Espace de Bergman

3.5 Espace de Bergman du disque unité

Référence :F. Bayen, C. Margaria, Espaces de Hilbert et opérateurs, Ellipses, 1986. Leçons concernées : 201, 202, 205, 208, 209, 213, 234, 243, 245.

On définit l’espace de Bergman B2_{pDq :“ HpDq X L}2_{pDq l’ensemble des fonctions}

ho-lomorphes sur le disque unité ouvert D de carré intégrable sur D. On munit cet espace du produit scalaire p.|.q de L2 _{et de la norme ||.||}

2 induite. On commence par montrer

Lemme 1. Pour tout K compact de D, pour tout f P B2_pDq,

||f||8,K § ?_{⇡ d}||f||_{pK, S}2 1_q

Démonstration. Soit a P D, et soit r ° 0 tel que Dpa, rq Ä D. Par formule de la moyenne, pour 0 § ⇢ § r, fpaq “ 1

2⇡

≥2⇡

0 fpa ` ⇢ei✓q d✓ et donc, en multipliant par ⇢ et en intégrant

par rapport à ⇢ : r2 2fpaq “ ªr 0 f_{paq⇢ d⇢ “} 1 2⇡ ªr 0 ª2⇡ 0 f_{pa ` ⇢e}i✓_{q⇢ d⇢ d✓ “} 1 2⇡ ª Dpa,rqfpzq dz. Ainsi, fpaq “ 1 ⇡r2 ≥

Dpa,rqfpzq dz et par inégalité de Hölder,

|fpaq| § _⇡r12 ˜ª Dpa,rq|fpzq| 2 _dz ¸1{2˜ª Dpa,rqdz ¸1{2 § _⇡r12 ? ⇡r2_||f|| 2“ ||f||? 2 ⇡r. On fait alors tendre r vers dpa, S1_{q, et on conclut avec dpa, S}1_{q • dpK, S}1_{q pour a P K.}

On utilise le lemme pour montrer la complétude de l’espace B2_pDq.

Proposition 2. L’espace de Bergman B2_{pDq est un espace de Hilbert.}

Démonstration. On considère pfnqnune suite de Cauchy dans B2pDq. Pour tout K compact

de D, on a, d’après le lemme, pour tous m, n • 0,

||fn´ fm||8,K § ?||f_{⇡ d}n´ f_{pK, S}m||12_q

et donc par hypothèse, pfnqn vérifie le critère de Cauchy uniforme sur tout compact de D

donc converge uniformément sur tout compact de D vers f P HpDq d’après le théorème de Weierstrass. D’autre part, puisque L2_{pDq est complet d’après le théorème de Riesz-Fischer,}

il existe g P L2_{pDq telle que f}

n converge dans L2pDq vers g. De plus, d’après ce théorème,

il existe ' : N Ñ N strictement croissante telle que pf'pnqqn converge presque partout vers

g dans D. Ainsi, par unicité de la limite simple, presque partout dans D, f “ g et donc f P L2pDq X HpDq “ B2pDq.

On va enfin exhiber une base hilbertienne de l’espace B2_{pDq. On pose, pour n • 0,}

en:

D Ñ C

z _fiÑ bn`1_⇡ zn_.

Proposition 3. La famille penqn est une base hilbertienne de B2pDq.

Démonstration. On commence par montrer que la famille est orthonormée : si n, m • 0, on a pen, emq “ ª D c n_{` 1</sub> ⇡ z n c m<sub>` 1} ⇡ z m _{dz “} a pn ` 1qpm ` 1q ⇡ ª1 0 ª2⇡ 0 rn`mei✓pn´mqr d✓ dr par changement de variables. On conclut alors avec≥2⇡

0 ei✓pn´mqd✓“ 2⇡ mn et

≥1

0r2n`1 dr“ 1

2pn`1q.

On montre maintenant que la famille est totale, en utilisant le critère de densité : on montre que pVectpen, n • 0qqK “ t0u. Soit f P pVectpen, n • 0qqK. La fonction f est

développable en série entière au voisinage de 0, on écrit alors, pour z P D, fpzq “∞8_k“0akzk.

Pour tout 0 † r † 1, la série de droite est normalement convergente sur le disque fermé D_{p0, rq. Alors, pour n • 0,} cn“ pen, fq “ 0 “ c n_{` 1</sub> ⇡ ª Dz n<sub>fpzq dz “</sub> c n<sub>` 1} ⇡ rlimÑ1 ª |z|†rz n_{fpzq dz} “ c n_{` 1</sub> ⇡ rlimÑ1 ª |z|†r 8 ÿ k“0 akznzk dz“ c n<sub>` 1} ⇡ rlimÑ1 8 ÿ k“0 ª |z|†rakz n_zk _dz

par convergence dominée et puisque sur Dp0, rq la série∞8k“0akzkest normalement

conver-gente. Or, _ª |z|†rz n_zk _dz“ 2⇡rn`k`2 n_{` k ` 2} k n“ ⇡r2n`2 n<sub>` 1</sub> k n. Ainsi, cn“ b ⇡ n`1anlimrÑ1r2n`2 “ b ⇡

n`1an“ 0, et donc an“ 0 pour tout n et f “ 0 sur

D ce qui termine la preuve.

Remarque. Puisque les coefficients d’un vecteur dans une base hilbertienne sont de carrés sommable, si f P B2_{pDq, f “}∞

n•0anzn, alors ∞n•0|an|2 ⇡<sub>n`1</sub> † `8