Vitesses en fin de pale

6

-Rθ. s / (x 0Ω)

Points expérimentaux Modèle analytique Fit : y=5/2x-1.0

Figure4.12 – Vitesse angulaire en fin de phase de rebonds en fonction du coefficient de restitution et du frottement pour les billes plastiques.

On retrouve la variation lin´eaire de la vitesse angulaire avec x0Ω et 5/2µ(1 + rn)/(1−rn) pour les pales P1 et P3 (et une variation lin´eaire avec 5/2µ^∗(1+rn)/(1− r_n) pour les autres pales). Mais contrairement `a ce que pr´evoit le mod`ele analytique, les valeurs exp´erimentales sont inf´erieures de 1.0x0Ω. L’´equation interpol´ee s’´ecrit :

Rθ˙_s−EXP =x0Ω− 5

2x0Ωµ1 +r

1−r (4.59)

Il est possible que cet ´ecart soit dˆu `a un effet de la vitesse angulaire apr`es le pre-mier impact, suppos´ee nulle dans le mod`ele analytique : Rθ˙0 = 0. En effet, sur la figure 3.5, on observe, apr`es le premier impact, d’une part que la vitesse angulaire n’est pas nulle, mais d’autre part qu’elle est n´egative (−Rθ˙₀ <0) : autrement dit la particule tournerait “`a l’envers”. Ceci peut s’expliquer par un effet de la compliance tangentielle lors d’un contact roulant. En effet, pour des angles d’incidence avec la normale inf´erieurs `a 30˚, l’effet de la compliance tangentielle n’est plus n´egligeable [Gorham and Kharaz, 2000]. Or, lors du premier impact, l’angle d’incidence est de 0˚ ; les angles d’incidence des impacts suivants sont toujours sup´erieurs `a 30˚(cf.

Tab. 3.1).

Notre mod`ele analytique est valide pour les contacts glissants. Pour les contacts roulants, il faudrait prendre en compte la compliance tangentielle, en int´egrant le troisi`eme param`etre β dans les mod´elisations. Cependant, on souhaite garder la simplicit´e du mod`ele `a deux param`etres (rn etµ). Une mani`ere simplifi´ee de prendre en compte la compliance tangentielle au premier impact, est d’utiliser dans la suite, l’´equation 4.59.

4.4.3 Vitesses en fin de pale

Dans cette partie, on utilise le frottement de Coulomb (Tab. 2.1) car dans la phase de collage, les chocs sont inexistants. Le frottement de Coulomb est donc plus

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appropri´e pour reproduire la dynamique d’une particule en contact avec la pale.

A partir des Eqs. 4.50 et 4.51, on approxime les vitesses en sortie de pale `a la position xe :

˙

xe = Ω(−µ+p

µ²+ 1)(xe+µR) (4.60)

Rθ˙_e = 5µΩ(x_e−x_s) +Rθ˙_s (4.61) On observe que l’´equation de la vitesse selon ~ex^′ (Eq. 4.60) est ind´ependante de la position initiale x0 et du coefficient de restitution rn.

La Fig. 4.13 repr´esente les vitesses ˙xe selon ~ex^′ et les vitesses angulaires Rθ˙e

exp´erimentales, `a la position xe, en fonction de µ. On compare les points obtenus avec le mod`ele de dynamique mol´eculaire (en trait plein sur la figure).

0 0,2 0,4 0,6 0,8

µ 40

50 60 70 80

V à 25cm / ( RΩ )

Roule Roule + Glisse

Points expérimentaux x’_e Points expérimentaux Rθ’

e

Figure 4.13 – Vitesse selon ~ex^′ et vitesse angulaire en fin de pale en fonction du coefficient de frottement pour les billes plastiques. Les courbes en trait plein sont issues du mod`ele de dynamique mol´eculaire.

Les fluctuations sur les vitesses angulaires, `a frottement donn´e, sont dues aux variations de position initiale x0. Comme pr´evu par le mod`ele analytique, au-del`a d’un frottement critique, les vitesses ˙xe et les vitesses angulaires Rθ˙e s’´egalisent `a une valeur constante. On observe que le mod`ele de dynamique mol´eculaire reproduit raisonnablement bien les points exp´erimentaux (au maximum 10% d’erreur).

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4.5 Conclusions

Ce chapitre mod´elise la trajectoire d’une particule le long d’une pale rotative.

On s’est attard´e `a d´ecrire m´ethodiquement la trajectoire compl`ete, c’est-`a-dire la phase de saut puis le contact permanent. La nouveaut´e de l’´etude vient du fait que les pr´ec´edentes mod´elisations n´egligeaient la phase de rebonds. Or, cette phase est importante car elle fournit les conditions initiales de la phase de collage, qui elle-mˆeme fournit les conditions initiales du vol balistique. Notre ´etude est valable dans la limite o`u les collisions glissantes peuvent ˆetre consid´er´ees comme instantan´ees, et o`u le nombre centrifuge est petit devant 1. Le mod`ele analytique est bas´e sur la th´eorie des corps rigides `a deux param`etres m´ecaniques rn et µ. On observe toute-fois, un effet de la compliance tangentielle, lors du premier impact (impact normal), sur la vitesse angulaire.

Dans le chapitre 2, nous avons mis en ´evidence la difficult´e de d´efinir un coefficient de frottement. Or, la mod´elisation met en ´evidence l’importance du frottement dans la dynamique d’´ecoulement : la valeur du frottement permet de distinguer diff´erents r´egimes de la particule le long de la pale. Pour des valeurs du coefficient de frottement inf´erieures `a une valeur critique, la particule roule et glisse simultan´ement (R+G).

