on obtient en d´erivant F′(x) =x2−5 =f(x).
d) On cherche une primitive de g(x) = 6x2.
On sait qu’on obtient la partie ”x2” en d´erivant x3.
Plus pr´ecis´ement, la d´eriv´ee de x3 est 3x2. Pour obtenir g(x) il reste donc `a multiplier par2.
Ainsi, G(x) =2×x3 est une primitive de g,
car on a bien en d´erivant,G′(x) =2×3x2 = 6x2 =g(x).
e) Soith(x) = 2
x2, alors comme la d´eriv´ee de 1
x est − 1
x2 on voit qu’il suffit cette fois de multiplier par-2: soit H(x) =−2×1
x, alors H′(x) =−2×−1
x2 = 2
x2 =h(x). et donc H =−2
x est une primitive de h(x) = 2 x2.
M´ ethode g´ en´ erale :
On recherche une primitive d’une fonction donn´ee en cherchant dans les tableaux des d´eriv´ees des fonctions usuelles et op´erations sur les d´eriv´ees.Ensuite, on modifie ´eventuellement la primitive propos´ee enmultipliant par une constante.
Enfin, on calcule la d´eriv´ee de la fonction propos´ee comme primitive pour v´erifier qu’on obtient bien la fonction de d´epart.
Exemple : Soit f(x) = 5x3. On obtient x3 en d´erivant x4.
Plus pr´ecis´emenent, la d´eriv´ee de x4 est 4x3 et donc, pour obtenir finalement 5x3, il suffit de multiplier par 5 et diviser par 4, soit F(x) = 5
4x4. En d´erivant, on obtient bien : F′(x) = 5
4×4x3 = 5x3 =f(x), et F est ainsi bien une primitive de f.
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Th´eor`eme Si F est une primitive de la fonction f, alors toutes les primitives de f s’´ecrivent sous la forme F +k, o`u k est une constante r´eelle quelconque.
Exemple : F(x) = 3x2+ 1
x est une primitive de f(x) = 6x− 1 x2. G(x) =F(x) + 3 = 3x2+1
x+ 3 est aussi une primitive, tout comme H(x) =F(x)−12,5 = 3x2+1
x−12,5.
Toutes les primitives de f sont donn´ees par
F(x) = 3x2+ 1 x +k pour k une constante r´eelle quelconque.
3 Primitives des fonctions usuelles
3.1 Primitives de polynˆ omes
Propri´et´e Une primitive de la fonction f d´efinie par f(x) =xn, pour un entier naturel n, est F(x) = 1
n+ 1xn+1 Exemples :
— Pour n= 0, une primitive de f(x) =x0 = 1 estF(x) = 1
1x1 =x
— Pour n= 1, une primitive de f(x) =x1 =x est F(x) = 1 2x2
— Pour n= 2, une primitive de f(x) =x2 est F(x) = 1 3x3
— Pour n= 3, une primitive de f(x) =x3 est F(x) = 1 4x4
— ...
Pour trouver une primitive d’un polynˆome, on applique la propri´et´e pr´ec´edente `a chacun des termes, par exemple, pour le polynˆome
f(x) = x5 + x3 + x F(x) = 1
6x6 + 1
4x4 + 1
2x2 + k pour tout constante r´eelle k.
Exercice1 D´eterminer les primitives des polynˆomes suivants : a)f(x) =x8+x2 b)f(x) = 3x2+5x+1 c) f(x) =x9 −3x2+ 2 d) f(x) =−5x5+ 3 e) f(x) = x4
3 −12x2+3
2 g)f(x) =−4
3x3+ 6x
3.2 Autres fonctions
Exercice 2 D´eterminer dans chaque cas les primitives des fonctions suivnates : a)f(x) = 15x2−1 3x+ 2 b) f(x) =−3x+ 1
4x3 c) f(x) = 1
x2 + 3x d) f(x) =−2 3x+ 3
x2 e)f(x) =− 1 (x−2)2 f) f(x) = 3
(2x−3)2 g) f(x) = 5
(−2x+ 1)2 + 3 h) f(x) = 2x(x2+ 3) i)f(x) = (x+ 2)3 j) f(x) = (3x−2)4 k) f(x) =x2(x3+ 5)3 l) f(x) = cos(x) m) f(x) = sin(x) o) f(x) = cos(3x) p) f(x) = 1−cos(2x) q) f(x) = cos
3x+π 2
r)f(x) =−3x+ sin 1
2πx
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3.3 Unique primitive v´ erifiant une condition
Toutes les primitives d’une mˆeme fonction sont d´efinies `a une constante additive pr`es. Imposer de plus une condition sur la primitive permet de d´eterminer cette constante.
Exemple : D´eterminer la primitive F def(x) = 3x2+ 4x+ 1 v´erifiant de plus F(1) = 0.
f est un polynˆome, et pour tout constante k,F(x) =x3 + 2x2+x+k en est une primitive.
Maintenant,
F(1) = 0 ⇐⇒ 13+ 2×12+ 1 +k = 0
⇐⇒ 4 +k= 0 ⇐⇒ k=−4
Ainsi, F(x) =x3 + 2x2+x−4 est l’unique primitive def telle que F(1) = 0.
Exercice 3 Dans chaque cas, d´eterminer la primitive F de f v´erifiant la condition donn´ee : a) f(x) =−2x+ 4, et F(2) = 3
b) f(x) = 8x3−3x, et F(1) = 2 c) f(x) = 1
(x+ 1)2 + 1, et F(0) = 2 d) f(x) = 2 cos(2x) + 2, et F π
4 = 1
4 Calculs d’aire et int´ egrales
D´efinition Soit f une fonction positive sur [a;b] alors l’aire du domaine
D =
M(x;y) tel que
06x6 2 et 06y6f(x)
est l’int´egrale de f entre a et b, not´e Z b
a
f(x)dx. a b
Cf
Propri´et´e Soit f une fonction positive sur [a;b] et F une primitive de f, alors on a Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
ExempleSoit f(x) =x2. L’aire du domaince hachur´e ci-contre est donc
A= Z b
a
f(x)dx=F(2)−F(0) Ici une primitive de f est F(x) = 1
3x3, et alors F(2) = 1
3 ×23 = 8 et F(0) = 0. 3
L’aire est donc A= 8 3.
0 2
Cf
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Exercice 4 Calculer l’aire du domine hachur´e ci-contre, o`u la courbe est celle de la fonction d´efinie par f(x) = 0.5x+ 1.
−2 2
Exercice 5 Calculer l’aire du domine hachur´e ci-contre, o`u la courbe est celle de la fonction d´efinie par f(x) = cos(x) + 1.
−π π
Exercice 6 Dans un rep`ere orthonorm´e, on consid`ere le domaine D compris entre les courbes d’´equations y=√
x et y=x2. D´eterminer l’aire du domaine D.
(On pourra se rappeler que √
x = x1/2, donc de la forme xn, afin de chercher une primitive)
O 1
1
Exercice 7 Calculer l’aire du domaine, hachur´e sur la figure ci- contre, d´elimit´e par les courbes repr´esentatives des fonctions f et g d´efinies par f(x) =x3+ 4 et g(x) = 3x2.
−1 2
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