Pour des valeurs sup´erieures `a une valeur critique, la particule atteint un r´egime de roulement sans glissement (R-G). Ce coefficient de frottement critique a ´et´e observ´e exp´erimentalement et sa valeur a ´et´e valid´ee sur les particules mod`eles plastiques.

Par ailleurs, ce coefficient critique est relativement faible (µ^∗ ≈ 0.17). Cela signifie que le r´egime de (R-G) sera certainement souvent atteint dans les situations r´eelles.

Dans ce r´egime, le frottement n’influence plus sur la trajectoire apr`es la phase de rebonds, qui est donc contrˆol´ee essentiellement par le coefficient de restitution.

On a ´etabli analytiquement les valeurs de la position de collage, les vitesses selon

~ex^′ et les vitesses angulaires, d’une part en fin de phase de rebonds, et d’autre part en fin de pale. Les valeurs exp´erimentales sont relativement bien reproduites en fin de phase de rebonds (en utilisant les valeurs du frottement de choc de Foerster) et en fin de pale (en utilisant les valeurs du frottement de glissement de Coulomb) : on observe au maximum 10% d’erreur. Cette mod´elisation simplifi´ee `a partir de deux param`etres m´ecaniques r_n et µ, permet de reproduire le comportement d’une particule sph´erique le long d’une pale rotative. Cependant les ´echantillons r´eels de granulats, ne sont jamais parfaitement sph´eriques.

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Prise en compte de la forme de la particule

Les deux chapitres pr´ec´edents ont permis de comparer analytiquement et exp´eri-mentalement, la trajectoire d’une particule parfaitement sph´erique le long de la pale en rotation, d’abord dans la phase de rebonds puis dans la phase de collage. La mod´elisation reproduit raisonnablement bien les valeurs exp´erimentales, en utilisant les valeurs du frottement de choc de Foerster dans la phase de rebonds, et en utili-sant les valeurs du frottement de glissement de Coulomb dans la phase de collage.

Toutefois, cette ´etude a mis en ´evidence la difficult´e pour mesurer une valeur du frottement unique. On souhaite d´esormais rajouter de la complexit´e au probl`eme, en ´etudiant des granulats de formes irr´eguli`eres. On utilise, les deux engrais (Ammo-nitrate et KCl) caract´eris´es g´eom´etriquement et m´ecaniquement dans le chapitre 2.

Dans un premier temps, on pr´esente les r´esultats exp´erimentaux obtenus avec le dispositif exp´erimental num´ero 1, pr´esent´e dans le chapitre 2, pour des particules quasi-sph´eriques. Ces r´esultats sont mis en parall`eles avec les r´esultats des billes plastiques. On souhaite v´erifier si la th´eorie sph´erique, d´evelopp´ee dans le chapitre 4, est applicable pour ces particules `a la surface rugueuse.

Dans un second temps, on pr´esente les r´esultats exp´erimentaux obtenus avec le dispositif exp´erimental num´ero 1, pour des particules de formes irr´eguli`eres. Ces r´esultats sont ´egalement mis en parall`eles avec les r´esultats exp´erimentaux des deux autres mat´eriaux. On propose une mod´elisation pour reproduire la trajectoire de ces particules de formes irr´eguli`eres.

5.1 Mod´ elisation de particules quasi-sph´ eriques

On pr´esente les r´esultats exp´erimentaux pour les particules d’Ammonitrate, obtenus avec le dispositif exp´erimental pr´esent´e dans le chapitre 2. Ces r´esultats exp´erimentaux sont compar´es qualitativement avec ceux des billes plastiques.

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5.1.1 Effets a´ erodynamiques

On souhaite v´erifier si l’air a un effet sur la trajectoire des particules d’Ammo-nitrate qui sont dix fois plus l´eg`eres que les billes plastiques. On calcule la valeur du nombre Nair d´efini par l’Eq.4.9. Pour des particules d’Ammonitrate (ρbille = 920kg/m³,R= 2.3mm,^dx_dt = 13m/s), pour une vitesse de rotation Ω = 500tours/min,

`a l’extr´emit´e de la pale x = 0.3m. On obtient Nair = 4%. L’air a donc peu d’effet sur la trajectoire des particules plastiques.

La figure 5.1 compare les donn´ees exp´erimentales avec l’ajustement des ´equations balistiques de la trajectoire (Eqs. 3.5-3.6) qui n´egligent les effets a´erodynamiques.

Ces ´equations balistiques sont ajust´ees en modifiant les vitesses : ˙xi et ˙yi. Etant donn´ees les faibles hauteurs de rebonds (dues aux faibles coefficients de restitu-tion), on a compar´e uniquement un `a trois rebonds. Quelles que soient les conditions exp´erimentales, on retrouve au maximum 3% d’erreurs entre les vitesses exp´erimenta-les et celexp´erimenta-les issues de l’ajustement des ´equations th´eoriques. On peut donc conclure que l’effet de l’air est faible sur la dynamique des particules d’Ammonitrate.

1 2 3 4 5

x’ (cm) 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

y’ (cm)

Données expérimentales (1000rpm, x₀=1.87cm, P1) Fit des équations théoriques

R

Figure 5.1 – Trajectoire exp´erimentale d’une particule d’Ammonitrate sur la pale P1 dans le rep`ere de la pale (R’) (x0 = 1.87cm et Ω = 1000tours/min) et ajustement des Eqs. 3.5-3.6 avec les donn´ees exp´erimentales.